MATEMÁTICA FINANCEIRA Í N D I C E

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1 MATEMÁTICA FINANCEIRA Í N D I C E Introdução JUROS (J) Regimes de Capitalização JUROS SIMPLES Capital (C) ou Valor Presente (VP) Taxa (i) Cálculo do Juro Simples Exemplos JURO COMPOSTO Cálculo do Montante (M) ou Valor Futuro (FV) Calculadora Financeira HP-12C Exemplos TAXAS EQUIVALENTES Exemplos Fórmula para Cálculo de Taxas Equivalentes Exemplos Programa para Cálculo da Taxa Equivalente pela Calculadora Financeira HP-12C Exemplos Referência Bibliográfica Introdução Muitos de nós crescemos lendo as histórias do Tio Patinhas (criação de Walt Disney, desenhista norte-americano). Nelas, nos acostumamos a ver Tio Patinhas curtindo sua fortuna, guardada a sete chaves em seu cofre. No mundo real, no entanto, poucas pessoas estão dispostas a agir como Tio Patinhas. Longe disso, quem tem dinheiro disponível nem pensa em guardá-lo consigo. Procura alguma maneira de entregá-lo de Prof.Ms.Carlos Henrique J.Costa carloshjc@yahoo.com.br 1

2 forma a obter mais dinheiro, seja na aquisição de bens, seja no mercado financeiro, ou, simplesmente, emprestando-o a terceiros. Tudo isso é feito a partir de um princípio básico: quem empresta dinheiro a alguém espera recebêlo, depois de certo tempo, acrescido de uma quantia adicional cobrada a título de aluguel do dinheiro. Juros ( J ) É a remuneração obtida a partir do capital de terceiros. Esta remuneração pode ocorrer a partir de dois pontos de vista: de quem paga: nesse caso, o juro pode ser chamado de despesa financeira, custo prejuízo, etc. de quem recebe: podemos entender como sendo rendimento, receita financeira, ganho, etc. Regimes de Capitalização É o processo de formação do juro. Os regimes de capitalização que normalmente são utilizados em Matemática Financeira são SIMPLES (linear) e COMPOSTO (exponencial). Juro Simples É o sistema de capitalização linear. O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor do capital inicial, ou seja, sobre os juros gerados, a cada período, não incidirão novos juros. Capital ( C ) ou Valor Presente ( VP ) ou Present Value ( PV ) ou Principal ( P ) É qualquer valor expresso em dinheiro e disponível em uma determinada data. O capital que dá início a uma dada operação financeira é chamado capital inicial. Também conhecido como: Principal, Valor Atual, Investimento Inicial, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em língua inglesa, usa-se Presente Value, indicado nas calculadoras financeiras (HP Hewlett Packard) pela tecla PV. Taxa ( i ) É o coeficiente obtido da relação dos juros (J) com o capital (C), que pode ser representado em forma percentual ou unitária. A termologia i vem do inglês interest, que significa juro. Prof.Ms.Carlos Henrique J.Costa carloshjc@yahoo.com.br 2

3 A taxa de juro costuma apresentar-se, principalmente, de duas maneiras. Forma porcentual: representa o juro de 100 (cem) unidades do capital, no período tomado como unidade de tempo. São Exemplos: i = 30% am. (lê-se: 30 por cento ao mês) i = 0,5% ad. (lê-se: meio por cento ao dia) Forma unitária ou centesimal: representa o juro de 1 (uma) unidade do capital, no período tomado como unidade de tempo. São Exemplos: i = 0,30 am. Cálculo do Juro Simples i = 0,005 ad. O juro simples é diretamente proporcional ao capital inicial e ao tempo de aplicação, sendo a taxa de juro por período o fator de proporcionalidade: Temos: C capital inicial J juro simples n tempo de aplicação i taxa de juro unitária Fórmula: J = C.i.n Obs: Essa fórmula só pode ser aplicada se o prazo de aplicação n é expresso na mesma unidade de tempo a que se refere à taxa i considerada. Exemplos: 01) Tomou-se emprestada a importância de R$ 5.200,00, pelo prazo de 2 anos, à taxa de 25% ao ano. Qual será o valor do juro a ser pago? C = n = 2 anos i = 25% ou 0,25 a.a. J =? Utilizando a fórmula: J = C.i.n J = 5200 x 25% x 2 J = 5200 x 0,25 x 2 J = 2.600,00 Solução 2: Utilizando a calculadora HP-12C: f [REG] limpando registros anteriores 5200 ENTER entrando com o capital 25 % calculando 25% do capital 2 x multiplicando por 2 anos 2.600,00 resultado do juro a ser pago Prof.Ms.Carlos Henrique J.Costa carloshjc@yahoo.com.br 3

4 02) Aplicou-se a importância de R$ 6.000,00, pelo prazo de 3 meses, à taxa de 1,8% ao mês. Qual o valor do juro a receber? C = n = 3 meses i = 1,8% ou 0,018 a.m. J =? Utilizando a fórmula: Solução 2: Utilizando a calculadora HP-12C: J = C.i.n f [REG] limpando registros anteriores J = 6000 x 1,8% x ENTER entrando com o capital J = 6000 x 0,018 x 3 1,8 % calculando 1,8% do capital 3 x multiplicando por 3 meses J = 324,00 324,00 resultado do juro a receber Juro Composto Juro composto é conhecido popularmente como juros sobre juros. Mas, na verdade, o correto é afirmar que os juros incidem em cada período financeiro, a partir do segundo, é calculado sobre o montante relativo ao período anterior. O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e, portanto, o mais útil para cálculos de problemas do dia-a-dia. Os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte. Matematicamente, o cálculo a juros compostos é conhecido por cálculo exponencial de juros. Observe a demonstração a seguir do regime de capitalização composta para uma aplicação financeira de R$ 1.000,00 por um período de 3 meses a uma taxa de 10% ao mês. Regime de Capitalização Composta n Capital Aplicado Juros de cada período Valor acumulado (Montante) 1 R$ 1.000,00 R$ 1.000,00 x 10% = R$ 100,00 R$ 1.000,00 + R$ 100,00 = R$ 1.100,00 2 R$ 1.100,00 R$ 1.100,00 x 10% = R$ 110,00 R$ 1.100,00 + R$ 110,00 = R$ 1.210,00 3 R$ 1.210,00 R$ 1.210,00 x 10% = R$ 121,00 R$ 1.210,00 + R$ 121,00 = R$ 1.331,00 Diagrama de Fluxo de Caixa para o Regime de Capitalização Composta C x i = R$ 100,00 M 1 x i = R$ 110,00 M 2 x i = R$ 121,00 M = R$ 1.331,00 C = R$ 1.000,00 Prof.Ms.Carlos Henrique J.Costa carloshjc@yahoo.com.br 4

5 Cálculo do Montante (M) ou Valor Futuro (FV) Essa tabela permite concluir que o montante no regime de juro composto é maior que no regime de juro simples (a partir do segundo período). Para encontrarmos o montante (M) ou valor futuro (FV) de uma operação comercial ou financeira, vamos considerar um capital (C) ou valor presente (PV), uma taxa (i) e calculemos o montante (M) ou valor futuro (FV) obtido a juros compostos, após (n) períodos de tempo. Valor futuro após período 1: o FV 1 = PV + PV x i = PV. (1 + i) Valor futuro após período 2: o FV 2 = FV 1 + FV 1 x i = PV.(1 + i).(1 + i) = PV.(1 + i) 2 Valor futuro após período 3: o FV 3 = FV 2 + FV 2 x i = FV 2.(1 + i) = PV.(1 + i) 2.(1 + i) = PV.(1 + i)3 Valor futuro após período n: Para um período n é possível perceber que: FV n = PV.(1 + i) n Assim teremos: FV = PV.(1 + i) n ou M = C.(1 + i) n Observação: Nas calculadoras financeiras é possível calcular diretamente uma das variáveis da fórmula FV = PV.(1 + i) n, para tanto é preciso que sejam conhecidas três das variáveis para que seja calculada a quarta variável. Calculadora Financeira HP-12C: Na calculadora HP-12C, temos as seguintes teclas para cálculo do Juro Composto: PV (do inglês Present Value) representa o capital FV (do inglês Future Value) representa o montante i (do inglês interest) representa taxa n representa o número de períodos Prof.Ms.Carlos Henrique J.Costa carloshjc@yahoo.com.br 5

6 Exemplos: MATEMÁTICA FINANCEIRA 01) Calcular o montante de um capital de R$ 5.000,00, aplicado à taxa de 4% ao mês, durante 5 meses. M ou FV =? C ou PV = R$ 5.000,00 i = 4% ao mês n = 5 meses Utilizando a fórmula: FV = PV.(1 + i) n FV = (1 + 4%) 5 FV = (1 + 0,04) 5 FV = (1,04) 5 FV = (1, ) FV = R$ 6.083,26 Solução 2: Utilizando a calculadora HP-12C: f [REG] limpando registros anteriores 5000 CHS PV valor do capital (negativo) 4 i valor da taxa 5 n períodos FV calculando o montante 6.083,26 resultado do montante 02) Determinado capital gerou, após 6 meses, um montante de R$ 3.880,00. Sabendo que a taxa do juro composto é de 2% ao mês, determine o valor desse capital. C ou PV =? n = 6 meses M ou FV = R$ 3.880,00 i = 2% ao mês Utilizando a fórmula: FV = PV.(1 + i) n 3880 = PV.(1 + 2%) = PV.(1 + 0,02) = PV.(1,02) = PV.(1, ) , = PV PV = R$ 3.445,33 Solução 2: Utilizando a calculadora HP-12C: f [REG] limpando registros anteriores 3880 CHS FV valor do montante (negativo) 2 i valor da taxa 6 n períodos PV calculando o capital 3.445,33 resultado do capital Taxas Equivalentes São aquelas que, referindo-se a períodos de tempo diferentes, fazem com que um capital produza o mesmo montante (FV) num mesmo tempo. No sistema de capitalização composta, ao contrário do que acontece no sistema de capitalização simples, duas taxas equivalentes não são necessariamente proporcionais entre si. Daí a necessidade de obtermos uma relação que nos permita calcular a taxa equivalente, num certo período de tempo, a uma dada taxa de juro composto. Prof.Ms.Carlos Henrique J.Costa carloshjc@yahoo.com.br 6

7 Sejam: i a = taxa anual de juro composto i m = taxa mensal de juro composto Então, se i a equivalente a i m, pela definição de taxas equivalentes, temos: M 1 = C.(1 + i a ) 1 M 2 = C.(1 + i m ) 12 M 1 = M 2 igualando os montantes; C.(1 + i a ) 1 = C.(1 + i m ) 12 cancelando os capitais; (1 + i a ) 1 = (1 + i m ) 12 i a equivalente a i m. Analogamente, podemos estabelecer as seguintes relações: (1 + i d ) 360 = (1 + i m ) 12 = (1 + i t ) 4 = (1 + i s ) 2 = (1 + i a ) 1 i d = taxa diária de juro composto i m = taxa mensal de juro composto i t = taxa trimestral de juro composto i s = taxa semestral de juro composto i a = taxa anual de juro composto Exemplos: 01) Encontrar a taxa anual de juro composto, equivalente a 10% as. i s = 10% ou 0,1 (1 + i a ) 1 = (1 + i s ) 2 (1 + i a ) 1 = (1 + 0,1) 2 (1 + i a ) 1 = (1 + 0,1) i a = (1,1) i a = 1,21 i a = 1,21 1 i a = 0,21 Resposta: 0,21 aa ou 21% aa. Prof.Ms.Carlos Henrique J.Costa carloshjc@yahoo.com.br 7

8 02) Qual é a taxa trimestral equivalente a 30% ao ano? i a = 30% ou 0,3 (1 + i t ) 4 = (1 + i a ) 1 (1 + i t ) 4 = 1 + 0,3 (1 + i t ) 4 = 1,3 1 + i t = 1,3 1/4 inverte-se o expoente 4 do primeiro membro. i t = 1,3 0,25 1 i t = 0,06778 Resposta: 0,067 at ou 6,78% at. Fórmula para Cálculo de Taxas Equivalentes Vimos o cálculo de taxas equivalentes pelo método algébrico, agora mostraremos o cálculo através de uma fórmula pronta e também através de um programa que podemos introduzir na calculadora financeira HP-12C. QQ i (eq) = { ( 1 + i c ) QT 1 } x 100 Onde: i (eq) = Taxa Equivalente; i c = Taxa Conhecida; QQ = Quanto eu Quero; QT = Quanto eu Tenho. Exemplos: 01) Encontrar a taxa anual de juro composto, equivalente a 10% as. Resolução pela fórmula: i eq =? i c = 10% ou 0,1 QQ = 360 dias (período anual, transformado em dias) QT = 180 dias (período semestral, transformado em dias) Prof.Ms.Carlos Henrique J.Costa carloshjc@yahoo.com.br 8

9 Substituindo: MATEMÁTICA FINANCEIRA 360 i (eq) = { ( 1 + 0,1 ) } x 100 substituindo os dados. i (eq) = { ( 1,1 ) 2 1 } x 100 i (eq) = { 1,21 1 } x 100 i (eq) = 21% ao ano cálculo da divisão do expoente cálculo da potência taxa anual solicitada Resolução pela calculadora financeira HP-12C: 1,1 ENTER entrando com a taxa conhecida dividida por 100 e somada com ENTER 180 y x dias pedidos e depois dias conhecidos x transformando em porcentagem 21% ao ano. 02) Qual é a taxa trimestral equivalente a 30% ao ano? Resolução pela fórmula: i eq =? i c = 30% ou 0,3 QQ = 90 dias (período trimestral, transformado em dias) QT = 360 dias (período anual, transformado em dias) Substituindo: 90 i (eq) = { ( 1 + 0,3 ) } x 100 substituindo os dados. i (eq) = { ( 1,3 ) 0,25 1 } x 100 i (eq) = { 1, } x 100 i (eq) = 6,78% ao trimestre cálculo da divisão do expoente cálculo da potência taxa trimestral solicitada Resolução pela calculadora financeira HP-12C: 1,3 ENTER entrando com a taxa conhecida dividida por 100 e somada com ENTER 360 y x dias pedidos e depois dias conhecidos x transformando em porcentagem 6,78% ao trimestre. Prof.Ms.Carlos Henrique J.Costa carloshjc@yahoo.com.br 9

10 Programa para o cálculo da taxa equivalente pela HP-12C: O professor Carlos Shimoda, em seu livro de matemática financeira para usuários do Excel, 2ª edição, publicado pela editora Atlas/SP em 1998, p.48, apresenta um programa para calcular a taxa equivalente através da calculadora HP-12C. Siga os procedimentos abaixo para introduzir o programa na HP-12C: VISOR f P/R 00 - PRGM entra no modo de programação f PRGM 00 - PRGM limpeza de programas anteriores X><Y 01 - PRGM PRGM 10 X><Y 03 - PRGM PRGM PRGM PRGM PRGM PRGM PRGM 40 X><Y 10 - PRGM 34 Y X 11 - PRGM PRGM PRGM PRGM PRGM PRGM 0 x 17 - PRGM 20 f P/R 0,00 Sai do modo de programação. Prof.Ms.Carlos Henrique J.Costa carloshjc@yahoo.com.br 10

11 Exemplos: Agora, após a programação, vamos testar usando os exemplos anteriores: 01) Encontrar a taxa anual de juro composto, equivalente a 10% as. 10 ENTER entrando com a taxa 180 ENTER entrando com o período conhecido 360 R/S entrando com o período para a taxa solicitada 21,00 ou 21% ao ano. 02) Qual é a taxa trimestral equivalente a 30% ao ano? 30 ENTER entrando com a taxa 360 ENTER entrando com o período conhecido 90 R/S entrando com o período para a taxa solicitada 6,78 ou 6,78% ao trimestre. Referência Bibliográfica: BRANCO, A.C.C., Matemática Financeira Aplicada: Método Algébrico, HP-12C, Microsoft Excel. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, GIMENEZ, C.M., Matemática Financeira com HP12C e Excel, São Paulo, PEARSON, SAMANEZ, C.P., Matemática Financeira, 4ª Edição, São Paulo, PEARSON, SCIPIONE, J.T., Matemática Financeira, São Paulo, PEARSON, VERAS, L.L., Matemática Financeira: Uso de Calculadoras Financeiras Aplicações ao Mercado Financeiro. 4. ed. São Paulo: Atlas, Prof.Ms.Carlos Henrique J.Costa carloshjc@yahoo.com.br 11