Aluno do Curso de Lic. em Matemática da UFMS; e mail: tmviana2000@gmail.com;

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1 Encontro de Ensino, Pesquisa e Extensão, Presidente Prudente, 22 a 25 de outubro, GRUPOS DE PERMUTAÇÕES E ALGUMAS DE PROPOSIÇÕES Thiago Mariano Viana 1, Marco Antônio Travasso 2 & Antônio Carlos Tamarozzi 3 1 Aluno do Curso de Lic. em Matemática da UFMS; e mail: tmviana2000@gmail.com; 2 Aluno do Curso de Lic. em Matemática da UFMS; 3 Professor da UFMS, Departamentos de Ciências Exatas; RESUMO As permutações de elementos de um determinado conjunto E, surgem em diversas situações dentro e fora da Matemática. Se visualizadas como aplicações entre elementos de E, formam um exemplo de estrutura de Grupo com repercussões de impacto para o desenvolvimento da Matemática, em particular da Álgebra Abstrata. Neste trabalho apresentamos um desenvolvimento introdutório da Teoria dos Grupos de Permutações de n elementos (S n ), visando demonstrar algumas proposições importantes, para o estudo dos mesmos. Foram exploradas as características do S n quanto a sua construção e sua notação cíclica, o que facilita o estudo das propriedades das permutações e a obtenção do objetivo principal do trabalho que é o estudo da paridade das permutações e, em consequência, a criação do grupo alternado de permutações. Palavras chave: Grupo Simétrico, Teorema de Cayley, Grupos Alternados. INTRODUÇÃO A Teoria dos Grupos começou a ser estudada, quando entre 1500 e 1515, o matemático italiano Scipione del Ferro ( ) descobriu que a equação cúbica era solúvel por radicais. E disso surgiu o desafio de determinar se todas as equações algébricas são solúveis por radicais. Os matemáticos desse período viram na Teoria dos grupos uma grande ferramenta para a solução desse problema. Então o matemático francês Evariste Galois ( ), usou grupos de permutações para esclarecer a questão de resolubilidade por radicais das equações de grau > 4. Assim nesse trabalho, mostraremos como é estudado na Teoria dos Grupos, o conjunto de todas as bijeções de um conjunto nele mesmo, o chamado grupo das permutações. E que pode ser estabelecido entre um grupo qualquer finito e um conveniente subgrupo de permutações, um isomorfismo, tornando possível estudar até mesmo os grupos mais abstratos de difícil manipulação. Também é visto a notação em r ciclos das permutações, o que facilita a demonstração de outras propriedades quanto à decomposição das permutações em ciclos e transposições, que nos leva a definição de permutações pares e o Grupo Alternado. A exploração dos Grupos de permutações e Alternados ocupa um interesse crucial para o desenvolvimento da Teoria dos Grupos e em consequência para toda a matemática.

2 Encontro de Ensino, Pesquisa e Extensão, Presidente Prudente, 22 a 25 de outubro, METODOLOGIA Ao longo do trabalho, foi considerada que a operação entre duas permutações é a operação de composição, no entanto, sem perda de generalidade, utilizaremos a notação multiplicativa. Assim sendo, dadas as permutações α e β, temos que: α β = α β, enquanto α 1 denota o simétrico de α. Para a notação de uma aplicação bijetora f sobre E {1,...,n} em que f(1) =i 1, f(2) =i 2,... f(n) =i n, utilizaremos a seguinte notação: Ao longo do trabalho desenvolvemos a teoria inicial dos grupos de permutações e as ferramentas da Teoria dos Grupos necessária para a compreensão de algumas das proposições estudadas. Nossa linha de pesquisa segue os trabalhos desenvolvidos em [1] para a revisão da teoria elementar dos Grupos e Teorema de Cayley, [2], [3] para Grupos de permutações e a construção dos grupos alternados. RESULTADOS Na teoria dos grupos é chamada de permutação uma bijeção de um conjunto nele mesmo. Se E é um conjunto não vazio denotaremos por S(E) o conjunto de todas as permutações (bijeções) de E. A composição de aplicações é considerada uma operação sobre S(E). Pois a composição de duas bijeções também será uma bijeção, i.e. se f :E E e g:e E são bijeções, então g f :E E também é uma bijeção. Temos nessa operação a propriedade associativa, pois f, g, e h, h (g f) = (h g) f. Observemos também que i E : E E, a aplicação identidade, que obviamente é uma bijeção, é o elemento neutro, visto que (i E f) (x) = i E (f(x)) =f(x), para todo x E, que garante a igualdade i E f= f. Analogamente f i E = f.

3 Encontro de Ensino, Pesquisa e Extensão, Presidente Prudente, 22 a 25 de outubro, Por fim, se f é uma permutação de E então f 1 (aplicação inversa) também será, pois a inversa de uma bijeção também é uma bijeção, e esta será o elemento inverso de f para a composição de aplicações, visto que f f 1 = f 1 f = i E. Portanto (S(E), ) é um grupo, o grupo das permutações sobre E. Esse grupo só é comutativo se a sua ordem for 1 ou 2. Se sua ordem for 1, então o grupo só terá a identidade que claramente comuta consigo mesma. Isto ocorre porque se o(s(e), ) 2 então E tem mais de 2 elementos, assim seja a, b e c elementos distintos e consideremos as permutações f e g de S(E) definidas por: f(a)=b, f(b) =a e f(x) =x qualquer que seja x a, b e g(a) =c, g(c) =a e g(x) =x qualquer que seja x a, b. Temos que f e g são permutações de E, pela forma como foram construídas. No entanto, (f g) (a) = f(g(a)) = f(c) =c enquanto (g f) (a) = g(f(a)) =g(b) =b O que mostra que f g g f, portanto S(E) não é comutativo. Um caso particular importante de grupos de permutações, é aquele que E= {1, 2,..., n}, e n 1. E nesse caso a notação S(E) é simplificada por S n, para indicar o conjunto das permutações sobre E. E o grupo (S n, ) tem o nome especial: grupo simétrico de grau n. Uma visualização simples com analise combinatória pode se mostrar que esse grupo tem ordem n! Teorema de Cayley O teorema de Cayley garante que todo grupo é isomorfo a um grupo de permutações conveniente, o que facilita a trabalhar com vários grupos por mais abstratos que eles sejam. Definição: seja G um grupo. Para cada a G, a aplicação: δ a :G G tal que δ g (x) = ax para qualquer x G, será chamada de translação à esquerda definida por a. De maneira análoga se define translação à direita.

4 Encontro de Ensino, Pesquisa e Extensão, Presidente Prudente, 22 a 25 de outubro, Proposição: Toda translação é uma bijeção, ou seja, é uma permutação dos elementos de G. Demonstração: Seja δ a uma translação de G e suponhamos δ a (x) = δ a (y). Então ax=ay e, portanto, x=y, uma vez que todo elemento de um grupo é regular. Assim δ a é injetora. Para mostrar que é sobrejetora basta tomar um y G, sempre será possível encontrar x G, tal que ax=y. E essa equação tem solução no grupo: o elemento a 1 y G. Então δ a é sobrejetora. Assim notaremos por T(G) o conjunto das translações de G e como S(G) é o conjunto de todas as permutações dos elementos de G, então temos que T(G) S(G). Proposição: (Teorema de Cayley) Se G é um grupo, a aplicação δ: G T(G) que associa a cada elemento g a translação δ g (isto é δ(g)= δ g ) é um isomorfismo de grupos. Demonstração: Seja G um grupo e sejam as translações δ g :G G tal que x gx, para cada g G. então a, b G, δ ab = δ a δ b δ a δ b (x) = (δ a δ b ) (x), para qualquer elemento x em G, mas δ a δ b (x) = (ab)x=a (bx) = a (δ b (x)) = (δ a δ b ) (x). Portanto, a, b G, δ ab = δ a δ b. Sendo então G um grupo e a função:

5 Encontro de Ensino, Pesquisa e Extensão, Presidente Prudente, 22 a 25 de outubro, δ: G T(G) g δ g : G G x gx (i) É um Homomorfismo, pois a, b G, δ ab = δ a δ b (ii) É injetora, pois a, b G, temos δ(a)= δ(b) δ a =δ b δ a (x) =δ b (x), e então x G, temos ax=bx a=b (iii) É sobrejetora, pois δ g S(G), g G tal que δ(g) = δ g. Logo δ é um isomorfismo. Portanto, G e S(G) são isomorfos.

6 Encontro de Ensino, Pesquisa e Extensão, Presidente Prudente, 22 a 25 de outubro, Ciclos e notação cíclica Definição: Sejam a 1, a 2,..., a r I n = {1, 2,..., n},n 2, inteiros distintos. Se σ S n é uma permutação tal que σ(a 1 )= a 2, σ(a 2 )= σ 2 (a 1 )= a 3, σ(a r 1 )= σ r 1 (a 1 )= a r, σ(a r ) = σ r (a 1 )= a 1 e σ(x) =x, para todo x I n {a 1, a 2,..., a r }, assim chama se σ de ciclo de comprimento r e que {a 1, a 2,..., a r } é o conjunto suporte de σ. Para permutações definidas dessa forma usaremos a notação (a 1, a 2,..., a r ). Se r= 2, então σ é chamado transposição. Exemplo: Consideremos em S 5 a permutação: Como σ(1) = 4, σ(4) = 2, σ(2) = 1, σ(3) = 3, σ(5) = 5, então σ é um ciclo de comprimento 3 cujo conjunto suporte é {1, 2, 4}. Portanto podemos escrever: σ = (1 4 2) Definição: seja α um r ciclo e β um s ciclo pertencentes a S n. Os ciclos α e β disjuntos se nenhum elemento é movido ao mesmo tempo por ambos, ou seja, x {1, 2,...,n}, α(x) =x e β(x) =x. Ou seja, ciclos cujos suportes são disjuntos. Proposição: Dois ciclos disjuntos comutam. Demonstração: Sejam α e β ciclos disjuntos de S n, temos que: α(a) a β(a) = a e β(a) a α(a) = a Assim α β(x) = (α β) (x) = α (β(x)), onde temos 3 casos:

7 Encontro de Ensino, Pesquisa e Extensão, Presidente Prudente, 22 a 25 de outubro, º caso Se β(x) =y, y x β(y) y e α(y) =y Então α (β(x)) = α (y) = y= β(x) = β(α (x)) = (β α) (x) = β α(x) 2º caso Se α (x) =y, y x α (y) y, β (x) =x e β (y) =y Então α (β(x)) = α (x) = y= β(y) = β(α (x)) = (β α) (x) = β α(x) 3º caso Se β(x) = x e α(x) = x Então α (β(x)) = α (x) = x= β(x) = β(α (x)) = (β α) (x) = β α(x) Assim α β(x) = β α(x), x {1, 2,..., n}. Portanto α β= β α. Proposição: Seja σ S n uma permutação. Então σ pode ser escrita como um produto de ciclos disjuntos. E essa fatoração é única, a não ser pela ordem dos ciclos. Por se muito extensa a demonstração desta será omitida, mas pode ser vista em [1]. DISCUSSÃO Obtemos assim o S n, cuja continuidade dessa linha de trabalho no permite construir o grupo alternado A n ferramenta usada por Galois na resolução de equações de grau > 4, e aqui apresentamos algumas das propriedades que foram estudadas. Proposição: a) Todo Elemento de S n é produto de transposições, isto é S n = < {transposições} >. b) S n = < (1 2), (1 3),..., (1 n) >. c) S n = < (1 2), (2 3),..., (n 1 n) >.

8 Encontro de Ensino, Pesquisa e Extensão, Presidente Prudente, 22 a 25 de outubro, Demonstração: a) Temos que id= (1 2)(1 2) < {transposições} > como toda permutação é produto de ciclos disjuntos como vimos na proposição anterior, então basta mostrar que todo ciclo (a 1, a 2,..., a r ) é produto de transposições. E de fato, temos: Seja α um r ciclo. Aplicaremos indução sobre r. Se r= 2 então α= (a 1 a 2 ) é uma transposição, enquanto que se r= n>2, por hipótese de indução: α= (a 1 a 2... a n ) = (a 1 a n )... (a 1 a 3 ) (a 1 a 2 ) Para r= n+1 temos: α= (a 1 a 2... a n a n+1 ) = (a 1 a n+1 ) (a 1 a 2... a n ) = (a 1 a n+1 ) (a 1 a n )... (a 1 a 3 ) (a 1 a 2 ) Assim, todo r ciclo (a 1, a 2,..., a r ) é produto de transposições, e portanto toda permutação é produto de transposições. b) De a) temos apenas que mostrar que toda transposição (i j) < (1 2), (1 3),..., (1 n) >, e de fato, temos que (i j) = (1 i) (1 j) (1 i), se 1, i e j são distintos. c) Para todo inteiro i 2, temos (1 i+1)= (1 i) (i i+1) (1 i), logo o subgrupo < (1 2), (2 3),..., (n 1 n) > contem (1 i), para cada i= 2,..., n. Assim pelo item b), este subgrupo é igual a S n. Exemplo: Seja σ S 5, tal que:. Então pode ser escrito como: Produto de ciclos disjuntos: σ = (1 4 2) (3 5). Produtos de transposições: σ = (1 2) (1 4) (3 5). Produtos de transposições pertencentes a < (1 2), (1 3),..., (1 n) >. σ = (1 2) (1 4) (1 3) (1 5) (1 3). Produtos de transposições pertencentes a < (1 2), (2 3),..., (n 1 n) >. σ = (2 3) (3 4) (2 3) (3 4) (2 3) (4 5) (2 3) (1 2) (3 4). Observações: 1) Um elemento α S n pode se escrito como um produto de transposições disjuntas se e somente se sua ordem for igual a 2. Demonstração:( ) Seja α S n um produto de transposições disjuntas então: α= α 1 α 1... α n o(α) =m.m.c.(o(α 1 ), o(α 1 ),..., o(α n )) como o(α i ) = 2, i= 1, 2,..., n. Então o(α) = 2 ( ) Seja α S n, e o(α) = 2, como toda permutação é pode ser escrita como produto de ciclos disjuntos, então: α= α 1 α 2... α n. Sabendo que o(α) =m.m.c.(o(α 1 ), o(α 1 ),..., o(α n )), temos

9 Encontro de Ensino, Pesquisa e Extensão, Presidente Prudente, 22 a 25 de outubro, o(α i ) 2, i= 1, 2,..., n o(α i ) =1 ou o(α i ) =2. Se o(α i ) =1 α i =id, enquanto que se o(α i ) =2 α i é transposição. Assim se o(α) = 2, então α pode se escrito como transposições. 2) A decomposição de um elemento α S n como produto de transposições não é única, mesmo se exigirmos um numero mínimo de transposições; por exemplo, (1 2 3) = (1 3) (1 2) = (2 3) (1 3). No entanto, a paridade do numero de transposições em uma decomposição é bem definida 3) Se α= τ t... τ 1 = μ u... μ 1 são duas fatorações distintas de α como produto de transposições, então t u mod 2. Definição: um elemento α S n é uma permutação par quando α se decompõe em um numero par de transposições, e é uma permutação impar quando α se decompõe em um numero impar de transposições. Proposição: Seja A n = {α S n α é uma permutação par}. Então A n é um subgrupo de S n de ordem n!/2 e índice 2. Demonstração: Seja ψ: S n { 1,+1} a função definida por ψ(β) = 1 se β é par e ψ(β) = 1 se β é impar. É claro que a função ψ é um homomorfismo sobrejetor cujo núcleo é exatamente o grupo alternado A n. Assim A n é um subgrupo de S n. Sejam r o numero de todas as permutações pares e s o numero de todas as permutações impares de S n, que denotaremos respectivamente por σ 1, σ 2,..., σ r, e φ 1, φ 2,..., φ s. multiplicando as permutações pares por uma transposição τ, obteremos as permutações: τ σ 1, τ σ 2,..., τ σ r Como todo elemento de um grupo é regular, o numero desses também é r. Mas como é o produto de uma permutação impar (a transposição) por uma par, todos esses produtos são impares. Logo, r s. Analogamente, se multiplicarmos as permutações impares por τ, obteremos as s permutações pares: τ φ 1, τ φ 2,..., τ φ s Assim s r. De onde, r=s, e como r+s=n!, então o(a n ) = n!/2 e consequentemente (S n :A n ) = 2. CONCLUSÃO

10 Encontro de Ensino, Pesquisa e Extensão, Presidente Prudente, 22 a 25 de outubro, Este trabalho de pesquisa possibilitou o contato com algumas aplicações dos grupos de permutações para estudo de outros grupos finitos, tomando por base o Teorema da Cayley, em que todo grupo finito pode ser isomorficamente imerso em um grupo de permutações. O grupo de permutações foi usado por Evariste Galois como ferramenta para determinar a possibilidade de resolver equações de grau 5, em termos de seus coeficientes, usando apenas adições, subtrações, multiplicações, divisões e radiciação. Assim durante o desenvolvimento da pesquisa foi introduzido as proposições relacionadas aos grupos das permutações e aos seus subgrupos. Foi identificada sua classificação em n ciclo quanto a suas notações cíclicas e observado a decomposição em ciclos disjuntos e transposições. A decomposição em transposições nos auxilia na identificação das permutações pares e impares e, em consequência pode se obter o grupo alternado A n, formado por todas as permutações pares de S n. Desta forma, outra consequência importante do trabalho é apoderarmos de algumas das ferramentas usadas por Evariste Galois, no esclarecimento da questão de resolubilidade por radicais das equações de grau 5. REFERÊNCIAS [1]. DOMINGUES, HYGINO H.; IEZZI, G. Álgebra Moderna, São Paulo, Atual Editora LTDA, [2]. GARCIA, A.; LEAQUIM, I. Álgebra, um Curso de Introdução, Rio de Janeiro, Impa, [3]. GONÇALVES, A. Introdução à Álgebra, Rio de Janeiro, Impa, 1980.