Regra de Simpson. Eduardo Camponogara

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Henrique de Almeida Lameira
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1 Integração Numérica Eduardo Camponogara Departamento de Automação e Sistemas Universidade Federal de Santa Catarina DAS-5103: Cálculo Numérico para Controle e Automação 1/33

2 Sumário Fórmula Geral das Regras Newtonianas 2/33

3 Sumário Fórmula Geral das Regras Newtonianas 3/33

4 Problema de Interesse Integração Numérica Problema Buscamos calcular o valor da integral definida: F(x) = b por meio de métodos numéricos. a f(x)dx Métodos numéricos são adequados para situações onde F(x) não pode ser obtida analiticamente ou quando o cômputo da solução anaĺıtica é complexo. 4/33

a f(x)dx Métodos numéricos são adequados para situações onde F(x) não pode

5 Simples Princípios Se aproximarmos f por um polinômio f de grau 2 (uma parábola) teremos a chamada. Porém, para interpolarmos f por uma parábola precisamos de 3 pontos para construirmos a fórmula da regra simples. Sejam a e b dois pontos dados e y m, o ponto médio dado por y m = a+b 2. 5/33

Porém, para interpolarmos f por uma parábola precisamos de 3 pontos para

6 Simples Pelo polinômio de Lagrange temos que: Lagrange f(x) = f (x) f(x) = f(a) (x b)(x y m) (a b)(a y m ) (x a)(x b) +f(y m ) (y m a)(y m b) +f(b) (x a)(x y m) (b a)(b y m ) 6/33

7 Simples Podemos obter f (x) através do polinômio de Gregory-Newton, usando as diferenças divididas: Gregory-Newton f (x) = f(a)+(x a) f(a) h onde: f(a) = f(y m ) f(a) +(x a)(x y m ) 2 f(a) 2h 2 2 f(a) = f(b) 2f(y m )+f(a) 7/33

8 Simples Fazendo uma mudança de variável: verificamos que: x(α) = a+αh,α [0,2] dx = h dx = hdα dα x a = a+αh a x a = αh De acordo com esta mudança de variável, temos que x(0) = a, x(1) = y m e x(2) = b para h = b a 2. 8/33

9 Simples Daí deduzimos que: [ (x a)(x y m ) = αh a+αh (a+a+2h) ] 2 [ ] 2a+2αh 2a 2h = αh 2 = αh[α 1]h = α(α 1)h 2 9/33

10 Simples b a Podemos então obter a integral aproximada: f (x)dx = = = h { [ f(a)+αh f(a) h + α(α 1)h2 2 f(a) 2h 2 [ f(a)+α f(a)+ α(α 1) 2 f(a) 2 [f(a)α] f(a) [ α 2 2 ] f(a) 2 ] hdα [ α 3 ] hdα 3 α2 2 = h[2f(a)+2(f(y m ) f(a))+ 1 3 (f(b) 2f(y m)+f(a))] ] 2 0 } 10/33

2 f(a) 2 [f(a)α] 2 0 + f(a) [ α 2 2 ] 2 0 + 2 f(a) 2 ] hdα [ α 3 ] hdα

11 Simples Simples A partir do desenvolvimento acima, chegamos a Simples: onde: b a f (x)dx = h 3 [f(a)+4f(y m)+f(b)], y m = a+b 2 e h = b a 2 11/33

12 Simples A aproximação quadrática f (x) de f(x) no intervalo [a,b], com ponto médio em y m, é ilustrada na figura abaixo. f(x) f (x) a y m b Figura: Regra de Simpsom 12/33

13 Composta Composta Seguindo a mesma técnica de integração da regra dos trapézios composta, mas desta fez utilizando o integrador de Simpson, obtemos a Composta: S(h j ) = = n S j (h) j=1 n j=1 h j 3 [f(x j)+4f(y j )+f(x j+1 )] onde y j = x j+x j+1 2 e h j = x j+1 x j 2, j = 1,...,n. 13/33

obtemos a Composta: S(h j ) = = n S j (h) j=1 n j=1 h j 3 [f(x j)+4f(y

14 Composta Composta Composta: Equacionamento Expandindo a expressão de Simpson e assumindo que h j = h para todo j, podemos expressar a regra composta na forma: S(h) = h 3 [f(x 1)+4f(y 1 )+2f(x 2 )+4f(y 2 )+2f(x 3 ) f(x n )+4f(y n )+f(x n+1 )]. 14/33

podemos expressar a regra composta na forma: S(h) = h 3 [f(x

15 Fórmula Geral das Regras Newtonianas Sumário Fórmula Geral das Regras Newtonianas 15/33

16 Fórmula Geral das Regras Newtonianas Fórmula Geral das Regras Newtonianas Definições Podemos generalizar os procedimentos anteriores e aproximar f por um polinômio de grau m. Na regra dos retângulos utilizou-se um polinômio interpolador de grau 0, na regra dos trapézios um polinômio de grau 1, e por último um polinômio de grau 2 na regra de Simpson. Ao adotarmos um polinômio de grau m, precisamos determinar m+1 pontos no intervalo [a,b] para a aplicação da regra simples. 16/33

Na regra dos retângulos utilizou-se um polinômio interpolador de grau 0, na regra dos trapézios um polinômio de grau 1,

17 Fórmula Geral das Regras Newtonianas Fórmula Geral das Regras Newtonianas Definições Seja: h > 0 a distância entre os nós; x 0 = a o nó inicial; x k = x 0 +hk tal que k = 0,...,m os demais nós; f k = f(x k ) o valor da função nos diferentes nós. 17/33

0 = a o nó inicial; x k = x 0 +hk tal que k = 0,.

18 Fórmula Geral das Regras Newtonianas Fórmula Geral Com as definições acima, obtemos a fórmula de interpolação de Newton fazendo: m ( ) u f(x) = k f k 0 +R m+1, onde k=0 u = x x 0 ( ) h u u(u 1)(u 2)...(u k +1) = k k! h R m+1 = (m+1)! u(u 1)...(u m)f m+1 (η), x 0 < η < x m 18/33

f(x) = k f k 0 +R m+1, onde k=0 u = x x 0 ( ) h u u(u 1)(u 2).

19 Fórmula Geral das Regras Newtonianas Fórmula Geral Fórmula Geral das Regras Newtonianas Integrando f e trocando a integral com a somatória, temos: b a f(x)dx m = h a k k f 0 +R m+1, onde a k = k=0 β α ( u k R m+1 = h m+1 β α ) du; α = a x 0 h ( u m+1 e β = b x 0 h ) f (m+1) (η(u))du 19/33

temos: b a f(x)dx m = h a k k f 0 +R m+1, onde a k = k=0 β α ( u k R m+1

20 Sumário Fórmula Geral das Regras Newtonianas 20/33

21 Exemplo 1 Exemplo 1 Descrição do Problema Tomemos como tarefa o cálculo de 1 0 e x2 dx através da Regra dos Trapézios: 1. com n = 4 2. com n = 8 21/33

22 Exemplo 1 Caso 1 (n=4) Para n = 4: Nesta situação os parâmetros e nós são como segue: h = b a 4 x 1 = 0 x 2 = 0.25 x 3 = 0.5 x 4 = 0.75 x 5 = 1.0 = /33

23 Exemplo 1 Caso 1 (n=4) Usando a expressão: T(h) = h 2 [f(x 1)+2f(x 2 )+2f(x 3 )+...+2f(x n )+f(x n+1 )] E substituindo os valores do slide anterior, obtemos: T(h) = 0.125[ ] = /33

24 Exemplo 1 Caso 2 (n=8) Para n = 8: Nesta situação os parâmetros e nós são como segue: h = x 1 = 0 x 2 = x 3 = 0.25 x 4 = x 5 = 0.5 x 6 = x 7 = 0.75 x 8 = x 9 = /33

25 Exemplo 1 Caso 2 (n=8) Usando a expressão: T(h) = h 2 [f(x 1)+2f(x 2 )+2f(x 3 )+...+2f(x n )+f(x n+1 )] obtemos: T(0.125) = [f(x 1)+2f(x 2 )+2f(x 3 ) f(x 8 )+f(x 9 )] = /33

26 Exemplo 1 Exemplo 1 Resultados Comparando os dois resultados, vimos que podemos confiar em dois dígitos de cada resultado, então: 1 0 e x2 = /33

27 Exemplo 2 Exemplo 2 Descrição do Problema Calcular f(x) sendo f a função tabelada a seguir, usando a regra de Simpson: x j f j /33

28 Exemplo 2 Exemplo 2 Usando a regra de Simpson, temos: b a f(x)dx = h 3 [f(x 1)+4f(x 2 )+2f(x 3 )+4f(x 2 ) f(x n )+f(x n+1 )] h = 0.1 n = 4 28/33

29 Exemplo 2 Exemplo 2 Substituindo os valores acima, obtemos: S(f) = [ ] = /33

30 Exemplo 3 Exemplo 3 Descrição do Problema Calcular 2 1 x lnxdx, usando a regra de Simpson para: 1. n = 1 2. n = 2 30/33

31 Exemplo 3 Caso 1 (n=1) Para n = 1 Nesta situação, os parâmetros são conforme segue: h = 1 2 S(1) = h 3 [f(1)+4f(1.5)+f(2)] = 1 6 [ ] = /33

32 Exemplo 3 Caso 2 (n=2) Para n = 2 Nesta situação, os parâmetros são conforme segue: h = 1 4 S(0.25) = h 3 [f(1)+4f(1.25)+2f(1.5)+4f(1.75)+f(2)] = [ ] = /33

33 Exemplo 3 Método de Newton: Comentários Finais Fim! Obrigado pela presença 33/33

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