Prof. Luiz Felix. Unidade II MATEMÁTICA FINANCEIRA

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1 Prof. Luiz Felix Unidade II MATEMÁTICA FINANCEIRA

2 Sistemas de amortização de empréstimos e financiamentos São desenvolvidos basicamente para operações de empréstimos e financiamentos de longo prazo, envolvendo pagamentos periódicos do principal e encargos financeiros. Abaixo relação de alguns sistemas: Sistema de Amortização Constante Sistema de Amortização Francês Sistema de Amortização Misto Sistema de Amortização Americano Sistema de Amortização Crescente

3 Definições básicas Encargos Financeiros: Incluem os juros da Operação Amortização: Pagamento do capital emprestado (Principal) Saldo Devedor: Valor Principal da Dívida Prestação: Composto da Amortização mais Encargos Financeiros Carência: Adiar o Pagamento do Principal

4 Sistema de amortização constante (SAC) As amortizações do principal são sempre iguais em todo o prazo da operação O valor da amortização é obtido pela divisão do capital emprestado pelo numero de prestações Os juros, por incidirem sobre o saldo devedor, cujo montante decresce após o pagamento de cada amortização, assumem valores decrescentes nos períodos As prestações são decrescentes em progressão aritmética

5 Sistema de amortização constante (SAC) - Exemplo Construa a tabela do SAC: Valor do empréstimo R$ ,00, pagamentos semestrais durante 5 anos com taxa de juros de 30% ao ano Amortização = Valor Empréstimo Nº de Prestações Amortização = Amortização = por semestreest e

6 Sistema de amortização constante (SAC) - Exemplo Taxa Equivalente semestral de 30% a.a. é de 14,0175% ao semestre Semestral Anual i q = (1 + i) 1/q 1 2 semestres 1 ano i q = (1 + 0,30) 1/2 1 i q = (1,30) 1/2 1 i q = 1, i q = 0, i q = 14,0175% as a.s.

7 Sistema de amortização constante (SAC) - Exemplo Períodos Saldo Devedor Amortização Juros Prestação , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,80 TOTAL , ,50 Amortização: R$ por semestre Taxa de juros: 14,0175% ao semestre

8 Sistema de amortização constante (SAC) - Expressões de cálculo Amortização (Amort): valores sempre iguais Amort = PV n Onde: PV = Principal (valor do financiamento) n = número de prestações Saldo Devedor (SD): é decrescente pelo valor constante da amortização

9 Sistema de amortização constante (SAC) - Expressões de cálculo Juros (J): Diminuem linearmente ao longo do tempo. Sendo i a taxa de juros, temos: J = PV. (n t + 1). i n Prestação (PMT): Soma da amortização com juros e encargos administrativos, que deve ser analisado em cada situação de empréstimo com a instituição financeira PMT = Amort + J (não consideramos encargos administrativos nesse modelo) PMT = PV. [ 1+ (n t + 1). i ] n

10 Expressões de cálculo (SAC) Exemplos Exemplo 1: PV = ; n = 5 anos; i = 30% ao ano Calcular o valor do juros no 3º semestre J = PV. (n t + 1). i n J = ( ). 0, J = , J = R$ ,00

11 Expressões de cálculo (SAC) Exemplos Exemplo 2: PV = ; n = 5 anos; i = 30% ao ano Calcular o valor da prestação no 5º semestre PMT = PV.[1+(n t+1).i] n PMT = [ 1 + ( ). 0,140175] 10 PMT = [ 1 + (6). 0,140175] 0 PMT = [ 1 + 0,84105] PMT = ,84105 PMT = R$ ,50

12 Interatividade Calcular o valor da prestação no 7º semestre sabendo que o valor do empréstimo é de R$ ,00 dentro de um prazo de 5 anos em 10 prestações semestrais com a taxa de juros de 30% ao ano. a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,50 d) R$ ,00 00 e) R$ ,50

13 Sistema de amortização constante (SAC) Com carência Os exemplos anteriores não apresentaram prazo de carência para amortização do empréstimo A próxima tabela demonstra uma situação em que os juros são pagos durante a carência estipulada. Ao final dos quatro primeiros semestres, a prestação, constituída unicamente dos encargos financeiros, é de R$ ,50, ou seja: 14,0175% x R$ ,00. A partir do quinto semestre, inicia-se a amortização do principal emprestado, sendo o fluxo de prestações, deste momento em diante, idêntico ao desenvolvido anteriormente

14 Sistema de amortização constante (SAC) Com carência - Exemplo Períodos Saldo Devedor Amortização Juros Prestação , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,80 TOTAL , ,50 SAC com carência (2 anos) e pagamento dos juros Amortização: R$ a.s. Juros: 14,0175% a.s.

15 SAC com carência (2 anos) e capitalização dos juros Amortização: R$ a.s. Juros: 14,0175% a.s. Sistema de amortização constante (SAC) Com carência - Exemplo Períodos Saldo Devedor Amortização Juros Prestação , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,80 TOTAL , ,30

16 Sistema de amortização constante (SAC) Com carência - Exemplo Períodos Saldo Devedor Amortização Juros Prestação , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,00 TOTAL , ,70 SAC com carência (2 anos) com juros (14,0175% a.s.) Capitalizados e acrescidos ao saldo devedor

17 Sistema de amortização francês (SAF) Sistema amplamente adotado no mercado financeiro brasileiro, estipula que as prestações devem ser iguais, periódicas e sucessivas Os juros, por incidirem sobre o saldo devedor, d são decrescentes e as parcelas de amortização assumem valores crescentes O valor da prestação é a soma dos juros com o valor da amortização Para compor a planilha financeira desse sistema vamos partir da última coluna para a primeira, isto é, vamos calcular inicialmente as prestações e a seguir os juros, as parcelas de amortização e o respectivo saldo devedor

18 Sistema de amortização francês (SAF) - Exemplo Construa a tabela do SAF: Valor do empréstimo R$ ,00, pagamentos semestrais durante 5 anos com taxa de juros de 30% ao ano As prestações semestrais são determinadas pela fórmula: PV = PMT. FPV (i,n) Onde PV = valor presente PMT = valor prestação FPV = fator de valor presente, sendo FPV = 1 (1+ i) n i

19 Sistema de amortização francês (SAF) - Exemplo Vamos calcular o valor das prestações (PMT): PV = PMT. FPV (i,n) Onde FPV = 1 (1+ i) n i Empréstimo (PV)= Núm.prestações (n) = 10 Taxa de juros (i) = 14,0175% a.s = PMT. 1 (1+ 0,140175) -10 0, = PMT. 1 (1,140175) -10 0, = PMT. 1 0, , = PMT. 5, PMT = / 5, = ,40

20 Sistema de amortização francês (SAF) - Exemplo Períodos Saldo Devedor Amortizaçã o Juros Prestação , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,40 TOTAL , , ,00 Taxa de juros: 14,0175% ao semestre

21 Interatividade Com base nos exemplos apresentados do Sistema de Amortização Constante (SAC), qual deles apresenta o maior valor como total das prestações pagas? a) SAC sem carência; b) SAC com carência e pagamento dos juros na carência; c) SAC com carência e capitalização dos juros; d) SAC com carência, com juros capitalizados e acrescidos ao saldo devedor; e) Não há variação entre os totais das prestações.

22 Sistema de amortização francês (SAF) - Expressões de cálculo Amortização (Amort): é a diferença entre o valor da prestação e os juros Amort = PMT J Amort 1 = 19184, ,50 = 5166,90 A Amortização em um momento t qualquer é calculado: Amort = Amort 1. (1 + i) t 1 Exemplo: Qual o valor da amortização no quarto semestre? Amort = 5166,90. (1 + 0,140175) 4 1 Amort = 5166,90. (1,140175) 3 Amort = 7658,60

23 Sistema de amortização francês (SAF) - Expressões de cálculo Prestação (PMT): Conforme visto, as prestações semestrais são determinadas pela fórmula: PV = PMT. FPV (i,n) Onde PV=valor presente PMT=valor prestação presente, sendo FPV= 1 (1+ i) n FPV=fator de valor i Juros (J): incidem sobre o saldo devedor apurado no início de cada período (ou ao final de cada período imediatamente anterior) J 1 = SD 0. i J 2 = SD 1. i J 3 = SD 2. i e assim por diante.

24 Sistema de amortização francês (SAF) - Expressões de cálculo Saldo Devedor (SD): Para cada período é calculado pela diferença entre o valor devido no início do intervalo de tempo e a amortização do período. SD t = PMT. FPV (i, n t) Por exemplo, o saldo devedor no 6º semestre é: SD 6 = 19184,40. FPV (14,175%, 10 6) FPV= 1 (1+ i) n = 1 (1+0,140175) -4 i 0, FPV= 1 0, = 0, = 2, , , SD 6 =19184,40. 2,91267 = 55877,90

25 Sistema de amortização misto (SAM) Desenvolvido originalmente para operações de financiamento do Sistema Financeiro de Habitação Representa a média aritmética entre o sistema francês e o sistema de amortização constante Exemplos: PMT SAM = , ,40 = ,95 2 SD SAM = , ,10 = ,55 2

26 Sistema de amortização americano (SAA) A devolução do capital emprestado é efetuada no final do período contratado, ou seja, deve ser efetuada de uma só vez Amortizações intermediárias durante o período de empréstimo não estão previstas Os juros costumam ser pagos periodicamente

27 Sistema de amortização americano (SAA) - Exemplo Construa a tabela do SAA: Valor do empréstimo R$ ,00, pagamentos semestrais durante 3 anos com taxa de juros de 30% ao ano

28 Sistema de amortização americano (SAA) - Exemplo Períodos Saldo Amortização Juros Prestação Devedor , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,50 TOTAL , , ,00 Taxa de juros: 14,0175% ao semestre

29 Interatividade Um empréstimo de R$ ,00 deve ser devolvido pelo sistema francês em 5 prestações semestrais considerando uma taxa de juros de 4% ao semestre. Sabendo que a prestação a ser paga é de R$ , e que a amortização no primeiro i semestre é de R$ ,70, calcule a amortização no terceiro semestre. a) R$ ,43 b) R$ ,15 c) R$ ,50 d) R$ ,00 e) R$ ,18

30 Sinking fund ou Fundo de amortização No Sistema de Amortização Americano ocorre o sinking fund ou fundo de amortização Consiste em acumular poupanças periódicas durante o prazo do empréstimo para que no final do período o montante do fundo seja igual ao valor da dívida Esse fundo é usado para evitar que o mutuário desembolse uma grande quantia de uma só vez R = S / k onde, S = montante igual ao principal R = depósito do período k = fator de valor presente

31 Sinking fund ou Fundo de amortização - Exemplo Um empréstimo de R$ ,00 a uma taxa de juros de 12% ao ano e um prazo de quatro anos, pode-se criar um fundo de amortização com uma taxa de aplicação de 10% ao ano com k = 4,641 i = taxa de juros do fundo = 10% a.a. S = montante igual ao principal = ,00 R = depósito anual k = fator de valor presente = 4,641 Temos: R = S / k R = / 4,641 R = R$ ,08

32 Sinking fund ou Fundo de amortização - Exemplo Anos Saldo Credor Depósito Juros , , , , , , , , , , ,08 TOTAL , ,68

33 Sistema de amortização crescente (SACRE) Foi desenvolvido com o objetivo de permitir maior amortização do valor emprestado, reduzindo-se simultaneamente a parcela de juros sobre o saldo devedor

34 Sistema de amortização crescente (SACRE) - Expressões de cálculo Valor da razão da progressão aritmética (corresponde ao decréscimo das prestações) r i PV b n Valor da 1ª prestação PMT n 1 PV (1 b) i (1 i) n (1 i) 1 1 b i n Valor das prestações no período t (t > 1) PMT t 1 PMT t r Juros na data t Jt i SD t 1 r = Razão da Progressão(decréscimo das prestações) b = Coeficiente Variável por Tipo de Plano PV = Valor do Principal PMT 1 = Valor da 1ª prestação SD = Saldo Devedor PV

35 Sistema de amortização crescente (SACRE) - Exemplo Calcular as prestações de um empréstimo de R$ ,00 a serem pagas em quatro prestações mensais a juros efetivos de 10% a.m., fazendo a variável b assumir os valores 0 (Sistema Price), 0,5 (SACRE) Apresentar, também, a planilha completa do Sistema SACRE

36 Sistema de amortização crescente (SACRE) - Exemplo a) Para b = 0 (sistema Price): Primeira prestação: PV (1 b) i (1 i) 1 PMT1 b i PV n (1 i) 1 n (1 0) 0,1 (1 0,1) 1 PMT1 0 0, (1 0,1) 1 4 Razão de decréscimo das prestações: n r r i PV b n 0, as prestações são constantes

37 Sistema de amortização crescente (SACRE) - Exemplo a) Para b = 0,5 (SACRE): Primeira prestação: PMT PMT 1 PV (1 b) i (1 i) n (1 i) (1 0,5) 0,1 (1 0,1) 4 (1 0,1) 1 n 1 b i PV n ,5 0, Razão de decréscimo das prestações: r i PV b n r 0, , As prestações diminuem em $2.500,00 ao mês

38 Sistema de amortização crescente (SACRE) - Exemplo Planilha SACRE Mês Saldo Devedor Amortização Juros Prestaçã o , , , , , , , , , , , , , , , ,00

39 Sistema de amortização crescente (SACRE) - Exemplo Valor das Prestações Mês Sistema Price b = 0 ; r = 0 SACRE b = 0,5 ; r = , , , , , , , ,00 00

40 Interatividade Utilizando o Sistema de Amortização Crescente (SACRE), calcular a razão de decréscimo das prestações de um empréstimo de R$ ,00 a serem pagas em quatro prestações mensais a juros efetivos de 10% a.m., fazendo a variável b assumir o valor 1 (SAC). a) R$ 0,00 b) R$ 2.500,00 c) R$ 5.000,00 d) R$ 7.500,00 e) R$ ,00

41 ATÉ A PRÓXIMA!