Lista de Exercícios 10 Matemática Financeira

Transcrição

1 Lista de Exercícios 10 Matemática Financeira Razão Chama-se de razão entre dois números racionais a e b, ao quociente entre eles. Indica-se a razão de a para b por a/b ou a:b. Exemplo: Na sala da 6ª B de um colégio há 20 rapazes e 25 moças. Encontre a razão entre o número de rapazes e o número de moças. (lembrando que razão é divisão) = = (Indica que para cada 4 rapazes existe 5 moças) (Indica que para cada 5 moças existe 4 rapazes) Lendo Razões, lê - se, 2 está para 5 ou 2 para 5 Escala, é a razão entre a medida no desenho e o correspondente na medida real. Escala = Medida de desenho Medida real Exemplo: Em um mapa, a distância entre Montes Claros e Viçosa é representada por um segmento de 7,2 cm. A distância real entre essas cidades é de 4320km. Vamos calcular a escala deste mapa. As medidas devem estar na mesma unidade, logo 4320km = cm Escala =, = Porcentagem Toda a razão que tem um divisão por 100 denomina-se razão centesimal. Alguns exemplos: 7/100, 15/100, 125/100 Podemos representar uma razão centesimal de outras formas: = 0,07 = 7% (lê-se "sete por cento") = 0,16 = 16% = 1,25 = 125% (lê-se "dezesseis por cento") (lê-se "cento e vinte e cinco por cento") Exemplo: João vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos ele vendeu? Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o total de cavalos. 50% de 50 =.50 = = 25 Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa a porcentagem procurada. Exemplos: Calcular 10% de % de 300 =. 3 = 30 Calcular 25% de 200kg. 25% de 200 =. 2 = 50 Logo, 50kg é o valor correspondente à porcentagem procurada.

2 Exercícios resolvidos: a) Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas, transformando em gols 8% dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador fez? 8% de 75 =. 75 = = 6 Portanto o jogador fez 6 gols de falta. b) Se eu comprei uma ação de um clube por R$250,00 e a revendi por R$300,00, qual a taxa percentual de lucro obtida? Montamos uma equação, onde somando os R$250,00 iniciais com a porcentagem que aumentou em relação a esses R$250,00, resulte nos R$300, = 300 2,5 x = x =, x = 20 Portanto, a taxa percentual de lucro foi de 20%. Exercícios: 1) A quantia de R$ 1143,00 representa qual porcentagem de R$ 2540,00? 2) Na compra de um aparelho obtive desconto de 15% por ter feito o pagamento à vista. Se paguei R$ 102,00 reais pelo aparelho, qual era seu o preço original? 3) Em uma turma de Ciências da Computação formada de 40rapazes e 40 moças, tem-se a seguinte estatística:20% dos rapazes são fumantes;30% das moças são fumantes.logo, a porcentagem dos que não fumam na turma é de: 4) Em um viveiro há várias araras. N 60% das araras são azuis, N 40% das araras são vermelhas, N 40% das araras azuis têm bico branco, N 30% das araras vermelhas têm bico branco. Que porcentagem das araras do viveiro tem bico branco? 5) João recebeu um aumento de 10% e com isso seu salário chegou a R$1.320,00. O salário de João antes do aumento era igual a? 6) Que número deve ser somado ao numerador e ao denominador da fração 2/3 para que ela tenha um aumento de 25%? 7) 30% de 30% são: 8) Seu Antônio, um sujeito organizado e atento a promoções, decidiu pesquisar os preços de passagens aéreas, após ler a seguinte manchete: As medidas tomadas para aumentar a concorrência no setor aéreo já tiveram efeito. Os preços das passagens nacionais e internacionais baixaram. Esses preços podem ficar ainda menores se o consumidor se organizar. (O Globo, 12/05/2009) Seu Antônio descobriu que certa empresa aérea estava operando o trajeto Florianópolis São Paulo com um desconto de 40% durante o mês de novembro, e que esta empresa oferecia ainda um desconto adicional de 10%, às segundas-feiras. Ele então decidiu viajar em uma segunda-feira de novembro para economizar R$ 138,00, aproveitando esta promoção. O valor desta passagem, em reais, cobrado por esta empresa antes da promoção, era igual a:

3 Juros Simples O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor principal. Sobre os juros gerados a cada período não incidirão novos juros. Valor Principal ou simplesmente principal é o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros. Transformando em fórmula temos: J = P. i. n Onde: J = juros P = principal (capital) i = taxa de juros n = número de períodos Exemplo: Temos uma dívida de R$ 1000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de juros simples e devemos pagá-la em 2 meses. Os juros que pagarei serão: J = 1000 x 0.08 x 2 = 160 Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante. Montante = Principal + Juros M = P + J Exemplo: Calcule o montante resultante da aplicação de R$70.000,00 à taxa de 10,5% a.a. durante 145 dias. SOLUÇÃO: M = P. ( 1 + (i.n) ) M = [1 + (10,5/100).(145/360)] = R$72.960,42 Observe que expressamos a taxa i e o período n, na mesma unidade de tempo, ou seja, anos. Daí ter dividido 145 dias por 360, para obter o valor equivalente em anos, já que um ano comercial possui 360 dias. Exercícios resolvidos sobre juros simples: 1) Calcular os juros simples de R$ 1200,00 a 13 % a.t. por 4 meses e 15 dias / 6 = logo, 4m15d = x 9 = j = 1200 x = 234 2) Calcular os juros simples produzidos por R$40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a., durante 125 dias. Temos: J = P.i.n A taxa de 36% a.a. equivale a 0,36/360 dias = 0,001 a.d. Agora, como a taxa e o período estão referidos à mesma unidade de tempo, ou seja, dias, poderemos calcular diretamente: J = , = R$5000,00 3) Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende R$3.500,00 de juros em 75 dias? Temos imediatamente: J = P.i.n ou seja: 3500 = P.(1,2/100).(75/30) Observe que expressamos a taxa i e o período n em relação à mesma unidade de tempo, ou seja, meses. Logo, 3500 = P. 0,012. 2,5 = P. 0,030; Daí, vem: P = 3500 / 0,030 = R$ ,67 4) Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessários para dobrar um capital aplicado através de capitalização simples? Objetivo: M = 2.P Dados: i = 150/100 = 1,5 Fórmula: M = P (1 + i.n) Desenvolvimento: 2P = P (1 + 1,5 n) 2 = 1 + 1,5 n n = 2/3 ano = 8 meses

4 Exercícios: 9)O juro produzido por um capital de 5.000,00 aplicado à taxa de juros simples de 6% a.a. durante 2 anos é igual a: a) 500,00 b) 1.200,00 c) 1.000,00 d) 800,00 e) 600,00 10) O juro de uma aplicação de 1.000,00 em 18 meses, se a taxa de juros é de 42% a.a. é de: a) 720,00 b) 420,00 c) 756,00 d) 630,00 e) 1.200,00 11) A quantia a ser aplicada em uma instituição financeira que paga a taxa de juros simples de 8% a.a., para que se obtenha 1.000,00 no fim de 4 anos é: a) 320,00 b) 543,47 c) 238,09 d) 570,00 e)757,58 12) Um capital aplicado a 5% ao mês a juro simples, triplicará em: a) 3 anos b) 80 meses c) 40 meses d) 12 meses e)50meses 13) Um principal de R$ 5.000,00 é aplicado à taxa de juros simples de 2,2% a.m., atingindo, depois de certo período, um montante equivalente ao volume de juros gerados por outra aplicação de R$ ,00 a 5% a.m. durante 1 ano. O prazo de aplicação do primeiro principal foi de: a) 10 meses b) 20 meses c) 2 anos d) 1,5 ano e)30 meses 14) A taxa de juros simples relativa a uma aplicação de R$ ,00 por um período de 10 meses, que gera um montante de R$ ,00 é de: a) 48% a.a. b) 15% a.m. c) 10% a.m. d) 100% a.a. e)5% a.m. 15) Uma loja oferece um relógio por R$ 3.000,00 à vista ou 20% do valor à vista, como entrada, e mais um pagamento de R$ 2.760,00 após 6 meses. A taxa de juros cobrada é de: a) 30% a.a. b) 1% a.d. c)3% a.m. d) 360% a.a. e) 12% a.a. 16)O capital de R$ 530,00 foi aplicado á taxa de juros simples de 3% ao mês. Qual o valor do montante após 5 meses de aplicação? 17) Um capital de R$ 600,00, aplicado a uma taxa de juros simples de 20% ao ano, gerou um montante de R$ 1080,00 depois de certo tempo. Qual foi esse tempo? Juros Compostos O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e portanto, o mais útil para cálculos de problemas do dia-a-dia. Os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte. Chamamos de capitalização o momento em que os juros são incorporados ao principal. Após três meses de capitalização, temos: 1º mês: M =P.(1 + i) 2º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i) 3º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i) Simplificando, obtemos a fórmula: M = P. (1 + i) n Importante: a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n, ou seja, taxa de juros ao mês para n meses. Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do período: J = M - P

5 Exemplo: 1) Fernando empresta o capital inicial de R$ 4000,00 (quatro mil reais) para Pedro cobrando juros compostos de 4% ao mês. Pedro prometeu pagar tudo após 5 meses. Qual será o valor que ele terá que pagar? M =? (é o valor que queremos saber) C = R$ 4000,00 i = 4% /100 = 0,04 t = 5 M = 4000 * (1 + 0,04)5 M= 4000 * (1,04)5 M= 4000 * 1,2165 M= 4866 Subtraindo o capital inicial do montante temos: J = = 866 Exercícios: 18) Aplicando-se R$ ,00 a uma taxa de juro composto de 1,7% a.m., quanto receberei de volta após um ano de aplicação? Qual o juro obtido neste período? 19) Calcular o montante de uma aplicação de R$ 3.500,00, pelas seguintes taxas efetivas e prazos: a) 4% am e 6 meses b) 8% at e 18 meses c) 12% aa. e 18 meses 20)Em que prazo um capital de R$ ,00 acumula um montante de R$ ,00 à taxa efetiva de 15% am? 21) Uma empresa pretende comprar um equipamento de R$ ,00 daqui a 4 anos com o montante de uma aplicação financeira. Calcular o valor da aplicação necessária se os juros efetivos ganhos forem de: a) 13% at b) 18% aa c) 14% as d) 12% am 22) Um capital de R$ ,31 aplicado por 6 meses resultou em R$ ,00. Qual a taxa efetiva ganha? Respostas: 1) 45% 2) 120 reais 3) 75% 4) 36% 5) R$1200,00 6) 3 7) 9% 8) 300 9)E 10)D 11)E 12)C 13)B 14)E 15) A 16)R$609,50 17) 4anos 18) Após um ano de aplicação receberei de volta um total de R$ ,96, dos quais R$ 3.362,96 serão recebidos a título de juros. 19) a) 4.428,62 b) 5.554,06 c) 4.148,54 20) 11 meses 21) a) ,62 b) ,89 c) ,91 d) 434,05 22) 15 % am Profº Leandro Colombi Resendo