CPV O Cursinho que Mais Aprova na GV

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1 CPV O Cursinho que Mais Aprova na GV FGV Economia 1 a Fase /nov/014 MATEMÁTICA 01. Observe o diagrama com 5 organizações intergovernamentais de integração sul-americana: Dos 1 países que compõem esse diagrama, integram eatamente das organizações apenas a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 Integram eatamente das organizações apenas 7 países. Alternativa D CPV fgveconov014_1f Países Organizações Argentina Bolívia 4 Brasil 4 Chile 1 Colômbia Equador Guiana Paraguai Peru Suriname Uruguai Venezuela 0. Sendo, y e z números reais tais que y = 7 e y =, o valor de a) b) c) d) e) y z = 7 Þ y = y y z Þ y y z. z y = 1 é igual a y z z y y = = 1 1 Þ Þ y y z. 1 7 = 1 y z z y y = 6 = Þ y y z = 7 Alternativa E 1

2 CPV o Cursinho que Mais Aprova na GV 0. Se m n é a fração irredutível que é solução da equação eponencial = 1944, então m n é igual a a) b) c) 4 d) 5 e) Um álbum de figurinhas possui 5 páginas, cada uma com 5 figurinhas, distribuídas em 5 linhas e 5 colunas. As figurinhas estão ordenadas e numeradas de 1 até 875. Nesse álbum, são consideradas figurinhas especiais a 7 a, a 14 a, a 1 a, a 8 a e assim sucessivamente. A figura ilustra a primeira página desse álbum = 1944 Þ 9 ( ) = 1944 Þ Þ = 1944 Þ = 7 Þ = 7 Logo: m n = 7 e m n = 5 Alternativa D Depois que o álbum for completado com todas as figurinhas, a última página que se iniciará com uma figurinha especial é a de número a) 7 b) 8 c) d) e) 4 Temos duas P.A. com razões iguais a 5 e 7. A primeira possui último termo 851 (1 a figura da última página). A segunda possui último termo 875. Escrevendo em ordem decrescente, temos: 1 a (851; 86; 801; 776; 751; 76; 701; 676;...) a (875; 868; 861; 854; 847; 840; 85; 86;...) O último termo encontra-se na penúltima página, ou seja, 4. Alternativa E CPV fgveconov014_1f

3 CPV o Cursinho que Mais Aprova na GV 05. O gráfico representa a função f. 06. As coordenadas (, y) de cada ponto do segmento AB, descrito na figura, representam o comprimento () e a largura (y) de um retângulo, ambos em centímetros. Por eemplo, o ponto de coordenadas (4, 18) representa um retângulo de comprimento 4 cm e largura 18 cm. Considerando, o conjunto solução da equação f ( + ) = f () + 1 possui a) um único elemento. b) apenas dois elementos. c) apenas três elementos. d) apenas quatro elementos. e) infinitos elementos. Do gráfico abaio, concluimos que f( + ) = f() + 1. Para, há apenas elementos no Conjunto Solução. f() + 1 P 1 P f() Dentre os infinitos retângulos descritos dessa forma, aquele que possui área máima tem perímetro, em cm, igual a a) 0 b) 8 c) 40 d) 45 e) 48 f( + ) Alternativa B A reta suporte do segmento AB é dada por: 1 0 y = ( 6 0 ) + 0 Þ y = + 0 Logo, as coordenadas (; y) que estão sobre o segmento AB são: (; + 0). As áreas dos retângulos procurados são dadas por: S = ( + 0) = + 0. O retângulo da área máima tem abscissa = 0 = 5 e ordenada y = = O perímetro do retângulo de área máima é dado por. (5 + 15) = 40 Alternativa C fgveconov014_1f CPV

4 4 CPV o Cursinho que Mais Aprova na GV 07. Dos animais de uma fazenda, 40% são bois, 0% vacas, e os demais são caprinos. Se o dono da fazenda vende 0% dos bois e 70% das vacas, o total de animais da fazenda se reduz em a) 0% b) % c) 45% d) 60% e) 66% Do total de animais da fazenda, temos: 0% 40% Bois 70% Total Caprinos 0% Vacas Houve uma redução de 40%. 0% + 0%. 70% 1% + 1% = % 0% 70% 0% Venda Restante Venda Restante Alternativa B 08. Três números estão em progressão geométrica de razão. Diminuindo 5 unidades do terceiro número da progressão geométrica, ela se transforma em progressão aritmética. Sendo k o primeiro dos três números inicialmente em progressão geométrica, então log k é igual à soma de 1 com a) log b) log c) log 4 d) log 5 e) log 6 A partir do enuncinado, temos: k; k ; 9k 4 P.G. k; k ; 9k 4 5 P.A. Pela média aritmética, temos:. k = k + 9k 4 5 Þ k = 0 Assim: log k = log 0 = log 10 + log log k = 1 + log Alternativa A CPV fgveconov014_1f

5 CPV o Cursinho que Mais Aprova na GV Conforme indica a figura, uma caia contém 6 letras F azuis e 5 brancas, a outra contém 4 letras G azuis e 7 brancas, e a última caia contém 6 letras V azuis e 6 brancas. Em um jogo, uma pessoa vai retirando letras das caias, uma a uma, até que forme a sigla FGV com todas as letras da mesma cor. A pessoa pode escolher a caia da qual fará cada retirada, mas só identifica a cor da letra após a retirada. Usando uma estratégia conveniente, o número mínimo de letras que ela deverá retirar para que possa cumprir a tarefa com toda certeza é a) 14 b) 15 c) 16 d) 17 e) 18 Para cumprir a tarefa, vamos adotar a seguinte estratégia: retirar de urnas uma letra de cada cor; retirar da a urna uma única que combine com as outras. Para garantir a certeza de sair duas letras da mesma cor de cada urna, deve-se retirar da caia F, G e V respectivamente 7, 1 e 7 letras. Por conveniência, deve-se escolher as caias F, V e, por último, G. Assim, o mínimo de letras será: = 15 Alternativa B 10. Um código numérico tem a forma ABC - DEF - GHIJ, sendo que cada letra representa um algarismo diferente. Em cada uma das três partes do código, os algarismos estão em ordem decrescente, ou seja, A > B > C, D > E > F e G > H > I > J. Sabe-se ainda que D, E e F são números pares consecutivos, e que G, H, I e J são números ímpares consecutivos. Se A + B + C = 17, então C é igual a a) 9 b) 8 c) 6 d) e) 0 Conforme o enunciado temos: DEF GHIJ ABC Þ C = 0 A + B + C 17 Alternativa E fgveconov014_1f CPV

6 6 CPV o Cursinho que Mais Aprova na GV 11. A figura representa um triângulo ABC, com E e D sendo pontos sobre AC. Sabe-se que AB = AD, CB = CE e que EB^ D mede 9º. Nessas condições, a medida de AB^ C é a) 10º b) 108º c) 111º d) 115º e) 117º Sendo AB = AD e CB = CE, temos a figura: A No ΔBED, + 9º + y º = 180º Þ + y = 6º Portanto: med(a^bc) = + y + 9º = 10º E B 9º y y + 9º + 9º D C Alternativa A 1. Dois dados convencionais e honestos são lançados simultaneamente. A probabilidade de que a soma dos números das faces seja maior que 4, ou igual a, é a) b) c) d) e) Na tabela, marcamos com as situações nas quais a soma é maior que 4 ou igual a. 6 X X X X X X 5 X X X X X X 4 X X X X X X X X X X X X X X X X 1 X X X X dado dado Assim, a probabilidade pedida é P = 6 = 8 9 Alternativa D CPV fgveconov014_1f

7 CPV o Cursinho que Mais Aprova na GV 7 1. A raiz quadrada da diferença entre a dízima periódica 10 vezes 0, e o decimal de representação finita 0, é igual a 1 dividido por 14. A figura representa um trapézio isósceles ABCD, com AD = BC = 4 cm. M é o ponto médio de AD, e o ângulo BM^ C é reto. a) b) c) d) e) A fração geratriz da dízima 0, é , = 1 0,0000 = 1 \ = portanto: Alternativa C Figura fora de escala O perímetro do trapézio ABCD, em cm, é igual a a) 8 b) 10 c) 1 d) 14 e) 15 Na figura, o ponto N, médio de BC, é o circuncentro do triângulo retângulo BCM. Logo, MN é o raio do círculo circunscrito e portanto MN = cm. N Ao mesmo tempo, MN é base média do trapézio. AB + CD Assim, MN = Þ AB + CD = 4. O perímetro do trapézio ABCD é AB + CD + AD + BC = = 1 cm. Alternativa C fgveconov014_1f CPV

8 8 CPV o Cursinho que 15. Um dispositivo fará com que uma lâmpada acesa se desloque verticalmente em relação ao solo em centímetros. Quando a lâmpada se desloca, o comprimento y, em cm, da sombra de um lápis, projetada no solo, também deverá variar. Mais A prova na GV Para um valor de igual ou menor que a altura do lápis, não haverá sombra, ou seja, y = 0. Para um valor de pouco maior que a altura do lápis, começará a formar uma sombra em um horizonte bem distante e y > > > 0. Conforme a fonte luminosa sobe, a sombra diminuirá, tendendo a zero. Assim, o gráfico correspondente será: y Alternativa C Admitindo a lâmpada como uma fonte pontual, dos gráficos indicados, aquele que melhor representa y em função de é a) b) c) d) e) CPV fgveconov014_1f

9 CPV o Cursinho que Mais Aprova na GV Sueli colocou 40 ml de café em uma ícara vazia de 80 ml, e 40 ml de leite em outra ícara vazia de mesmo tamanho. Em seguida, Sueli transferiu metade do conteúdo da primeira ícara para a segunda e, depois de misturar bem, transferiu metade do novo conteúdo da segunda ícara de volta para a primeira. Do conteúdo final da primeira ícara, a fração correspondente ao leite é a) 1 4 b) 1 c) 8 d) 5 e) 1 O problema pode ser resolvido passo a passo. Xícara 1 Xícara ß ß 40 ml de café 40 ml de leite 0 ml de café 0 ml de café + 0 ml de leite + 10 ml de café 0 ml de café + 40 ml de leite 10 ml de café + 0 ml de leite Portanto o volume total da ícara 1 é 50 ml. Desse total, 0 ml corresponde ao leite. Então 0 50 = 5. ß ß Alternativa D 17. Uma editora tem preços promocionais de venda de um livro para escolas. A tabela de preços é: 1n, se 1 n 4 P(n) = 11n, se 5 n 48 10n, se n ³ 49 em que n é a quantidade encomendada de livros P(n) é o preço total dos n eemplares. Analisando a tabela de preços praticada pela editora, é correto concluir que, para valores de n, pode ser mais barato comprar mais do que n livros do que eatamente n livros. Sendo assim, é igual a a) b) 4 c) 5 d) 6 e) 8 Devemos analisar os preços promocionais, quando há quebra de linearidade da função p(n). Dessa forma, podemos criar a tabela: n P(n) n P(n) : : 5 50 : : 5 50 Notamos que para n = 5 e n = 6, o preço é menor que para n = 4 e para n = 49, n = 50, n = 51 e n = 5, ele é menor que para n = 48. Assim o número de casos em que é mais barato comprar mais que n livros do que eatamente n livros é = 6. Alternativa D fgveconov014_1f CPV

10 10 CPV o Cursinho que Mais Aprova na GV 18. Observe as coordenadas cartesianas de cinco pontos: A(0,100), B(0, 100), C(10, 100), D(10, 100), E(100, 0). Se a reta de equação reduzida y = m + n é tal que mn > 0, então, dos cinco pontos dados anteriormente, o único que certamente não pertence ao gráfico dessa reta é a) A b) B c) C d) D e) E Para que a multiplicação entre o coeficiente angular (m) e o coeficiente linear (n) seja positiva, temos duas configurações possíveis para o gráfico: 1 a possibilidade a possibilidade y Os pontos A(0; 100) e C(10; 100) encaiam-se no 1º gráfico. Os pontos B(0; 100) e D(10; 100) se encaiam no º gráfico. O único que não pertence a nenhum gráfico é o ponto E(100; 0). y Alternativa E 19. Seja f :, tal que f () = + b , com b sendo uma constante real positiva. Sabendo que a abscissa do ponto de mínimo do gráfico dessa função é igual à ordenada desse ponto, então b é igual a a) b) c) d) 4 e) 7 b A abscissa do ponto mínimo ( V ) é dada por a. A ordenada do ponto mínimo (y V ) é dada por Δ 4a. Logo, +b (1) = + b 4(1) (1) b b 15 = 0 \ b = 5 ou b = Sabendo que b é real e positivo, b = 5. Alternativa B CPV fgveconov014_1f

11 CPV o Cursinho que Mais Aprova na GV Um envelope lacrado contém um cartão marcado com um único dígito. A respeito desse dígito, são feitas quatro afirmações, das quais apenas três são verdadeiras. As afirmações são: I. O dígito é 1. II. O dígito não é. III. O dígito é. IV. O dígito não é 4. Nesse problema, uma conclusão necessariamente correta é a de que a) I é verdadeira. b) I é falsa. c) II é verdadeira. d) III é verdadeira. e) IV é falsa. Montando uma tabela para as afirmações, em que V é verdadeiro e F é falso, e sabendo que sempre temos verdadeiras: I II III IV V V F V F V V V Nas duas possibilidades a II e IV sempre são verdadeiras. Alternativa C 1. Na figura, ABCD representa uma placa em forma de trapézio isósceles de ângulo da base medindo 60. A placa está fiada em uma parede por AD, e PA representa uma corda perfeitamente esticada, inicialmente perpendicular à parede. Nesse dispositivo, o ponto P será girado em sentido horário, mantendo-se no plano da placa, de forma que a corda fique sempre esticada ao máimo. O giro termina quando P atinge M, o ponto médio de CD. Nas condições descritas, o percurso total realizado por P, em cm, será igual a: 50π a) b) 40π c) 15π d) 10π e) 9π Considere a figura abaio: 0 o 40 cm 60 o 0 cm Q 60 o 10 cm R Temos: PQ = 1 1. π. 40 = 0 π cm QR = 1 6. π. 0 = 0 π RM = 1 6. π. 10 = 10 π cm cm Portanto: PQ + QR + RM = 50 π cm Alternativa A fgveconov014_1f CPV

12 1 CPV o Cursinho que Mais Aprova na GV. Um edifício comercial tem 48 salas, distribuídas em 8 andares, conforme indica a figura. O edifício foi feito em um terreno cuja inclinação em relação à horizontal mede α graus. A altura de cada sala é m, a etensão 10 m, e a altura da pilastra de sustentação, que mantém o edifício na horizontal, é 6 m. Usando os dados da tabela, a melhor aproimação inteira para α é: a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 Devemos ter tg a = 6 60 = 0,1. Pela tabela dada temos que 6º. Alternativa C. Determinada marca de ervilhas vende o produto em embalagens com a forma de cilindros circulares retos. Uma delas tem raio da base 4 cm. A outra é uma ampliação perfeita da embalagem menor, com raio da base 5 cm. O preço do produto vendido na embalagem menor é de R$,00. A embalagem maior dá um desconto, por ml de ervilha, de 10% em relação ao preço por ml de ervilha da embalagem menor. Nas condições dadas, o preço do produto na embalagem maior é de, aproimadamente, a) R$,51 b) R$,6 c) R$,1 d) R$,81 e) R$,5 Considere as embalagens dadas abaio: R = 4 cm π. 4. H H = π. 5. 1,5 H P R = 5 cm Þ P = ,5 H P' = 0,9. P = R$,51. Alternativa A CPV fgveconov014_1f

13 CPV o Cursinho que Mais Aprova na GV 1 4. O total de números pares não negativos de até quatro algarismos que podem ser formados com os algarismos 0, 1, e, sem repetir algarismos, é igual a: a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 0 Números pares que podemos formar com os números dados: 1 algarismo: 0 e algarismos: 10, 1, 0, 0, algarismos: 10, 10, 10, 1, 10, 0, 0, 10, 1, 0 4 algarismos: 10, 10, 10, 10, 10, 10, 01, 10, 10, Os elementos da matriz A = (a ij ) representam a quantidade de voos diários apenas entre os aeroportos i, de um país, e os aeroportos j, de outro país. A respeito desses voos, sabe-se que: quando j =, o número de voos é sempre o mesmo, quando i = j, o número de voos é sempre o mesmo, quando i =, o número de voos é sempre o mesmo; a 11 0, e det A = 0. De acordo com as informações, é correto afirmar que o conjunto solução com as possibilidades de a 11 é igual a: a) {a 1, a 1 } b) {a 1, a } c) {a, a 1 } d) {a 1, a } e) {a 1, a } Total: = 7 Alternativa B ( a 1 A matriz dada é A = a 1 a ) Devemos ter det A = 0 Û + a + a 1. a 1 a 1 a 1 a = 0 [ (a 1 + a 1 ) + a 1 a 1 ] = 0 = 0 (não pode) ou (a 1 + a 1 ) + a 1 a 1 = 0 De onde obtemos: 1 + = a 1 + a 1 1. = a 1. a 1 As raízes são: a 1 e a 1 Alternativa A fgveconov014_1f CPV

14 14 CPV o Cursinho que Mais Aprova na GV 6. Em uma sala estão presentes n pessoas, com n >. Pelo menos uma pessoa da sala não trocou aperto de mão com todos os presentes na sala, e os demais presentes trocaram apertos de mão entre si, e um único aperto por dupla de pessoas. Nessas condições, o número máimo de apertos trocados pelas n pessoas é igual a: a) n + n b) n n + c) n + n d) n n + e) n n O número máimo de apertos se dá quando somente uma pessoa não comprimenta as demais, assim: 7. Se 1 é um dos fatores da fatoração de m + n + 1, com m e n inteiros, então n + m é igual a: a) b) 1 c) 0 d) 1 e) m + n + 1 = ( 1) (m + b) m + n + 1 = m + b m b m b m + n + 1 = m + (b m) (b + m) b Assim, m = m b m = n Þ b = m + n Þ m + n = 1 b + m = 0 b = 1 b = 1 Alternativa B C = (n 1). (n ) C = n n n + = n n + Alternativa D CPV fgveconov014_1f

15 8. Considere o polinômio P(X) tal que P CPV o Cursinho que Mais Aprova na GV ( ) = A soma de todas as raízes da equação P() = 7 é igual a: 9. A seta indica um heptágono com AB = GF = AG = 4 BC = 4 FE = 0 cm. 15 a) 1 9 b) 1 c) 0 d) e) Sendo y =, temos: P (y) = (y) + (y) + 1 P (y) = 9y + y + 1 Sabe-se ainda que CD = ED e que o ângulo CD^ E é reto. Nas condições dadas, a área da região limitada por essa seta, em cm, é: a) 50 b) 60 c) 80 d) 00 e) 0 Assim: P () = 9 ( ) + () + 1 = P () = 7 Þ = 7 Þ = 0 e a soma das raízes é 9 81 = 1 9 Alternativa A Temos: + = ( ) Þ = 400 Þ = 10 A total = A ABFG + A CDE A total = A total = = 00 cm Alternativa D fgveconov014_1f CPV

16 16 CPV o Cursinho que Mais Aprova na GV 0. Se 1 + cos α + cos α + cos α + cos 4 α +... = 5, com 0 < α < π, então sen α é igual a: a) 0,84 b) 0,90 c) 0,9 d) 0,94 e) 0,96 A soma dada é a soma de uma P.G. infinita de a 1 = 1 e q = cos α. Assim: 1 1 cos α = 5 Þ cos α = 4 5 Pelo Teorema Fundamental da Trigonometria, temos: sen α + cos α = 1 Þ sen 4 α + ( 5 ) = 1 Þ sen α = 5 Portanto, sen α = sen α. cos α = = 4 5 = 0,96 Alternativa E COMENTÁRIO DO CPV A Prova de Matemática do Processo Seletivo da FGV Economia (novembro de 014) manteve o seu formato tradicional, com questões claras e objetivas. A Banca Eaminadora abordou o programa de forma equilibrada, tanto no conteúdo quanto no grau de dificuldade, obtendo um resultado bastante adequado aos propósitos da Direção da Faculdade de selecionar os melhores vestibulandos. A cobertura dos assuntos foi abrangente: 1 questão Conjuntos 1 questão Razão e Proporção 1 questão Eponenciais 1 questão Porcentagem 1 questão Probabilidades 1 questão Geometria Analítica 1 questão Geometria Espacial 1 questão Matrizes questões Sequências questões Aritmética questões Trigonometria questões Análise Combinatória questões Polinômios questões Lógica 4 questões Funções 5 questões Geometria Plana CPV fgveconov014_1f