Pré-Cálculo. Humberto José Bortolossi. Aula de junho de Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense

Tamanho: px

Começar a partir da página:

Download "Pré-Cálculo. Humberto José Bortolossi. Aula 13 13 de junho de 2011. Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense"

Heloísa Meneses Oliveira
8 Há anos
Visualizações:

1 Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Aula de junho de 2011 Aula 13 Pré-Cálculo 1

2 Função poligonal Definição Dizemos quem uma função f : R R é uma função poligonal se o seu gráfico é uma linha poligonal Funções Poligonais 0 t 0 t 1 t 2 Aula 13 Pré-Cálculo 2 Aula 13 Pré-Cálculo 4 Observações Assim, se f : R R é uma função poligonal se eistem t 0 < t 1 < < t n tais que, para t 0, para t n e em cada um dos intervalos [t i 1, t i ], f coincide com uma função afim f i Para evitar descontinuidades, eige-se que f i (t i )=f i 1 (t i 1 ) Eemplo Os novos valores do IR-fonte são os seguintes: Base de Cálculo Alíquota Parcela a Deduzir Até R$ 900,00 Isento De R$ 900,00 a R$ 1 800,00 15% R$ 135,00 Acima de R$ 1 800,00 25% R$ 315,00 Baseado na tabela acima, construa o gráfico do imposto a pagar em função do rendimento t 0 t 1 t 2 Solução Se f () é o imposto a pagar para uma base de cálculo de reais, então 0 As funções poligonais surgem naturalmente, tanto na vida cotidiana (imposto de renda como função da renda líquida, preço de uma mercadoria que oferece descontos crescentes quando aumenta a quantidade comprada) como em diversas áreas da matemática (análise, cálculo numérico, equações diferenciais, topologia, etc) 0, se 0 900, f () = 0,15 135, se 900 < 1800, 0,25 315, se > Aula 13 Pré-Cálculo 7 Aula 13 Pré-Cálculo 18

descontinuidades, eige-se que f i (t i )=f i 1 (t i 1 ) Eemplo Os novos valores do IR-fonte são os seguintes: Base de Cálculo Alíquota Parcela a Deduzir Até R$ 900,00 Isento De R$ 900,00 a R$ 1

3 Aplicação: aproimação no cálculo de áreas Eemplo Desenhe o gráfico da função real f () = Solução Temos que f () =g() +h(), onde g() = 1 e h() = 2 Agora, pela definição de módulo, g() = { 1, se 1, + 1, se < 1, e h() = { 2, se 2, + 2, se < 2 Assim, ( 1)+( 2), se 2, f () =g()+h() = ( 1)+( + 2), se 1 < 2, ( + 1)+( + 2), se < 1 2 3, se 2, = 1, se 1 < 2, 2 + 3, se < 1 cujo gráfico é apresentado na figura abaio 3 (Ir para o GeoGebra) Aula 13 Pré-Cálculo 19 Aula 13 Pré-Cálculo 37 Eemplo: o gráfico de f () = Funções da forma f () = n, com n N Aula 13 Pré-Cálculo 38 Aula 13 Pré-Cálculo 39

2, ( + 1)+( + 2), se < 1 2 3, se 2, = 1, se 1 < 2, 2 + 3, se < 1 cujo gráfico é apresentado na figura abaio 3 (Ir para o GeoGebra) 1 0 1 2 3 Aula 13

4 Funções da forma f () = n, com n N f : R R = f () = n Funções da forma f () = n, com n N f : R R = f () = n, com n um número par Importante: se n N, n é uma notação para } {{ } n fatores Propriedades: (1) R, n, m N, n m = n+m Prova: n m = } {{ } n fatores } {{ } m fatores (2) R, n, m N, ( n ) m = n m Prova: eercício! = } {{ } n+m fatores = n+m (1) A função f é par (2) A função f é crescente em [0, + ) Prova: use a identidade a n b n =(a b)(a n 1 + a n 2 b + + ab n 2 + b n 1 ) (3) A imagem de f é o intervalo [0, + ) Prova: será feita na disciplina de cálculo Aula 13 Pré-Cálculo 53 Aula 13 Pré-Cálculo 59 Funções da forma f () = n, com n N f : R R = f () = n, com n um número ímpar (1) A função f é ímpar (2) A função f é crescente em R =(, + ) Prova: use a identidade a n b n =(a b)(a n 1 + a n 2 b + + ab n 2 + b n 1 ) (3) A imagem de f é R =(, + ) Prova: será feita na disciplina de cálculo Proposição Seja f : R R definida por = f () = n, com n N (a) Se 0 < < 1, então n+1 < n (b) Se > 1, então n+1 > n Demonstração Se 0 < < 1, então 0 < < 1, isto é, 0 < 2 < Agora, se 0 < 2 <, então 0 < 2 <, isto é, 0 < 3 < 2 Prosseguindo com este raciocínio, concluímos que 0 < n+1 < n, para todo n N Isto demonstra a parte (a) A parte (b) fica como eercício Aula 13 Pré-Cálculo 65 Aula 13 Pré-Cálculo 79

= } {{ } n+m fatores = n+m (1) A função f é par (2) A função f é crescente em [0, + ) Prova: use a identidade a n b n =(a b)(a n 1 + a n 2 b + + ab n 2 + b n 1 ) (3) A imagem de f é o intervalo [0, +

5 Revisão: funções da forma elevado a n A função raiz n-ésima Aula 13 Pré-Cálculo 80 Aula 13 Pré-Cálculo 81 A função raiz n-ésima: caso n par f : [0, + ) [0, + ) = f () = n, com n par Já demonstramos que f : [0, + ) [0, + ) é injetiva Já mencionamos que f : [0, + ) [0, + ) é sobrejetiva (a prova deste fato requer ferramentas de análise) Logo f : [0, + ) [0, + ) é bijetiva e, portanto, inversível A função inversa f 1 de f é denominada função raiz n-ésima Usaremos as notações e 1/n A função raiz n-ésima: caso n ímpar f : (, + ) (, + ) = f () = n, com n ímpar Já demonstramos que f : (, + ) (, + ) é injetiva Já mencionamos que f : (, + ) (, + ) é sobrejetiva (a prova deste fato requer ferramentas de análise) Logo f : (, + ) (, + ) é bijetiva e, portanto, inversível A função inversa f 1 de f é denominada função raiz n-ésima Usaremos as notações e 1/n para representar f 1 () para representar f 1 () Note então que, se n é par e a 0, então a éoúnico número real 0 que, elevado a n, dá o número real a Note então que, se n é ímpar e a R, então a éoúnico número real que, elevado a n, dá o número real a Aula 13 Pré-Cálculo 92 Aula 13 Pré-Cálculo 103

A função inversa f 1 de f é denominada função raiz n-ésima Usaremos as notações e 1/n A função raiz n-ésima: caso n ímpar f : (, + ) (, + ) = f () = n, com n ímpar Já demonstramos que f : (, + ) (, +

6 A função raiz n-ésima Cuidado! Se n é par, o domínio de f () = = 1/n é [0, + ) Se n é ímpar, o domínio de f () = = 1/n é R (Ir para o GeoGebra) Aula 13 Pré-Cálculo 104 Aula 13 Pré-Cálculo 107 Propriedades da função raiz n-ésima para n par Propriedades da função raiz n-ésima para n ímpar Se n é par, a R, a n = a Se n é ímpar, a R, a n = a Se n é par, a, b 0, a b = a b e a, b 0, a b = a b Se n é ímpar, a, b R, a b = a b Se n é par, a 0, b > 0, n a b = n a b e a 0, b < 0, n a b = n a b Se n é ímpar, a R, b R {0}, n a b = n a b A função raiz n-ésima é crescente (n par): a, b 0, a < b a < b A função raiz n-ésima é crescente (n ímpar): a, b R, a < b a < b Se n é par, a, b 0, a + b a + b Se n é ímpar, a, b 0, a + b a + b Aula 13 Pré-Cálculo 113 Aula 13 Pré-Cálculo 119

n-ésima para n par Propriedades da função raiz n-ésima para n ímpar Se n é par, a R, a n = a Se n é ímpar, a R, a n = a Se n é par, a, b 0, a b = a b e a, b 0, a b = a b Se n é ímpar, a, b R,

7 Observações Mais propriedades As demonstrações destas propriedades seguem basicamente as mesmas técnicas usadas na demonstração das propriedades da função raiz quadrada Elas ficam, portanto, como eercícios Na última propriedade, a fórmula do binômio de Newton pode ser útil: n ( ) n (a + b) n = a n i b i i i=0 Mesmo para n ímpar, devemos colocar como hipótese que a e b sejam maiores do que ou iguais a zero na desigualdade a + b a + b da última propriedade De fato: se a = 1, b = 1 e n = 3, então = 3 2 > 2 = Se n é par e m N, então 0, Se n é ímpar e m N, então R, Se m é par ou n é par, então 0, Se m e n são ímpares, então R, m =( ) m m =( ) m n m = nm n m = nm Aula 13 Pré-Cálculo 128 Aula 13 Pré-Cálculo 133

que a e b sejam maiores do que ou iguais a zero na desigualdade a + b a + b da última propriedade De fato: se a = 1, b = 1 e n = 3, então 3 1 1 = 3 2 > 2 = 3 1 + 3 1 Se n é par e m

Documentos relacionados

Potenciação no Conjunto dos Números Inteiros - Z

Rua Oto de Alencar nº 5-9, Maracanã/RJ - tel. 04-98/4-98 Potenciação no Conjunto dos Números Inteiros - Z Podemos epressar o produto de quatro fatores iguais a.... por meio de uma potência de base e epoente