AULA DE REPOSIÇÃO 001 / 3º ANO

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1 UL DE REPOSIÇÃO 00 / 3º NO Introdução Inicialmente, para a primeira aula, será feita uma retomada de todo o assunto já estudado, uma vez que não é nada fácil simplesmente retomar o conteúdo sem que sejam revistas as práticas, o conteúdo, eemplos e eercícios já trabalhados. matemática necessita que o processo de aprendizagem seja uma construção de conhecimentos. E é necessário que cada conhecimento adquirido se mantenha fresco em nossas memórias. ssim, retomarei os principais tópicos e farei eemplos e eercícios de todos os conteúdos já trabalhados sobre geometria analítica. Geometria nalítica Trata-se do estudo da geometria por meio de um sistema de coordenadas e dos princípios da álgebra e da análise. No Ensino Médio, estudaremos a Geometria de posição, analisando pontos, retas e planos. Ponto Definimos o espaço como um lugar formado por infinitos pontos. primeira medição que podemos fazer então é calcular a distância entre dois pontos: Esta fórmula, nada mais é do que a aplicação do teorema de Pitágoras, onde a distância entre esses dois pontos é a hipotenusa de um triângulo retângulo. pós, podemos concluir que dois pontos são suficientes para definir uma reta e,

2 esta reta, é formada por infinitos pontos. Desta forma, somos capazes de obter a posição eata de um ponto eqüidistante de cada etremidade do segmento de reta. Este ponto se chama Ponto Médio, e é obtido através da fórmula: M + + (, ) =, m m 2 2 Sabendo da eistência das retas, podemos considerar um ponto fora de uma determinada reta. Com isso, esse ponto formará com os outros dois, um triângulo. De cada segmento que forma os lados do triângulo, podemos determinar seus pontos médios. O segmento que une o ponto médio de um lado do triângulo ao vértice oposto chama-se mediana. Todo triângulo possui 3 medianas, que interceptam-se em um ponto em comum, chamado baricentro (G). G C C (, ) =, G G 3 3

3 Um desafio que surge quando nos deparamos com três pontos então, é sabermos se estes 3 pontos estão sobre uma mesma reta (alinhados) ou não (formam um triângulo). Para isso, podemos estabelecer uma condição de alinhamento de 3 pontos. Usa-se o cálculo do determinante de uma matriz 33, onde: det = C C Se det = 0, os pontos estão alinhados Se det 0, os pontos formam um triângulo lém disso, se o det 0, podemos calcular a área da superfície do triângulo formado usando a fórmula: S C = 2 det O Estudo da Reta Inicialmente, partimos do entendimento que dois pontos definem uma reta. ssim, para estudá-la, vamos analisá-la sempre em relação ao plano cartesiano. Salvo o caso de a reta ser paralela ao eio das abscissas (eio ), as retas sempre cortarão o eio em um determinado ângulo. ssim, podemos definir a eistência de um coeficiente angular, que será determinado a partir do ângulo formado entre o eio e a reta em questão. O coeficiente angular da reta é chamado de m. Se não conhecermos o valor do ângulo, usaremos a definição da tangente, dividindo cateto oposto pelo cateto adjacente do triângulo retângulo formado por dois pontos conhecidos, com catetos paralelos aos eios cartesianos. ssim, o coeficiente angular pode ser obtido através de: C. O. m = = C. Neste momento, de retas, sabemos que elas possuem ao menos dois pontos e também que possuem um coeficiente angular. ssim, podemos definir equações geratrizes para qualquer reta, onde:

4 ( ) = m ( ) 0. 0 Esta equação geratriz poderá nos levar até a equação reduzida da reta ou até a equação geral da reta. Cada uma com suas particularidades: Equação Reduzida da Reta Consiste em isolar o. ssim, a cara da equação fica: = m + n. m = coeficiente angular n = coeficiente linear (momento onde a reta corta o eio das ordenadas) Equação Geral da Reta Consiste em deiar todos os elementos da equação em um mesmo lado da igualdade, sobrando no outro lado, apenas o zero: a + b + c = 0 EXERCÍCIOS PR LEMRR DO CONTEÚDO: 0. Calcule a distância entre os pontos = ( 3,5) e = ( 3,2 ) 02. Calcule o ponto médio do segmento, onde = ( 5,6) e = ( 7,8) 03. Calcule o baricentro G do triângulo C, onde = ( 4,0 ), = (,4) e C = ( 7,4) 04. Verifique se os pontos C estão alinhados. Em caso negativo, calcule a área do = 8,5 = 4, 7 C = 2,2 triângulo formado. ( ), ( ) e ( ) 05. Dados os pontos = ( 4,6) e = ( 8,2), determine: a) O coeficiente angular da reta formada pelos pontos e b) Equação Reduzida da Reta c) Equação Geral da Reta * Respostas estão na linha de baio, use o mouse para selecionar: Daqui 0. Distância = 7 u.c. 02. M=(4,7) 03. G=(4,6) 04. Não, det= -60. S=30 u.a. 05. a) m= - b) = c) + 0 = 0 até aqui * Respostas e resoluções destes eercícios estão disponíveis também em vídeo. Envie um para: professor@carlosrutz.com para pedir o link do mesmo. FINL D REVISÃO

5 INÍCIO DO CONTEÚDO DE REPOSIÇÃO Posições relativas entre duas retas No plano, retas podem ter 3 posições relativas: Paralelas: não possuem intersecção Coincidentes: Se interceptam em todos os pontos (são a mesma reta) Concorrentes: Se interceptam em um único ponto o Oblíquas: Quando o ângulo entre as retas difere de 90º o Perpendiculares: Quando o ângulo entre as retas é 90º Retas Paralelas Duas retas são paralelas quando possuem mesmo coeficiente angular e coeficientes angulares diferentes. Eemplo: r : = s : = 2 28 Os coeficientes angulares de r e s são iguais: m = 2 Os coeficientes lineares de r e s são diferentes: n r = 0 e n s = 28 Portanto, as retas são paralelas