Construção de tabelas verdades

Transcrição

1 Construção de tabelas verdades Compreender a Lógica como instrumento da ciência e como estrutura formal do pensamento, conhecendo e compreendendo as operações com os principais conceitos proposicionais da lógica clássica, de forma precisa e os procedimentos de validação dos argumentos, principalmente a construção de tabela verdade. CONSTRUÇÃO TABELA VERDADE Sabemos que toda proposição tem V (p) = 1 ou V (p) = 0. Quando fazemos a composição de qualquer proposição composta, usaremos como auxilio a construção das tabelas verdades ou diagrama de arvores. Nesta tabela analisamos os valores lógicos de proposições compostas. Uma tabela verdade que contém duas proposições apresentará exatamente um número de quatro linhas! Mas e se estivermos analisando uma proposição composta com três ou mais proposições componentes? Como ficaria a tabela-verdade neste caso? Generalizando para qualquer caso, teremos que o número de linhas de uma tabela-verdade será dado por: Número de Linhas da Tabela-Verdade = 2 Nº de proposições Ou seja: se estivermos trabalhando com duas proposições p e q, então a tabela-verdade terá 4

2 linhas, já que 2 2 =4. r? E se estivermos trabalhando com uma proposição composta que tenha três componentes p, q e Quantas linhas terá essa tabela-verdade? Terá 8 linhas, uma vez que 2 3 = 8. E assim por diante. Exemplo: Apenas uma proposição p: 2 1 = 2 linhas Se tivermos duas proposições como ficaria? p e q: 2 2 = 4 linhas Para construirmos uma tabela de uma proposição composta, deveremos proceder da seguinte forma: Determinar o número de linhas desta tabela;

3 Observar os conectivos que formam as proposições; Aplicar as definições das operações; 1 Negação 2 Conjunção 3 Disjunção 4 Condicional 5 Bicondicional Tabela verdade para duas proposições. Quando trabalhando com duas proposições, a estrutura inicial da tabela-verdade será sempre aquela que já aprendemos. Qual seja? Primeiramente construir a sequência dada abaixo: p q E a próxima coluna (ou próximas colunas) da tabela-verdade dependerá dos conectivos que estarão presentes na proposição composta conforme escrito acima. Com o conhecimento prévio, já estamos aptos a construir as tabelas-verdade de qualquer outra proposição formada por duas proposições componentes (p e q). Designaremos tal proposição composta da seguinte forma: P(p, q) Suponhamos, pois, que estamos diante da seguinte proposição composta: P(p, q) = (p + q )...e desejamos construir a sua tabela-verdade. Como seria? O início da tabela é, conforme sabemos, sempre o mesmo. Teremos a tabela que chamaremos de figura 1: p q Agora olhemos para a proposição que estamos trabalhando (p + q ) e comparemos o que já temos na tabela acima com o que ainda precisamos encontrar. Já temos o q?

4 Ainda não! Então, é nosso próximo passo será construir a coluna da negação de q que chamaremos de figura 2. p q q' Seguindo adiante, construiremos agora a coluna referente aos parênteses (p + q ). Trata-se pois, de uma disjunção, cujo funcionamento já é nosso conhecido (só será falsa se as duas partes forem falsas!.) Colocaremos em destaque (sombreado) as colunas de nosso interesse para a formação desta disjunção. Teremos: Ficou claro para todo mundo? Vejamos de novo: Colocando as duas colunas (p e q ) lado a lado, veremos que só na segunda linha ocorre a situação FALSO e FALSO, a qual torna também FALSA a conjunção. Vejamos:

5 Por fim, concluindo a análise desta proposição composta, resta-nos construir a coluna que é a própria proposição: (p + q ). Ou seja, faremos a negação da conjunção acima. Para isso, quem for VERDADEIRO vira FALSO e vice-versa. Teremos: É este, portanto, o resultado final da tabela-verdade para a proposição (p + q ). Uma coisa muito importante que deve ser dita neste momento é que, na hora de construirmos a tabela-verdade de uma proposição composta qualquer, teremos que seguir uma certa ordem de precedência dos conectivos. Ou seja, os nossos passos terão que obedecer a uma sequência. Começaremos sempre trabalhando com o que houver dentro dos parênteses. Só depois, passaremos ao que houver fora deles. Em ambos os casos, sempre obedecendo à seguinte ordem já descrita acima: Negação Conjunção Disjunção Condicional

6 Bicondicional Confira novamente o trabalho que fizemos acima, para construir a tabela-verdade da proposição [(p + q ) ]. Vide figuras 1 a 4. Primeiro, trabalhamos os parênteses, fazendo logo uma negação (figura 1). Depois, ainda dentro dos parênteses, fizemos uma disjunção (figura 2). E concluímos trabalhando fora dos parênteses, fazendo nova negação. Observemos que só se passa a trabalhar fora dos parênteses quando não há mais o que se fazer dentro dele. Tabela verdade para três proposições. Construa a tabela-verdade da seguinte proposição composta p + q (r. q') Observamos que há parênteses. Começaremos, pois, a trabalhar o primeiro deles, isoladamente. Nossos passos, obedecendo à ordem de precedência dos conectivos, serão os seguintes: 1º Passo: A negação de q: 2º Passo: Resolver os parênteses (r. q')

7 3º Passo: Resolver a disjunção p + q 4º Passo: Resolver a condicional p + q (r. q') Veja mais alguns exemplos.

8 Tautologia é uma proposição composta formada por duas ou mais proposições p, q, r,... será dita uma Tautologia se ela for sempre verdadeira (1), independentemente dos valores lógicos das proposições p, q, r,... que a compõem. Em palavras mais simples: para saber se uma proposição composta é uma Tautologia, construiremos a sua tabela-verdade! Daí, se a última coluna da tabela-verdade só apresentar verdadeiro (e nenhum falso), então estaremos diante de uma Tautologia. Só isso! Exemplo: A proposição (p q). (q r) (p r) é uma tautologia, pois é sempre verdadeira, independentemente dos valores lógicos de p e de q, como se pode observar na tabela-verdade abaixo: CONTRADIÇÃO é uma proposição composta formada por duas ou mais proposições p, q, r,... será dita uma contradição se ela for sempre falsa, independentemente dos valores lógicos das proposições p, q, r,... que a compõem. Ou seja, construindo a tabela verdade de uma proposição composta, se todos os resultados da última coluna forem FALSO, então estaremos diante de uma contradição conforme exemplo: p + q <---> p q. Logo, é uma contradição.

9 CONTINGÊNCIA é uma proposição composta será dita uma contingência sempre que não for uma tautologia nem uma contradição. Somente isso! Você pegará a proposição composta e construirá a sua tabela-verdade. Se, ao final, você verificar que aquela proposição nem é uma tautologia (só resultados 1), e nem é uma contradição (só resultados 0), então, pela regra de exceção, será dita uma contingência! EXEMPLO: a) p ---> (p ---> r') <----> q + r Pronto! Concluímos mais um problema. Já estamos aptos para construir tabelas-verdades para proposições de duas ou mais sentenças.(proposições). Agora passemos a mais uma questão. 1) Um exemplo de tautologia é: a) se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo b) se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo c) se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo d) se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Guilherme é gordo e) se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo Solução: Para simplificar e facilitar esta resolução, assumiremos as seguintes proposições simples: p : João é alto. q : Guilherme é gordo. Daí, utilizando estas definições feitas acima para as proposições p e q. As alternativas da questão poderão ser reescritas simbolicamente como: a) p (p + q) (= se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo)

10 b) p (p q) (= se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo) c) (p + q) q (= se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo) d) (p + q) (p q) (= se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Guilherme é gordo) e) (p + p ) q (= se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo) O que resta ser feito agora é testar as alternativas, procurando por aquela que seja uma Tautologia. Para isso, construiremos a tabela-verdade de cada opção de resposta. Teste da alternativa a : p (p + q) Daí: Resposta: Letra A! Só para efeitos de treino, vamos testar também a alternativa B: Teste da alternativa B: p (p q) Vocês vão observar que quando construírem a tabela verdade e observar a última coluna o valor lógico da proposição p (p q) pode ser verdadeiro ou falso. Isto nos leva a concluir, portanto, que esta proposição não é uma tautologia, nem uma contradição, mas, sim, a chamada contingência. Antes de seguirmos adiante, façamos uma solução alternativa para a questão acima: Observem que em todas as alternativas aparece o conectivo, ou seja, todas as proposições são condicionais. Na tabela verdade do conectivo só temos o valor lógico falso quando na proposição condicional o antecedente for verdade e o consequente for falso. Sabendo que uma tautologia sempre tem valor lógico verdade, então dentre as proposições condicionais apresentadas nas alternativas, aquela em que nunca ocorrer o antecedente verdade e o consequente falso será uma tautologia. Análise do item a : p (p + q). Vejam que quando o antecedente desta proposição for verdade, também o consequente será verdade, e assim a proposição nunca será falsa, logo esta proposição é uma tautologia. A questão terminou, mas vamos analisar os restantes. Análise do item b : p (p q). Vejam que quando o antecedente desta proposição for verdade, o consequente será verdade se q for verdade, e falso se q for falso. Assim, a proposição pode assumir os valores lógicos de verdade e falso. Não é uma tautologia. Análise do item c : (p + q) q. O antecedente desta proposição sendo verdade, o valor lógico de q pode ser verdade ou falso, e daí o consequente que é dado por q também pode ser verdade ou falso, logo concluímos que a proposição desta alternativa não é uma tautologia. Análise do item d : (p + q) (p q). O antecedente desta proposição sendo verdade, os valores de p e q podem ser verdade ou falso, e portanto o consequente também pode ser verdade ou falso, logo concluímos que a

11 proposição desta alternativa não é uma tautologia. Análise do item e : (p + p ) q. Observem que o antecedente é sempre verdade independentemente do valor lógico de p, já o consequente pode assumir o valor lógico de verdade ou falso. Portanto, concluímos que a proposição desta alternativa não é uma tautologia. Agora será com você. Desenvolva os exercícios propostos para que possam assimilar o conteúdo abordado. Tudo certo até este momento? Caso ainda tenha dúvidas acessem o fórum e esclareça com seu professor. Vamos desenvolver mais exercícios para que possa memorizar definitivamente este conteúdo. Referências BIBLIOGRAFIA BÁSICA: Daghlian, J. Lógica e álgebra de Boole. 2ª d. São Paulo: Paz e Terra, p. Alencar Filho, E. de. Iniciação à lógica matemática. 18ª d. São Paulo: Nobel, p.

12 Souza, J.N. de. Lógica para ciência da computação: fundamentos de linguagem, semântica e sistemas de dedução. Rio de Janeiro: Elsevier, p. BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR: Costa, N.C.A. Ensaios sobre os fundamentos da Lógica. 2ª d. São Paulo: Paz e Terra, p. Rosen, K.H. Matemática discreta e suas aplicações. 6ª d. São Paulo: McGraw- Hill, p.