Planejamento e Análise de Sistemas de Produção

Transcrição

1 Aula 26 Planejamento e Análise de Sistemas de Produção Paulo Augusto Valente Ferreira Departamento de Telemática Faculdade de Engenharia Elétrica e Computação Universidade Estadual de Campinas

2 Conteúdo Aula 26 1 Programação Dinâmica (2)

3 Três oportunidades de investimento e capital de $4000. Retornos para múltiplos de $1000: Investimento Retorno Op Retorno Op Retorno Op Determinar as decisões ótimas de investimento x1, x 2 e x3 de forma a maximizar o retorno total.

4 Os retornos são funções não-lineares das quantidades investidas. Expressando as quantidades $1000, tem-se b = 4 e a tabela abaixo: x f 1 (x) f 2 (x) f 3 (x) A aplicação do método da Programação Dinâmica tem início no terceiro estágio do problema.

5 Decisões d 3 (u), u = 0, 1,...,4. Para u = 4; m 3 (4) = max {f 3(x)} 0 x 4 = max {f 3 (0), f 3 (1), f 3 (2), f 3 (3), f 3 (4)} = max {0, 1, 4, 5, 8} = 8; O máximo ocorre quando x = 4. Portanto d 3 (4) = 4. Analogamente, m 3 (3) = m 3 (2) = m 3 (1) = m 3 (0) = max 3(x)} = 5, 0 x 3 d 3 (3) = 3; max 3(x)} = 4, 0 x 2 d 3 (2) = 2; max 3(x)} = 1, 0 x 1 d 3 (1) = 1; max 3(x)} = 0, 0 x 0 d 3 (0) = 0.

6 Segundo estágio: m 2 (4) = max {f 2(x) + m 3 (4 x)} 0 x 4 = max {f 2 (0) + m 3 (4), f 2 (1) + m 3 (3), f 2 (2) + m 3 (2), f 2 (3) + m 3 (1), f 2 (4) + m 3 (0)} = max {0 + 8, 1 + 5, 3 + 4, 6 + 1, 7 + 0} = 8, d 2 (4) = 0; Demais decisões ótimas: m 2 (3) = m 2 (2) = m 2 (1) = m 2 (0) = max 2(x) + m 3 (3 x)} = 6, 0 x 3 d 2 (3) = 3; max 2(x) + m 3 (2 x)} = 4, 0 x 2 d 2 (2) = 0; max 2(x) + m 3 (1 x)} = 1, 0 x 1 d 2 (1) = 1 ou 0; max 2(x) + m 3 (0 x)} = 0, 0 x 0 d 2 (0) = 0.

7 Primeiro estágio: m 1 (4) = max {f 1(x) + m 2 (4 x)} 0 x 4 = max {f 1 (0) + m 2 (4), f 1 (1) + m 2 (3), f 1 (2) + m 2 (2), f 1 (3) + m 2 (1), f 1 (4) + m 2 (0)} = max {0 + 8, 2 + 6, 5 + 4, 6 + 1, 7 + 0} = 9, d 1 (4) = 2; O retorno máximo é 9. Política ótima de investimento: x 1 = d 1(4) = 2 (Oportunidade 1) x 2 = d 2(4 2) = d 2 (2) = 0 (Oportunidade 2) x 3 = d 3(4 2 0) = d 3 (2) = 2 (Oportunidade 3).

8 A expressão através da qual obtem-se uma política ótima de decisões varia de acordo com o problema; Exemplo: uma dada empresa é contratada para atender a demanda de um produto numa base semanal; Seja D j o número de unidades do produto demandadas pelo contratante na semana j; A demanda semanal pode ser atendida pelo estoque, pela produção ou por uma combinação estoque produção.

9 Seja f j (x) o custo de produção na semana j quando x unidades do produto são produzidas; Seja I j (u) o custo de estocar u unidades na semana j. Produção e estoque semanais são limitadas a C e E; Obtenha uma política ótima que atenda a demanda e minimize a soma dos custos de produção e estoque; A modelagem via PD consiste em associar estágios a semanas e estado ao estoque na semana.

10 Fórmula recorrente a ser usada para j = 1, 2,...,n 1: m j (u) = min 0 x C {f j(x) + I j (u) + m j+1 (u + x D j )}; O estado no estágio j + 1 será u + x D j : unidades em estoque + unidades produzidas demanda em j; Para que seja possível determinar m j (u) é necessário restringir x a valores tais que 0 u + x D j E; Na prática faz-se m j+1 = M (grande) se u + x D j > E ou u + x D j < 0. As decisões x associadas ficam fora da política ótima.

11 Uma empresa fabrica até 4 computadores/semana (C = 4) e deve fornecer 3, 2, 4 e 2 nas próximas 4 semanas; Os custos de produção (em $1000) são: Unidades, x Custo, f(x) Os computadores podem ser entregues ou estocados para futura entrega a um custo de $4 por semana; A firma não pode estocar mais do que 3 computadores por vez (E = 3). Os estoques inicial e final devem ser nulos.

12 Custos de produção e estoque não variam com a semana. As demandas são D 1 = 3, D 2 = 2, D 3 = 4 e D 4 = 2; A decisão ótima no quarto estágio é produzir a parcela da demanda D 4 = 2 não atendida pelo estoque; Se o estoque é de 3 unidades, a demanda é atendida e sobra 1 unidade. Evita-se isso com m 4 (3) = M; Decisões ótimas em função do estoque: m 4 (2) = f(0) + I(2) = = 12, d 4 (2) = 0 m 4 (1) = f(1) + I(1) = = 17, d 4 (1) = 1 m 4 (0) = f(2) + I(0) = = 19, d 4 (0) = 2.

13 Os demais valores são obtidos por m j (u) = min 0 x 4 {f(x) + I(u) + m j+1(u + x D j )}; Terceiro estágio: Segundo estágio: m 3 (3) = 44, d 3 (3) = 1 m 3 (2) = 46, d 3 (2) = 2 m 3 (1) = 50, d 3 (1) = 3 m 3 (0) = 51, d 3 (0) = 4; m 2 (3) = 66, d 2 (3) = 0 m 2 (2) = 63, d 2 (2) = 0 m 2 (1) = 68, d 2 (1) = 1 m 2 (0) = 70, d 2 (0) = 2.

14 Primeiro estágio: m 1 (0) = 97, d 1 (0) = 3; O estoque inicial é nulo. A empresa produz 3 (d 1 (0) = 3), atende a demanda e mantem o estoque nulo; Com estoque ainda nulo, a empresa produz 2 (d 2 (0) = 2), atende a demanda e mantem o estoque nulo; Com estoque ainda nulo, a empresa produz 4 (d 3 (0) = 4), atende a demanda e mantem o estoque nulo; Com estoque ainda nulo, a empresa produz 2 (d 4 (0) = 2), atende a demanda e encerra com estoque nulo; A política ótima para a empresa implica em não trabalhar com estoque, devido ao alto custo de estocagem.