Unidade II. Unidade II

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1 Unidade II 5 Unidade II SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS E FINANCIAMENTOS Os sistemas de amortização são desenvolvidos basicamente para operações de empréstimos e financiamentos de longo prazo, envolvendo desembolsos periódicos do principal e encargos financeiros. Sistema Financeiro da Habitação (SFH) Criado em 1964, com o objetivo de viabilizar a concessão de financiamentos de longo prazo para aquisição da casa própria, o Sistema Financeiro da Habitação é composto por um complexo conjunto de leis e regras próprias que definem as condições da concessão do financiamento em cada época. A concessão de um financiamento inicia-se com a procura, pelos interessados, de um agente financeiro. Os recursos para o financiamento podem ser oriundos das contas vinculadas do FGTS, do Sistema Brasileiro de Poupança e Empréstimo (SBPE), demais Fundos ou mesmo recursos próprios do agente financeiro. A hipoteca do imóvel é a garantia do financiamento. Na vigência deste sistema, foram criados planos e formas de reajuste de prestações, com benefícios aos tomadores, que causaram o descasamento entre saldo e prestação, tendo um grande déficit a ser coberto pelo Fundo de Compensação de Variações Salariais (FCVS). de Fonte: Banco Central do Brasil 1 1 Disponível em: < Acesso em 4 dez. 42

2 MATEMÁTICA FINANCEIRA Há várias maneiras de amortizar uma dívida. É imprescindível, para cada operação, as partes estabelecerem contrato a fim de esclarecer as formas, taxas e afins para o acerto da antecipação do montante e quitação da dívida. Uma característica fundamental dos sistemas de amortização é a utilização exclusiva do critério de juros compostos, incidindo os juros exclusivamente sobre o saldo devedor (montante) apurado em período imediatamente anterior. Para cada sistema de amortização, é construída uma planilha financeira, a qual relaciona, dentro de certa padronização, os diversos fluxos de pagamentos e recebimentos. São consideradas também modalidades de pagamento com e sem carência. Na carência, não há pagamento do principal, sendo pagos somente os juros. Eventualmente, os juros podem ser capitalizados durante o prazo de carência. Os sistemas de amortização mais usados no mercado são: a) Sistema de Amortização Constante SAC; b) Sistema de Amortização Francês (Price) SAF; c) Sistema de Amortização Misto SAM; d) Sistema de Amortização Americano SAA; e) Sistema de amortização Crescente SACRE; f) Sistema de Amortização Variável (parcelas intermediárias). 9.1 Definições básicas Os sistemas de amortização de empréstimos e financiamentos tratam da forma pela qual o principal e os encargos financeiros são restituídos ao credor do capital. 43

3 Unidade II Antes do estudo desses sistemas, é importante definir os principais termos empregados nas operações de empréstimos e financiamentos. Encargos financeiros: representam os juros da operação, caracterizados como custo para o devedor e retorno para o credor. Eles podem ser prefixados ou pós-fixados. O que distingue essas duas modalidades é a correção (indexação) da dívida em função de uma expectativa (prefixação) ou verificação posterior (pós-fixação) do comportamento de determinado indexador. Nas operações pós-fixadas, há um desmembramento dos encargos financeiros em juros e correção monetária (ou variação cambial, no caso da dívida ser expressa em moeda estrangeira) que vier a se verificar no futuro; e nas prefixadas estipula-se uma taxa única, a qual incorpora evidentemente uma expectativa inflacionária, para todo o horizonte de tempo. Dessa forma, para uma operação pós-fixada, a taxa de juros contratada é a taxa definida como real, isto é, aquela situada acima do índice de inflação verificado no período. Além do encargo real da taxa de juros, as operações pós-fixadas preveem também a correção monetária (ou variação cambial) do saldo devedor da dívida, o que representa normalmente a recuperação da perda de poder aquisitivo (desvalorização perante a inflação) da parte do capital emprestado e ainda não restituído. Nas operações prefixadas, os encargos financeiros são medidos por uma única taxa, a qual engloba os juros exigidos pelo emprestador e a expectativa inflacionária (correção monetária) para o período em vigência. Amortização: refere-se exclusivamente ao pagamento do principal (capital emprestado), o qual é efetuado, 44

4 MATEMÁTICA FINANCEIRA geralmente, mediante parcelas periódicas. Alguns tipos de empréstimos permitem que o capital emprestado seja amortizado por meio de um único pagamento ao final do período. Essa situação é descrita no sistema de amortização americano. Saldo devedor: representa o valor do principal da dívida, em determinado momento, após a dedução do valor pago ao credor a titulo de amortização. Prestação: composto do valor da amortização mais encargos financeiros devidos em determinado período de tempo. Prestação = Amortização + Encargos financeiros Carência: muitas operações de empréstimos e financiamentos preveem um diferenciamento na data convencional do início dos pagamentos. Por exemplo, ao tomar um empréstimo por quatro anos, a ser restituído em prestações trimestrais, o primeiro pagamento ocorrerá normalmente três meses (um trimestre) após a liberação dos recursos, vencendo as demais ao final de cada um dos trimestres subsequentes. Pode ocorrer um deferimento (carência) no pagamento da primeira prestação, iniciando nove meses após o recebimento do capital emprestado. Nesse caso, diz-se que a carência corresponde a dois trimestres, ou seja, ela equivale ao prazo verificado entre a data convencional de início de pagamento (final do primeiro trimestre) e a do final do 9º mês. Carência significa a postergação só do principal, excluídos os juros. Os encargos financeiros podem, dependendo das condições contratuais, serem pagos ou não durante a carência. É mais comum o pagamento dos juros durante o período de carência. Na hipótese de decidir pela carência de juros, os mesmos são capitalizados e pagos junto à primeira parcela de amortização do principal ou distribuídos para as várias datas pactuadas de pagamento. 45

5 Unidade II Características: basicamente desenvolvidos para operações de empréstimos e financiamentos de longo prazo, envolvendo amortizações periódicas do principal e encargos financeiros (juros da operação); utilizam exclusivamente o critério de juros compostos, incidindo os juros sobre o saldo devedor apurado em período imediatamente anterior; cada sistema de amortização obedece certa padronização, tanto nos desembolsos, quanto nos reembolsos; podem ter ou não carência, sendo que, no período de carência, normalmente são pagos os juros. 10 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) O sistema de amortização constante tem como característica básica serem as amortizações do principal sempre iguais em todo o prazo da operação. O valor da amortização é facilmente obtido mediante a divisão do capital emprestado pelo número de prestações. Os juros, por incidirem sobre o saldo devedor, cujo montante decresce após o pagamento de cada amortização, assumem valores decrescentes nos períodos. Em consequência do comportamento da amortização e dos juros, as prestações periódicas e sucessivas do SAC são decrescentes em progressão aritmética. Exemplo 10 Admita o empréstimo de $ ,00, dentro de um prazo de 10 anos, em 20 prestações semestrais. Desconsidere a existência de um prazo de carência. Foram considerados juros de 7% a.s. 46

6 MATEMÁTICA FINANCEIRA Períodos (semestres) Saldo devedor ($) Amortização ($) Juros ($) Prestação ($) , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,00 Total , ,00 O SAC determina que a restituição do principal (capital emprestado) seja efetuada em parcelas iguais. Assim, o valor de cada amortização devida semestralmente é calculado pela simples divisão do principal e o número fixado de prestações, ou seja: Amortização = valor do empréstimo / nº de prestações Amortização = / 10 Amortização = / semestre 47

7 Unidade II Os pagamentos desses valores determinam decréscimos iguais e constantes no saldo devedor em cada um dos períodos, ocasionando reduções nos valores semestrais dos juros e das prestações. Nesse exemplo, para o cálculo de juros, trabalhou-se, como é mais comum nessas operações de crédito de médio e longo prazos, com a taxa equivalente composta. Assim, para uma taxa equivalente nominal de 30% ao ano, conforme a taxa equivalente semestral atinge: Taxa equivalente semestral de 30% a.a. = 1, 30 1 = % a.s. Os juros, por incidirem sobre o saldo devedor imediatamente anterior, apresentam valores aritmeticamente decrescentes, conforme são apurados na penúltima coluna da tabela exemplificada acima. Para o final do primeiro semestre, os encargos financeiros somam: 14,0175% x = $ ,50; para o final do segundo semestre: 14,0175% x = $ ,80; para o final do terceiro semestre: 14,0175% x = $ ,00; e assim por diante. Soma-se, para cada período, o valor da prestação semestral do financiamento. Assim, para o primeiro semestre, a prestação atinge: $ ,00 + $ ,50 = $ ,50; para o segundo semestre: $ ,00 + $ ,80 = $ ,80. Pode ser observado, uma vez mais, que a diminuição de $ 1.401,70 no valor dos juros em cada período é explicada pelo fato de as amortizações (fixas) reduzirem o saldo devedor da dívida (base de cálculo dos juros) semestralmente em $ ,00. Essa diminuição provoca, em consequência, uma redução nos juros equivalente: 14,017% x ,00 = 1401,70. 48

8 MATEMÁTICA FINANCEIRA 10.1 Expressões de cálculo do SAC São desenvolvidas, a seguir, as expressões genéricas de cálculo de cada parcela da planilha do sistema de amortização constante. Amortização (Amort): os valores são sempre iguais e obtidos por: Amort = PV n Onde: PV = principal (valor do financiamento); n = número de prestações. Logo: PV n = Amort1 = Amort2 = Amort3 =... = Amort n PV = Amort 1 + Amort 2 + Amort Amort n Saldo devedor (SD): é decrescente em PA (progressão aritmética) pelo valor constante da amortização. Logo, a redução periódica do SD é: PV n. Juros (J): pela redução constante do saldo devedor, os juros diminuem linearmente ao longo do tempo, comportando-se como uma PA decrescente. O valor periódico da redução é: (P/n) x i, sendo i a taxa de juros. A expressão de cálculo dos juros: J PV = n x ( n t + ) xi

9 Unidade II Prestação (PMT): soma da amortização com juros e com encargos administrativos, que deve ser analisada em cada situação de empréstimo com a instituição financeira. PMT=Amort + J (não consideraremos encargos administrativos nesse modelo). Algebricamente: PV PMT =.[ 1+ ( n t + 1). i] n Exemplo 10.1 PV = ,00; n = 5 anos; i = 30% ao ano. Calcular o valor da prestação no 5º semestre: PMT 5 =.[ 1+ ( ). 0, ] 10 PMT 5 = [1+6x0,140175] PMT 5 =18.410, SAC com carência A ilustração desenvolvida na tabela anterior não previu existência de prazo de carência para a amortização do empréstimo. Ao supor uma carência de dois anos (contada a partir do final do primeiro semestre), por exemplo, três situações podem ocorrer: a) os juros são pagos durante a carência; 50

10 MATEMÁTICA FINANCEIRA b) os juros são capitalizados e pagos totalmente quando do vencimento da primeira amortização; c) os juros são capitalizados e acrescidos ao saldo devedor gerando um fluxo de amortizações de maior valor. Exemplo 10.2 A próxima tabela demonstra uma situação em que os juros são pagos durante a carência estipulada. Ao final dos quatro primeiro semestres, a prestação, constituída unicamente dos encargos financeiros, atinge $ ,50, ou seja: 14,0175% x $ ,00. A partir do quinto semestre, tendo sido encerrada a carência de dois anos, inicia-se a amortização do principal emprestado, sendo o fluxo de prestações, deste momento em diante, idêntico ao desenvolvido no exemplo anterior. SAC com carência (2 anos) e pagamento dos juros Períodos (semestres) Saldo devedor ($) Amortização ($) Juros ($) Prestação ($) , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,00 15,607, , , , , , ,80 TOTAL , ,50 51

11 Unidade II Exemplo 10.3 SAC com carência (02 anos) e capitalização dos juros Períodos (semestres) Saldo devedor ($) Amortização ($) Juros ($) Prestação ($) , , , , , , , , , , , , , , , , ,00 15,607, , , , , , ,80 TOTAL , ,30 Exemplo 10.4 SAC com carência (02 anos) com juros capitalizados e acrescidos ao saldo devedor Períodos (semestres) Saldo devedor ($) Amortização ($) Juros ($) Prestação ($) , , , , , , , , , ,60 52

12 MATEMÁTICA FINANCEIRA , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,00 TOTAL , , ,70 O quadro do exemplo 10.2 ilustra o plano de amortização da dívida na hipótese dos juros não serem pagos durante a carência. Nesse caso, os encargos são capitalizados, segundo o critério de juros compostos, e devidos integralmente quando do vencimento da primeira parcela de amortização. Exemplo 10.5 Um banco concede um financiamento de $ ,00 para ser liquidado em 8 pagamentos mensais pelo SAC. A operação é realizada com uma carência de 3 meses, sendo somente os juros pagos nesse período. Para uma taxa efetiva de juros de 2,5% ao mês, elaborar a planilha de desembolsos desse financiamento. Períodos (semestres) Saldo devedor ($) Amortização ($) Juros ($) Prestação ($) 0 R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ TOTAL R$ R$ R$

13 Unidade II Exemplo 10.6 Empréstimo ou financiamento: R$ ,00 (Capital, principal, PV); Prazo: 10 anos Taxa de juros: 25% a.a. (efetiva). Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,00 Total , , ,00 11 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS O sistema de amortização francês (SAF), amplamente adotado no mercado financeiro do Brasil, estipula que as prestações devem ser iguais, periódicas e sucessivas. Equivale, em outras palavras, ao modelo-padrão de fluxos de caixa. Os juros, por incidirem sobre o saldo devedor, são decrescentes, e as parcelas de amortização assumem valores crescentes. 54

14 MATEMÁTICA FINANCEIRA No SAF, os juros decrescem e as amortizações crescem ao longo do tempo. A soma dessas duas parcelas permanece sempre igual ao valor da prestação. Para exemplificar, a planilha financeira desse sistema, a qual é mais bem-elaborada partindo-se da última coluna para a primeira. Isto é, calculam-se inicialmente as prestações e posteriormente, para cada período os juros, as parcelas de amortização e o respectivo saldo devedor. Exemplo 11 SAF sem carência Períodos (semestres) Saldo devedor ($) Amortização ($) Juros ($) Prestação ($) , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,40 Total , ,00 As prestações semestrais são determinadas pela aplicação da fórmula de valor presente do modelo padrão. PV = PMT x FPV (i,n) Onde: PV = valor presente; PMT = valor da prestação periódica, igual e sucessiva; 55

15 Unidade II FPV = fator de valor presente, sendo: 1 i FPV = ( 1 + ) n i Substituindo os valores do exemplo ilustrativo na equação, tem-se: 1 ( , ) , 00 = PMT x 0, PMT = $ ,40/semestre. 10 Os demais valores da planilha são mensurados de forma sequencial em cada um dos períodos. Assim, para o primeiro semestre, têm-se: Juros (calculados sobre o saldo devedor imediatamente anterior): 14,0175% x ,00 = $ ,50. Amortização (obtida pela diferença entre o valor da prestação e dos juros acumulados para o período): $19.184,40 $14.017,50 = $5.166,90. Saldo devedor (saldo anterior no momento zero parcela de amortização do semestre) $ ,00 $5.166,90 = $94.833,10. Para o segundo semestre, os cálculos são os seguintes. Juros: 14,0175% x $94.833,70 = $13.293,20. Amortização: $19.184,40 $13.293,20 = $5.891,20. Saldo devedor: $94.833,10 $5.891,20 = $88.941,90, e assim por diante. 56

16 MATEMÁTICA FINANCEIRA 11.1 Expressões de cálculo do SAF No Sistema Francês de Amortização, as prestações são constantes, os juros decrescentes e as amortizações são exponencialmente crescentes ao longo do tempo. As expressões básicas de cálculo desses valores são desenvolvidas a seguir. Amortização (Amort): é obtida pela diferença entre o valor da prestação e os juros: Amort = PMT J A amortização do primeiro período é expressa: Amort 1 = PMT J 1, o que equivale a: Amort 1 = PMT (PV x i). Como o seu crescimento é exponencial no tempo, o valor da amortização num momento t qualquer é calculado: Amort 1 = Amort 1 x (1 + i) t 1 Por exemplo, o valor da amortização no quarto semestre atinge: Amort 4 = 5.166,90 x (1 + 0,140175) 4 1 Amort 4 = 7.658,60 Prestação (PMT): conforme demonstrado, o valor da prestação é calculado mediante a aplicação da fórmula do valor presente desenvolvida para o modelo-padrão de fluxos de caixa: 1 PMT = PV FPV ( i, n ) 57

17 Unidade II Onde: FPV i, n 1 ( 1 i) i ( ) = + n Saldo devedor (SD): para cada período, é calculado pela diferença entre o valor devido no início do intervalo de tempo e a amortização do período. Logo, para uma dada taxa de juros, o saldo devedor de qualquer período é apurado: SD t = PMT x FPV (i, n t) Por exemplo, o saldo devedor no sexto semestre do financiamento atinge: SD 6 = ,40 x FPV (14,175%, 10 6) SD 6 = ,90 Juros (J): incidem sobre o saldo devedor apurado no início de cada período (ou ao final de cada período imediatamente anterior). A expressão de cálculo de juros pode ser ilustrada: J 1 = SD 0 x i = PV x i J 2 = SD 1 x i = (PV Amort) x i J 3 = SD 2 x I = (PV Amort 1 Amort 2 ) x i E assim sucessivamente SAF com carência De modo idêntico aos demais sistemas, no SAF, podem-se verificar períodos de carência, nos quais, ainda, os encargos financeiros podem ser pagos ou capitalizados. 58

18 MATEMÁTICA FINANCEIRA A seguir, está ilustrada a situação em que os juros são pagos durante a carência e capitalizados para resgate posterior (juntamente às prestações). Exemplo 11.1 SAF com carência (2 anos) e pagamentos dos juros Períodos (semestres) Saldo devedor ($) Amortização ($) Juros ($) Prestação ($) , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,40 TOTAL , , ,00 O sistema francês, com carência e pagamento dos juros no período, segue basicamente o mesmo esquema anterior (SAF sem carência), diferenciando-se unicamente nas prestações dos quatro primeiros semestres (carência). Nestes períodos, estão previstos somente pagamentos de $ ,50 referentes aos juros do principal não amortizado (14,0175% x $ ,00). Para os demais semestres, o raciocínio é idêntico ao formulado anteriormente, apurando-se prestações com valores constantes, juros decrescentes e amortizações crescentes. 59

19 Unidade II No quadro SAF com carência, está prevista a capitalização dos juros durante o período de carência de quatro semestres. Somando-se este montante ao saldo devedor, tem-se um novo valor ao final do quarto semestre de $ ,00, o qual serve de base para o cálculo das prestações com vencimento a partir do quinto semestre, ou seja: Saldo devedor (4º semestre) que serve de base para o cálculo das prestações após o período de carência (5º semestre): $ ,00 x (1,140175) 4 = $ ,00 Prestação (PMT) semestral a ser paga a partir do 5º semestre. n + 1 ( 1 i) PV = PMT x i 1 ( , ) = PMT x 0, = PMT x 5, PMT = / 5, = $ ,70 / semestre O preenchimento da planilha financeira a partir do final do período de carência é análogo ao proposto anteriormente. Exemplo 11.2 Um equipamento no valor de $ ,00 será financiado por um banco pelo prazo de 6 anos. A taxa de juros contratada é de 15% ao ano, e as amortizações anuais são efetuadas pelo sistema francês. O banco concede uma carência de 2 anos para o inicio dos pagamentos, sendo os juros cobrados nesse intervalo. 60

20 MATEMÁTICA FINANCEIRA Períodos (semestres) Saldo devedor ($) Amortização ($) Juros ($) Prestação ($) , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,00 TOTAL , , ,00 12 TABELA PRICE O sistema Price de Amortização (ou Tabela Price) representa uma variante do sistema francês. Na realidade, o sistema francês, desenvolvido originalmente pelo inglês Richard Price, assumiu esta denominação pelo seu uso amplamente generalizado na França no século passado. O sistema Price, fundamentalmente adotado quando os períodos das prestações (normalmente mensais, mas não necessariamente) se apresentarem menores que o da taxa de juros, tem como característica básica o uso da taxa proporcional (linear) simples em vez da taxa equivalente composta de juros. No exemplo ilustrativo geral proposto, utilizou-se a taxa equivalente semestral de 14,0175% para o cálculo dos juros no sistema francês (e no SAC também). Este percentual, conforme estudado no capítulo 2, quando capitalizado para um ano, é igual à taxa de 30% de acordo com o estabelecido na operação de empréstimo [(1,140175) 1 = 30%]. No entanto, se fosse utilizada a denominada Tabela Price no plano de amortização da dívida, a taxa semestral a ser considerada seria a taxa proporcional simples de 15% (30%/2), a qual, quando 61

21 Unidade II capitalizada para um ano, resulta num percentual efetivo superior à taxa contratada, ou seja: Taxa de Juros Contratada Taxa Linear Semestral = 30% a.a. = 30% / 2 = 15% a.s. Taxa Efetiva Anual de Juros = (1,15) 2 1 = 32,25% a.a. Deve ficar claro que a Tabela Price é o próprio sistema francês de amortização, introduzidas as observações comentadas. As alterações nos valores do plano de amortização são devidas, fundamentalmente ao uso da taxa de juros proporcional simples em substituição à taxa equivalente composta. Fica evidente que se o período de amortização coincidir com o da taxa (prestações anuais e taxas de juros definidas também para o ano), a taxa nominal de juros será a própria taxa efetiva da operação e os valores do plano de amortização para a Tabela Price coincidirão com aqueles apurados no sistema francês. A seguir, temos a simulação de um empréstimo de $ ,00 em 48 meses com taxa de juros de 5% a.m. com IOF e, logo após, o mesmo exemplo sem IOF. Exemplo 12 Sistema Price com IOF Mês Saldo Devedor Juros Amortização IOF Prestação , , , ,09 5, , , , ,44 11, , , , ,41 18, , , , ,28 26, , , , ,35 34, , , , ,91 43, , , , ,31 52, , , , ,88 63, , , , ,97 74, , , , ,97 87, , , , ,27 100, , , , ,28 115, , , , ,45 121, , , , ,22 127, ,61 62

22 MATEMÁTICA FINANCEIRA , , ,08 133, , , , ,53 140, , , , ,11 147, , , , ,37 154, , , , ,89 162, , , , ,28 170, , , , ,19 178, , ,31 986, ,30 187, , ,99 673, ,32 197, , , ,99 207, ,61 Total , , , ,64 Exemplo 12.1 Sistema Price sem IOF Mês Saldo Devedor Juros Amortização Prestação , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,31 986, , , ,99 673, , , , , ,09 Total , , ,16 63

23 Unidade II Exemplo 12.2 Empréstimo: R$ ,00 Prazo: 10 anos Taxa: 25% a.a. Usando a fórmula séries de pagamentos iguais com termos postecipados: PMT = PV x FRC (i, n) PMT = ,00 x 0,28007 = R$ ,00 Períodos Saldo Devedor Amortização Juros Prestação , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,00 Total , , ,00 Amort. = PMT J Amort 1 = PMT J 1 Amort 1 = PMT (PV 0 x i) Que nada mais é que a fórmula da P.G., onde: a n = a 1. q n 1 Pois: 3.007,00 x 1,25 = 3.758, ,75 x 1,25 = 4.698,44 64

24 MATEMÁTICA FINANCEIRA Como o crescimento da amortização é exponencial, o valor da amortização em um determinado momento t é calculado: Amort t = Amort 1 x (1 + i) t 1 Logo: Amort 6 = 3.007,00 x (1,25) 5 = 3.007,00 x 3,05176 = 9.176,64 13 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO O Sistema de Amortização Misto (SAM) foi desenvolvido originalmente para as operações de financiamento do Sistema Financeiro de Habitação. Representa basicamente a média aritmética entre o sistema francês e o sistema de amortização constante, daí explicando-se a sua denominação. Para cada um dos valores do seu plano de pagamentos, devem-se somar aqueles obtidos pelo SAF com os dos SAC e dividir o resultado por dois. Ao se adotar o sistema misto de amortização para o empréstimo contraído têm-se, para o primeiro período (semestre), os seguintes valores: , , 40 PMT SAM = = $ , , , 50. Juros SAM = = $ , , 90 Amort SAM = = $ , , 10 SD SAM = = $ ,

25 Unidade II Para os demais semestres, segue-se o mesmo raciocínio, conforme a tabela: Períodos (semestres) Saldo devedor ($) Amortização ($) Juros ($) Prestação ($) , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,20 Total , , ,80 14 COMPARAÇÕES ENTRE SAC, SAF E SAM Uma avaliação comparativa dos três sistemas de amortização é desenvolvida no quadro a seguir. Períodos (semestres) SAC SAF SAM SD Amort J PMT SD Amort J PMT SD Amort J PMT , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,20 Total , , , , , ,80 66

26 MATEMÁTICA FINANCEIRA 14.1 Gráfico de comparação SAC, SAF E SAM PMT ($) , , ,40 SAF SAM ,45 SAC Período (n) O ponto em que as retas se cruzam indica valores iguais para as prestações. Calculando-se analiticamente esse ponto de interseção, verifica-se que as prestações se igualam por volta da quarta prestação. As prestações pelo SAF tornam-se maiores que as determinadas pelos demais sistemas de amortização. Ponto de igualdade das prestações PMT SAF = $ ,40 (constante) PV PMTSAC = n x 1 + ( n t + 1 ) xi PMTSAC = x 1 + ( 10 t + 1 ) x 0, Igualando: PMT SAF = PMT SAC x 1+ ( 10 t + 1) x 0, , = 67

27 Unidade II x [ 1 + 1, , x t + 0, ] = , , ,75 x t ,75 = , ,75 t = 6.234, , 85 t = , t = 4,45 15 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO AMERICANO O Sistema de Amortização Americano (SAA) estipula que a devolução do capital emprestado é efetuada ao final do período contratado, ou seja, deve ser efetuada de uma só vez. De acordo com essa característica básica SAA, amortizações intermediárias durante o período de empréstimo não estão previstas. Os juros costumam ser pagos periodicamente. Exemplo 15 Períodos (semestres) Saldo devedor ($) Amortização ($) Juros ($) Prestação ($) , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,50 Total , , ,00 Exemplo 15.1 Um financiamento para capital de giro no valor de $ ,00 é concedido a uma empresa pelo prazo de 4 68

28 MATEMÁTICA FINANCEIRA semestres. A taxa de juros contratada é de 10% a.s., sendo adotado o Sistema Americano de Amortização para essa dívida, e os juros pagos semestralmente durante a carência. Calcular o valor de cada prestação mensal. Admita que a taxa de aplicação seja de 4% ao semestre. Calcular os depósitos semestrais que a empresa deve efetuar nesse fundo de maneira que possa acumular, ao final do prazo de financiamento, um montante igual ao desembolso da amortização exigido. Períodos (semestres) Saldo devedor ($) Amortização ($) Juros ($) Prestação ($) 0 R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ TOTAL R$ R$ O valor de cada parcela a ser depositada semestralmente no fundo de amortização é de $ ,00, isto é: FV= , PMT 2 PMT 3 PMT 4 PMT PV=PMTxFPV (i,n) ( 1+ i) 1 PV = PMTx i n i PMT = PV ( 1+ i) n 1 69

29 Unidade II 0, 04 PMT = x 4 ( 1, 04) 1 PMT = ,00 Exemplo 15.2 Valor do Empréstimo: R$ ,00; Prazo: 10 anos; Taxa de Juros: 25% a.a. Períodos Saldo devedor Amortização Juros Prestações , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,00 Total , , , Sinking fund ou fundo de amortização No Sistema de Amortização Americano, ocorre o sinking fund, ou fundo de amortização, que consiste em acumular poupanças periódicas durante o prazo do empréstimo para que, no final do período, o montante do fundo seja igual ao valor da dívida. Esse fundo é usado para evitar que o mutuário desembolse uma grande quantia de uma só vez. As taxas de juros dessa 70

30 MATEMÁTICA FINANCEIRA aplicação podem ser maiores, menores ou iguais às taxas de juros do empréstimo, sendo o uso de taxas menores mais frequente. Considerando i a taxa de juros, n o período, S o montante igual ao principal, R o depósito do período e k o fator de valor presente em séries uniformes postecipadas (valor da tabela), tem-se: R=S/k Em um empréstimo de $ ,00 a uma taxa de juros de 12% ao ano e um prazo de quatro anos, pode-se criar um fundo de amortização com uma taxa de aplicação de 10% ao ano, por exemplo. Nesse caso, consideraremos S= $ ,00; k a constante para uma taxa de 10% e um período de quatro anos (4, 641) e R o valor do depósito anual: R=S/k R= /4, 641 R=21.547,08 Dessa forma, obtém-se a seguinte planilha: Anos Saldo credor Depósito Juros , , , , , , , , , , ,08 Total , ,68 Nesse caso, o saldo credor é obtido através da soma do saldo credor anterior com os juros e depósito atual. 71

31 Unidade II 16 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CRESCENTE (SACRE) Este é o sistema que a CEF chama de Sistema de Amortização Crescente. Na verdade, este sistema usa para o cálculo do valor das prestações a metodologia do sistema de amortização constante (SAC anual), sem levar em conta o valor da TR. Com a inclusão, posteriormente, do valor da TR nos cálculos, este sistema resulta em uma amortização variável. A denominação é inadequada, pois com um valor da TR baixo, este sistema pode resultar até em uma amortização decrescente. O sistema SACRE foi desenvolvido com o objetivo de permitir maior amortização do valor emprestado, reduzindo-se, simultaneamente, a parcela de juros sobre o saldo devedor. A prestação inicial, no SACRE, pode comprometer até 30,0% da renda, enquanto que pela Tabela Price o comprometimento inicial é de até 25,0%. Entretanto, ao longo do contrato verifica-se que, a partir de um determinado período de recálculo, o valor da prestação calculada no sistema SACRE começa a diminuir, enquanto que a da Tabela Price aumenta sempre. No SACRE, conhecido também como Sistema Misto, as prestações decrescem de acordo com uma determinada progressão aritmética e podem ser calculadas usando-se as expressões que veremos a seguir. Valor da razão da progressão aritmética (corresponde ao decréscimo das prestações) r = b i PV n 72

32 MATEMÁTICA FINANCEIRA Valor da 1ª prestação PMT 1 PV ( 1 b) i ( 1+ i) = n ( 1+ i) 1 n 1 + b + n i PV Valor das prestações no período t ( t > 1 ) PMTt + 1 = PMTt r Juros na data t) J t = i SDt 1 Onde: PV = valor do principal; PMT 1 = valor da primeira prestação; b = coeficiente variável por tipo de plano; r = razão da progressão (corresponde ao decréscimo do valor das prestações sucessivas). Dependendo do valor de b, o sistema de reembolso pode resultar no Sistema Price (para b = 0) ou no SAC (no caso de b = 1). O denominado SACRE é um caso particular em que b = 0,5. Nesse sistema, devido à ponderação 0,5, o valor das prestações, amortizações, juros e saldos devedores correspondem à média aritmética dos sistemas Price e SAC. Exemplo 16 Calcular as prestações de um empréstimo de $ ,00 a ser pago em quatro prestações mensais a juros efetivos de 10% a.m., 73

33 Unidade II fazendo a variável b assumir os valores 0 (Sistema Price), 0,5 (SACRE) e 1 (SAC). Apresentar, também, a planilha completa do Sistema SACRE. Solução: cálculo da primeira prestação e da razão de decréscimo. Para b = 0 (sistema Price): primeira prestação: PMT 1 PV ( 1 b) i ( 1+ i) = n ( 1+ i) 1 n 1 + b + n i PV ( 1 0) 0, 1 ( 1+ 0, 1) PMT 1 = 4 ( 1+ 0, 1) , = razão de decréscimo das prestações: r = b i PV n 0, r = 0 = 0 4 constantes as prestações são Para b = 0,5 (SACRE): primeira prestação: PMT 1 PV ( 1 b) i ( 1+ i) = n ( 1+ i) 1 n 1 + b + n i PV 74

34 MATEMÁTICA FINANCEIRA ( 1 0, 5) 0, 1 ( 1+ 0, 1) PMT 1 = 4 ( 1+ 0, 1) , 5 + 0, = razão de decréscimo das prestações: r = b i PV n 0, r = 0, 5 = as prestações diminuem em $2.500,00 ao mês Para b = 1,0 (SAC): primeira prestação: PMT 1 PV ( 1 b) i ( 1+ i) = n ( 1+ i) 1 n 1 + b + n i PV ( 1 1) 0, 1 ( 1+ 0, 1) PMT 1 = 4 ( 1+ 0, 1) , = razão de decréscimo das prestações: r = b i PV n 0, r = 1 = as prestações diminuem 4 em $5.000,00 ao mês 75

35 Unidade II Valor das prestações para b = 0; 0,5 ; 1,0 Mês Sistema Price SACRE SAC b = 0; r =0 b = 0,5; r =2.500 b = 1,0; r = , , , , , , , , , ,00 (*) ,00 (*) ,00 * Observe-se que as prestações decrescem na razão r respectiva. A planilha completa do SACRE é mostrada a seguir: Mês Saldo devedor Amortização Juros Prestação , , , , , , , , , , , , , , , ,00 17 SISTEMA PRICE X SISTEMA SACRE Veja um exemplo de financiamento feito com ambos os sistemas de amortização: Exemplo 17 (parâmetros usados) Valor do financiamento: ,00 Taxa de juros: 10,5% a.a. Prazo: 180 meses TR Projetada: 1,006 a.m. Renda PRICE 2.210,80 Renda SACRE 2.384,26 Comprometimento da renda inicial PRICE: 25% Comprometimento da renda inicial SACRE: 30% Reajuste anual durante o contrato: Zero 76

36 MATEMÁTICA FINANCEIRA Nº da Prest. SACRE PRICE % SACRE PRICE A B C D A/C 1 715,28 552,7 129,42% 30,00% 25,00% ,88 3,44% 597,01 8,02% 123,93% 31,03% 27,00% ,91 3,25% 645 8,04% 118,44% 32,04% 29,17% ,15 3,04% 696,99 8,06% 112,94% 33,01% 31,53% ,3 2,81% 753,37 8,09% 107,42% 33,94% 34,08% ,05 2,56% 814,57 8,12% 101,90% 34,81% 36,85% ,04 2,29% 881,1 8,17% 96,36% 35,61% 39,85% ,85 1,98% 953,55 8,22% 90,80% 36,32% 43,13% ,03 1,64% 1.032,64 8,29% 85,22% 36,91% 46,71% ,03 1,25% 1.119,29 8,39% 79,61% 37,37% 50,63% ,24 0,81% 1.214,75 8,53% 73,94% 37,67% 54,95% ,94 0,30% 1.320,87 8,74% 68,21% 37,79% 59,75% ,23 0,30% 1.440,87 9,08% 62,34% 37,67% 65,17% ,9 1,04% 1.581,86 9,79% 56,19% 37,28% 71,75% ,31 2,09% 1.770,04 11,90% 49,17% 36,50% 80,06% ,31 0,00% 1.770,04 0,00% 49,17% 36,50% 80,06% % Prestação 21,67% 220,25% %Prest. Maior 25,96% 220,25% * Composta de amortização e juros (A+J) Nº da prestação: é o número da prestação que inicia cada novo período de 12 meses, quando ela é recalculada. A: é o valor da prestação calculada no sistema SACRE e que vai vigorar no próximo período de 12 meses. B: é o percentual de acréscimo ou decréscimo da prestação SACRE em relação ao ano anterior. C: é o valor da prestação calculada no Sistema Price e que vai vigorar no próximo período de 12 meses. D: é o percentual de acréscimo da prestação Price em relação ao ano anterior. 77

37 Unidade II A/C: é o percentual que corresponde ao valor da prestação no sistema SACRE em relação ao Price. Comprometimento de renda: é o percentual da prestação em relação à renda. % Prestação: é a variação entre o valor da primeira e o da última prestação. % Prestação Maior: é a variação entre o valor da primeira e o da maior prestação verificada durante o contrato (no SACRE a maior prestação é a de nº 133 e no Price é a última). Note que, durante todo o período do contrato, o valor da prestação no Sistema Price teve um aumento de 220,25% e no SACRE o aumento foi de apenas 25,96% em relação à prestação inicial ,500 1, Evolução da prestação PRICE SACRE Nº da prestação Evolução do comprometimento da renda 100% 80% 60% 40% 20% 0% Nº da prestação PRICE SACRE

38 MATEMÁTICA FINANCEIRA Exemplo 17.1 Nº da prestação EVOLUÇÃO DO SALDO DEVEDOR: SISTEMA SACRE X SISTEMA PRICE SACRE PRICE % E F G H E/G , ,43 99,68% ,72 0,61% ,81 4,85% 95,64% ,29 0,08% ,50 4,41% 91,68% ,74 0,52% ,79 3,90% 87,78% ,21 1,22% ,11 3,28% 83,96% ,24 2,06% ,97 2,53% 80,20% ,23 3,06% ,08 1,62% 76,50% ,86 4,29% ,21 0,48% 72,87% ,41 5,83% ,63 0,97% 69,30% ,15 7,81% ,59 2,87% 65,78% ,61 10,46% ,92 5,44% 62,29% ,07 24,00% ,50 9,09% 58,79% ,10 19,82% ,33 14,67% 55,24% ,08 29,32% ,47 24,14% 51,47% ,88 48,71% ,33 43,67% 46,87% Saldo Residual 63,54 894,25 Observe que, neste exemplo, após o pagamento da última prestação, o Sistema Price apresenta saldo residual de responsabilidade do mutuário. E: é o saldo devedor no Sistema SACRE, considerando-se o pagamento regular das prestações. F: é o percentual de decréscimo do saldo devedor no Sistema SACRE em relação ao ano anterior. G: é o saldo devedor no Sistema Price, considerando-se o pagamento regular das prestações. 79

39 Unidade II H: é o percentual de acréscimo / decréscimo do saldo devedor no Sistema Price em relação ao ano anterior. E / G: é o percentual que corresponde ao valor do saldo devedor no Sistema SACRE em relação ao Price. Saldo residual: é o valor remanescente no fim do prazo contratado, decorrente da evolução do financiamento. Quando ele é negativo, significa que a dívida foi liquidada e o mutuário terá direito à devolução daquele valor. Quando positivo, é devido o pagamento pelo mutuário para que a dívida seja liquidada (10.000) Evolução do saldo devedor Nº da prestação SACRE PRICE CUSTO EFETIVO Quando é cobrado unicamente juro nas operações de empréstimos e financiamentos, o custo efetivo, qualquer que seja o sistema de amortização adotado, é a própria taxa de juro considerada. Por outro lado, é comum as instituições financeiras cobrarem, além do juro declarado, outros tipos de encargos tais como: IOC (Imposto sobre Operações de Crédito), comissões, taxas administrativas etc. Essas despesas adicionais devem ser consideradas na planilha de desembolsos financeiros Planilha com despesas adicionais Ilustrativamente, admita que uma empresa tenha obtido um financiamento de $50.000,00 para ser amortizado 80

40 MATEMÁTICA FINANCEIRA em quatro prestações anuais de $12.500,00 cada. O financiamento foi concedido sem carência. O custo da operação é constituído de juros de 20% ao ano e o IOC de 4,5%, incidente sobre o valor do crédito e pago quando da liberação dos recursos. O banco cobra ainda uma taxa de 1% ao final de cada ano, incidente sobre o saldo devedor, para cobrir despesas administrativas. Período (anos) Saldo devedor ($) IOC ($) Taxa Administrativa ($) Amortização ($) Juros ($) Prestação ($) , , , ,00 500, , , , ,00 375, , , , ,00 250, , , , , , , ,00 Total 2.250, , , , ,00 Referências bibliográficas ASSAF NETO, Alexandre.; SILVA, César Augusto Tibúrcio. Administração do capital de giro. São Paulo: Atlas, ASSAF NETO, Alexandre. Finanças corporativas e valor. São Paulo: Atlas, Matemática financeira e suas aplicações. 7. ed. São Paulo: Atlas, BENNINGA, Simon Z.; Sarig, Oded H. Corporate finance: a valuation approach. New York: McGraw-Hill, BRAGA, Roberto. Administração financeira: uma abordagem introdutória. São Paulo: Atlas, BREALEY, Richard A.; MYERS, Stewart C. Principles of corporate finance. 6. ed. New York: McGraw-Hill,

41 Unidade II BRIGHAM, Eugene F.; GAPENSKI, Louis C.; EHRHARDT, Michael C. Administração financeira. São Paulo: Atlas, BERNI, Mauro Tadeu. Operação e concessão de crédito: os parâmetros para a decisão de crédito. São Paulo: Atlas, FORTUNA, Eduardo. Mercado financeiro: produtos e serviços. 15. ed. Rio de Janeiro: Qualitymark, HOJI, Masakazu. Administração financeira. São Paulo: Atlas, GITMAN, Lawrence J. Princípios de administração financeira. 7. ed. São Paulo: Harbra, GROPPELLI, Nikbakht. Administração financeira. São Paulo: Saraiva, LEITE, Luiz Lemos. Factoring no Brasil. São Paulo: Atlas, LEMES JUNIOR, Antônio Barbosa, et al. Administração financeira: princípios, fundamentos e práticas brasileiras. Rio de Janeiro: Campus, OLIVEIRA, Dilson Campos. Manual: como elaborar controles financeiros. Belo Horizonte: Sebrae/MG, ROSS, Stephen A.; WESTERFIELD, Randolph W.; JAFFE, Jeffrey F. Administração financeira. 2. ed. São Paulo: Atlas, SAMANEZ, Carlos Patricio. Matemática financeira: aplicações à análise de investimentos. São Paulo: Pretince Hall, SANTOS, Edno Oliveira dos. Administração financeira da pequena e média empresa. São Paulo: Atlas,

42 MATEMÁTICA FINANCEIRA SANTOS, José Odálio. Análise de crédito. São Paulo: Atlas, SANVICENTE, A. Z. Princípios de administração financeira. São Paulo: Person Education do Brasil, A moderna teoria de carteiras e a análise de investimentos. São Paulo: Atlas, Administração financeira. São Paulo: Atlas, VAN HORNE, James C. Financial management and policy. 12. ed. New York: Prentice Hall, WESTON, J. F.; BRIGHAM, Eugene F. Fundamentos da administração financeira. 10. ed. São Paulo: Makron Books,

43 84 Unidade II