Propriedades das Funções Deriváveis. Prof. Doherty Andrade

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1 Propriedades das Funções Deriváveis Prof Doerty Andrade 2005

2 Sumário Funções Deriváveis 2 Introdução 2 2 Propriedades 3 3 Teste da derivada segunda para máimos e mínimos 7 2 Formas indeterminadas 8 2 Introdução 8 22 A Regra de L Hospital 8

3 Funções Deriváveis Introdução Dizemos que f : R R é derivável em, e sua derivada é f (), se f () = 0 f( + ) f() se o ite eiste Se f () eiste para todo do seu domínio, dizemos que f é derivável Notação: f () = df() d, Propriedades Sejam f e g funções deriváveis em a e k R Então, a) se f() c, então f () = 0 b) (f + g) () = f () + g () c) (kf) () = kf () d) ( (fg) ) () = f ()g() + f()g () f e) () = f ()g() f()g () g g 2 () Teorema 2 Se f tem derivada em = a, então f é contínua em = a Demonstração: como f (a) eiste, devemos provar que a f() = f(a) Ou equivalentemente, f(a + ) = f(a) 0 Dado 0, temos que f(a + ) = f(a) + [f(a + ) f(a)] = f(a) + f(a + ) f(a) Tomando o ite quando tende a zero, obtemos que [ ] f(a + ) f(a) f(a + ) = f(a) + = f(a) + f (a)0 = f(a) Isto conclui a prova do teorema Teorema 3 (Regra da Cadeia) Sejam g : [a, b] R e f : [c, d] R deriváveis tal que g([a, b]) [c, d] Então, f g : [a, b] R é derivável e (f g) () = f (g())g () 2

4 CAPÍTULO FUNÇÕES DERIVÁVEIS 3 Demonstração: Vamos provar que f g é derivável em 0 (a, b) Devemos provar que o ite a seguir eiste: (f g)( 0 + ) (f g)( 0 ) 0 De fato, podemos reescrever a igualdade acima (f g)( 0 + ) (f g)( 0 ) = f(g( 0 + )) f(g( 0 )) g( 0 + ) g( 0 ) } {{ } I g( 0 + ) g( 0 ) } {{ } II Como g é contínua, então g( 0 + ) g( 0 ) 0 quando 0 Assim, I eiste pois f é derivável e do mesmo modo II eiste, pois g é derivável Logo, (f g) () = f (g())g () Isto conclui a prova do teorema 2 Propriedades Teorema 2 Seja f : (a, b) R derivável com f () > 0 para todo (a, b) Então, a função f é estritamente crescente Demonstração: De fato, como o ite f f(+) f() () = 0 eiste e é maior do que zero, então para suficientemente pequeno, f(+) f() > 0 Logo, se > 0, então f(+) > f() para todo (a, b) Se < 0, então f(+) < f() para todo (a, b) Segue que f é estritamente crescente Um resultado análogo vale para f () < 0, neste caso f será estritamente decrescente Deiamos essa parte como eercício Sabemos que toda função estritamente crescente (ou decrescente) é injetora, assim restringindo f a sua imagem J, obtemos f : (a, b) J bijetora Teorema 22 Seja f : (a, b) R derivável tal que f () > 0 para todo (a, b) Então, a função inversa de f, aqui representada por g, eiste e vale g (y) = f (g(y)) Demonstração: Como f () > 0 para todo (a, b), então f é estritamente crescente e portanto possui inversa Este é um resultado que provamos Seja g a sua inversa Queremos provar que o ite abaio eiste k 0 g(y + k) g(y) k Pelo TVI, todo y + k, para k suficientemente pequeno, pode ser escrito como imagem de f Seja = g(y) e = g(y + k) g(y) Então, = g(y), e g(y + k) = g(y) + = +

5 CAPÍTULO FUNÇÕES DERIVÁVEIS 4 Logo, o quociente fica g(y + k) g(y) k = f( + ) f() = f(+) f() Quando 0 temos que k 0 E reciprocamente, quando k 0, eiste um único valor tal que f( + ) = y + k, pois f é invertível Logo, 0 Segue que g (y) = f (g(y)) Análogo, para f () < 0 Isto conclui a prova do teorema Definição 23 Seja f : I R e 0 I Dizemos que 0 é ponto de máimo absoluto de f em I, se f() f( 0 ), para todo I Nesse caso, f( 0 ) é o valor máimo absoluto de f Dizemos que 0 é ponto de mínimo absoluto de f em I, se f( 0 ) f(), para todo I Nesse caso, f( 0 ) é o valor mínimo absoluto de f Definição 24 Seja f : I R e 0 X Dizemos que 0 é ponto de máimo local de f em I, se eiste um intervalo aberto J I tal que f() f( 0 ), para todo J Nesse caso, f( 0 ) é um valor máimo local de f Dizemos que 0 é ponto de mínimo absoluto de f em I, se eiste um intervalo aberto J I tal que f( 0 ) f(), para todo J Nesse caso, f( 0 ) é um valor mínimo local de f Máimos e mínimos absolutos também são camados de etremos globais e máimos e mínimos locais são camados de etremos locais Na figura 2, vemos que máimo e mínimo globais ocorrem nos etremos do intervalo, e o máimo e o mínimo locais ocorrem no interior do intervalo; mas isso nem sempre é ocorre Teorema 25 Seja f : [a, b] R contínua e derivável em (a, b) Supona que f assume seu valor máimo em 0 (a, b) Então, f ( 0 ) = 0 Demonstração: De fato, como f( 0 ) f(), (a, b), e f f( ( 0 ) = 0 +) f( 0 ) 0 eiste, então obtemos para > 0 que f ( 0 ) 0 Se < 0 obtemos que f ( 0 ) 0 Logo, f ( 0 ) = 0 Observação 26 Um resultado análogo vale quando f assume o seu mínimo em algum ponto do interior do domínio Deiamos esssa parte como eercício Resumindo: Se f assume máimo ou mínimo no interior de seu domínio, então a derivada se anula nesses pontos

6 CAPÍTULO FUNÇÕES DERIVÁVEIS 5 mæimo e m nimo Figura : Máimos e Mínimos: diferenças Definição 27 Um ponto 0 tal que f ( 0 ) = 0 é camado de ponto crítico de f Como vimos acima no teorema 25, os pontos de máimo e mínimo locais de uma função são pontos críticos Mas (isso é importante) eistem pontos críticos que não são pontos de máimo ou mínimo locais Teorema 28 (Teorema de Rolle) Seja f : [a, b] R contínua e derivável em (a, b) Se f(a) = f(b) = 0, então eiste 0 (a, b) tal que f ( 0 ) = 0 Teorema de Rolle Teorema de Rolle

7 CAPÍTULO FUNÇÕES DERIVÁVEIS 6 Demonstração: Se f() 0, então não á o que provar Se f() 0, então f deve ser ou positiva ou negativa em algum lugar Supona que f é positiva, pelo teorema do etremo, f assume o máimo em algum ponto 0 de (a, b), portanto f ( 0 ) = 0 Supondo que f seja negativa, aplicamos o teorema do etremo para o mínimo Outra versão do Teorema de Rolle é dada a seguir, onde a condição f(a) = f(b) = 0 é retirada Teorema 29 (Teorema de Rolle-II) Seja f : [a, b] R contínua e derivável em (a, b) Se f(a) = f(b), então eiste 0 (a, b) tal que f ( 0 ) = 0 Demonstração: Supona que f(a) = f(b) = m e defina g() = f() m, [a, b] É claro que g é contínua em [a, b] e derivável em (a, b) Aplicando o Teorema de Rolle, segue que eiste 0 (a, b) tal que g ( 0 ) = 0 Isto é, f ( 0 ) = 0 Teorema 20 (Valor Médio) Seja f : [a, b] R contínua e derivável em (a, b) Eiste c (a, b) tal que f f(b) f(a) (c) = b a Teorema do valor mødio Teorema de Rolle Demonstração: Seja g a função definida por [ ] f(b) f(a) g() = f() ( a) f(a), [a, b] b a É claro que g tem as mesmas propriedades que f e g(a) = g(b) = 0 Assim, g satisfaza às condições do Teorema de Rolle, logo, eiste c (a, b) tal que g (c) = 0 Segue que g (c) = f(b) f(a) b a Eiste uma versão mais geral do Teoema de Rolle, que apresentamos a seguir

8 CAPÍTULO FUNÇÕES DERIVÁVEIS 7 Teorema 2 Seja f : [a, b] R contínua e n vezes derivável em (a, b) Se eistem 0,,, n pontos em [a, b] tais que f( i ) = 0, i = 0,,, n, então eiste c (a, b) tal que f (n) (c) = 0 Corolário 22 Seja f : [a, b] R contínua e derivável em (a, b) Se f () = 0 para todo (a, b), então f é constante Demonstração: De fato, sejam < y pontos em (a, b) Pelo Teorema do valor médio aplicado no intervalo (, y), temos que f() f(y) y = 0 Logo, f() = f(y) para quaiquer, y (a, b) Logo, f é constante Corolário 23 Sejam f, g : [a, b] R contínuas e deriváveis em (a, b) Se f () = f () para todo (a, b), então f g é constante Demonstração: de fato, tome () = f() g(), [a, b] Segue que é contínua em [a, b] e derivável em (a, b) Além disso, () = 0 para todo (a, b) Logo, c para alguma constante e portanto, f() g() = c 3 Teste da derivada segunda para máimos e mínimos Teorema 3 Seja f : [a, b] R uma função contínua em [a, b] e duas vezes derivável em (a, b) Seja c (a, b) um ponto crítico de f a) Se f (c) < 0, então f tem um máimo local em = c b) Se f (c) > 0, então f tem um mínimo local em = c Demonstração: Supona que f (c) < 0, então pela definição f (c) = 0 f (c + ) f (c) Logo, tomando > 0 obtemos que eiste δ > 0 tal que f () < 0 para todo (c, c + δ) Segue que f é decrescente em (c, c + δ) Do mesmo modo, tomando < 0 obtemos que eiste δ > 0 tal que f () > 0 para todo (c δ, c)segue que f é crescente em (c δ, c) Portanto, f assume máimo local em = c O ítem b) é análogo < 0

9 2 Formas indeterminadas O conjunto do números reais etendidos é o conjunto dos números reais acrescido de dois símbolos: e + O conjunto dos números reais estendidos é ordenado como o conjunto dos números reais, sendo que < r < para qualquer real r R Se e y são reais, definimos: + = + = = + = + = = =, se > 0 =, se < 0 =, se > 0 =, se < 0 = 0 ± 2 Introdução São formas indeterminadas: 0 0,, e A razão para isso é que não eiste uma forma definitiva de determinarmos o valor Essas indeterminações surgem da necessidade de calcular ites; sendo que um estudo mais aprofundado desses casos mostra que as indeterminações dão um coisa ou outra Por eemplo, vamos calcular o ite n 0 n 0 n 2 Vemos que tanto o numerador quanto o denominador tendem para zero Então, teremos 0 0 Mas, n Por outro lado, 0 n = 0 n 2 n 0 n 0 n+2 = 0 2 n 0 n 0 n(+ 2 ) = n 0 n 2 = 22 A Regra de L Hospital Como 0 0 é uma forma indeterminada, não é imediato calcular a f() g(), onde a f() = 0 e a g() = 0 Teorema 22 Sejam f e g funções definidas e diriváveis em uma vizinança V de a, onde a é algum número real etendido 8

10 CAPÍTULO 2 FORMAS INDETERMINADAS 9 Supona que () g() 0 para todo da vizinança V (2) g () 0 para todo da vizinança V (3) a f() = 0 e a g() = 0 (4) a f () g () Então, a f() g() = c = c, onde c é algum real etendido A nossa demonstração desse teorema necessita do teorema do valor médio de Caucy Teorema 222 (Valor médio de Caucy) Sejam F, G : [a, b] R funções contínuas e deriváveis em (a, b) com G () 0 para todo (a, b) Então, eiste c (a, b) tal que F (b) F (a) G(b) G(a) = F (c) G (c) Demonstração: Tomemos a função dada por H() = [F () F (a)] [G(b) G(a)] [F (b) F (a)] [G() G(a)] É fácil ver que H é contínua em [a, b] e dirivável em (a, b) Além disso, H(a) = H(b) = 0 Pelo teorema de Rolle, eiste c (a, b) tal que H (c) = 0 Isto nos dá, ou seja F (c) [G(b) G(a)] [F (b) F (a)] G (c), F (b) F (a) G(b) G(a) = F (c) G (c) Demonstração: (Teorema 22) Seja b suficientemente pequeno de modo que [a, b] esteja contido em V funções { { f(), se a g(), se a F () = G() = 0, se = a, 0, se = a Defina as Segue que F e G são contínuas em [a, b] e diferenciável em (a, b), onde b é suficientemente pequeno de modo que [a, b] esteja contido em V Além disso, G () 0 para todo (a, b) Pelo Teorema do valor médio de Caucy, para cada (a, b), eiste a (a, b) tal que F () F (a) G() G(a) = F (a ) G (a ) Assim,

11 CAPÍTULO 2 FORMAS INDETERMINADAS 0 f() a + g() = F () a + G() = F () F (a) a + G() G(a) = F (a ) a + G (a ) = f (a ) a + g (a ) = c, pois a a quando a Isto mostra que o ite lateral à direita é o esperado De modo análogo, fazemos com o ite lateral à esquerda Isto conclui a prova do teorema Observação 223 A regra de L Hopital também vale para e para ites laterais Eemplo 224 Determine ( ln ) Diretamente, obtemos Vamos usar L Hosptial Seja y = ln Então, e y = e Tomando, obtemos e y = Logo, y, e portanto ( ln ) = 2 Determine o ite ( + ) Note que diretamente, obtemos Seja y = ( + ) Aplicando ln obtemos ln y = ln( + ) = ln( + ) Agora, calculando o ite diretamente, obtemos 0 Vamos usar a regra de L Hospital 0 Assim, temos y = ln( + ) = = + = Como ln y quando, então y e quando Logo, temos que ( + ) = e