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1 10. NÚMEROS COMPLEXOS 10.1 INTRODUÇÃO Números complexos são aqueles na forma a + bi, em que a e b são números reais e i é o chamado número imaginário. O número a é denominado parte real do número complexo e b é denominado parte imaginária do número complexo. Atenção: parte imaginária não deve ser confundida com número imaginário. O número imaginário i equivale à raiz quadrada de 1, isto é, i 1. O número imaginário, portanto, não pertence ao conjunto dos números reais R pois a raiz quadrada de um número negativo não é real. Por outro lado, o quadrado do número imaginário é real, pois i 2 1. Exemplos: a) z 2 + 3i Neste caso, z é um número complexo cuja parte real é 2 e cuja parte imaginária é 3. b) z 1 + i Aqui, z é um número complexo, sua parte real é 1 e sua parte imaginária é 1. c) z 2/3 i/7 Aqui, z é um número complexo, sua parte real é 2/3 e sua parte imaginária é 1/7. c) z 5i Aqui, z é um número complexo, sua parte real é 0 (zero) e sua parte imaginária é 5. d) z 6 Note que, neste caso, z é um real; no entanto, também pode ser interpretado como número complexo com parte imaginária nula. Um número complexo com parte imaginária nula é chamado complexo real puro e um número complexo com parte real nula é chamado complexo imaginário puro. Note que um número complexo real puro é sempre um número real. Decorre disso que o conjunto dos números reais R é um subconjunto do conjunto de números complexos, denominado C. O complexo conjugado de um número z a + bi é dado por z* a bi.

2 Exemplo: Se z 2 3i, então seu complexo conjugado é z* 2 + 3i FORMAS CARTESIANA E POLAR A forma padrão z a + bi é também chamada de forma cartesiana de um número complexo z. Porém, todo número complexo pode ser colocado no que chamamos de forma polar, que envolve medidas trigonométricas: z r cos x i sen x, em que r z a 2 b 2 e o ângulo x é determinado a partir da tangente tg x b a O valor r, também denotado por z, é chamado de módulo do número complexo. (Atenção: módulo de número complexo não deve ser confundido com módulo de número real. Este último é tão somente o valor absoluto do número.) Nota: A forma polar também pode ser escrita como z z e ix, também chamada de forma exponencial, em que e ix é dado pela fórmula de Euler: e ix cos x i sen x, sendo e a constante que é base dos logaritmos naturais. Exercício resolvido: Escreva o número complexo z 1 + i na forma polar. A parte real de z é a 1 e a parte imaginária é b 1. Assim, o módulo de z será r z a 2 b O ângulo x será dado a partir de

3 tg x b a Mas, o menor ângulo x para o qual a tangente dá valor 1 é 45 graus ou π/4 radianos. Isto é, x π/4 radianos. Logo, a forma polar de z é z r cos x i sen x 2 cos 4 i sen 4, sendo o ângulo dado em radianos. Note que obter a forma cartesiana de um número complexo a partir da forma polar é trivial, devemos apenas obter os valores tabelados de cosseno e seno do ângulo dado e desenvolver OPERAÇÕES COM NÚMEROS COMPLEXOS Nas operações envolvendo números complexos devemos colocar o resultado na forma padrão, visto que em aplicações práticas é sempre útil identificar as partes real e imaginária de um número complexo. Nas operações devemos aplicar álgebra regular e agrupar os termos com partes reais e aqueles com partes imaginárias. Exercícios resolvidos: Sejam os números complexos x 2 3i e y 3 + 2i. Determine o resultado das operações abaixo e identifique suas partes real e imaginária: a) x + y b) x y c) xy d) x/y a) x + y (2 3i) + ( 3 + 2i) 2 3i 3 + 2i 1 i Portanto, a parte real de x + y é 1 e a parte imaginária é 1. b) x y (2 3i) ( 3 + 2i) 2 3i + 3 2i 5 5i Portanto, a parte real de x y é 5 e a parte imaginária é 5.

4 c) xy (2 3i)( 3 + 2i) 6 + 4i + 9i 6i i + 9i 6( 1) 6 + 4i + 9i i Portanto, a parte real de xy é nula e a parte imaginária é 13. Trata-se de um número imaginário puro! Note que nesta operação tão somente desenvolvemos o produto aplicando a propriedade distributiva e na 3a. linha substituímos i 2 por seu valor real, 1. d) x y 2 3i 3 2i 2 3i. 3 2i 3 2i. 3 2i 6 4i 9i 6i2 9 4i 2 6 4i 9i i 9i i i Portanto, a parte real de x/y é 12/13 e a parte imaginária é 5/13. Note que na 1a. linha a expressão contém um número imaginário no denominador. Logo, devemos reescrever a fração de forma que o denominador contenha apenas números reais. Para isso, na 2a. linha multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador ( 3 2i) e desenvolvemos os produtos. Na 4a. linha substituímos i 2 por FÓRMULA DE De MOIVRE A fórmula de De Moivre permite obter a n ésima potência de um número complexo z, envolvendo medidas da trigonometria: z n z n cos n x i sen n x,

5 em que z está na forma polar, isto é, z z cos x i sen x. Exercício resolvido: Se z 1 + i, determine z 4. Vimos num exemplo acima que a forma polar de z 1 + i é z 2 cos 4 i sen 4 Então, pela fórmula de De Moivre, z 4 é dado por z cos 4. 4 i sen cos i sen Isto é, z 4 4, tratando-se, portanto, de um complexo real puro. Note que na fórmula empregamos n 4 (e lembrando que z 2 ). Além disso, 2 4 4, cos(π) 1 e sen(π) 0.

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