Novas Tecnologias no Ensino da Matemática

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1 UFF Novas Tecnologias no Ensino da Matemática 1 Novas Tecnologias no Ensino da Matemática Humberto José Bortolossi Lista 8 ATIVIDADE 1 Uma outra maneira de se poupar tempo de digitação (além de usar as setas para recuperar comandos digitados anteriormente) é utilizar variáveis para representar expressões. Por exemplo, se você vai usar muito a expressão f(x) =(x 2) (x 3), é conveniente criar uma variável que represente esta expressão. Isto é feito com o operador de atribuição (:): f : (x - 2)*(x - 3); Após digitar este comando, onde o símbolo f aparecer, ele será substituído pela expressão (x 2) (x 3). Vamos acompanhar um exemplo. Primeiro, vamos reiniciar o sistema. (%i1) kill(all); (%o0) $done$ Vamos fazer com que a variável f represente um sinônimo para a expressão (x - 2)*(x - 3). (%i1) f : (x-2)*(x-3); (%o1) (x 3) (x 2) Vamos calcular ((x 2) (x 3)) 2 (x 2) (x 3). Para isto, ao invés de digitar toda a expressão, basta digitar f^2 - f no lugar.

2 UFF Novas Tecnologias no Ensino da Matemática 2 (%i2) f^2 - f; (%o2) (x 3) 2 (x 2) 2 (x 3) (x 2) Você pode expandir a expressão obtida usando o comando expand(...). Osímbolo % representa o resultado do último comando executado (uma outra maneira de se poupar tempo de digitação). (%i3) expand(%); (%o3) x 4 10 x 3 +36x 2 55 x +30 Você pode calcular o valor de (x 2) (x 3) em um ponto x com o comando sublis(...). Por exemplo, para calcular o valor da expressão no ponto x = 0, basta digitar o comando (%i4) sublis([x=0],f); (%o4) 6 Para limpar o conteúdo da variável f basta usar o comando remvalue(...). (%i5) remvalue(f); (%o5) [f] CUIDADO! CUIDADO! CUIDADO! 1. Um outro erro muito freqüente é o de se utilizar = no lugar de : para indicar atribuições. Como veremos, o símbolo = possui outro propósito no Maxima. 2. Uma vez que você atribuiu um determinado valor a uma variável (por exemplo, com o comando f : (x - 2)*(x - 3)), em todo e qualquer lugar que f aparecer, a partir deste ponto, ele será substituído por (x - 2)*(x - 3). Sevocê quiser limpar oconteúdo de f, emita o comando remvalue(f). Use os comandos reset() e remvalue(all) para limpar o conteúdo de todas as variáveis simultaneamente. 3. O nome de uma variável pode ter mais de uma letra. Você pode usar números mas nunca no começo do nome. Espaços em branco e letras acentuadas não são permitidas. 4. Maxima faz distinção entre letras maiúsculas e minúsculas. Assim, a variável f é diferente da variável F. A mesma observação vale para funções predefinidas: factor(x^2-2*x+1) e Factor(x^2-2*x + 1) são dois comandos diferentes.

3 UFF Novas Tecnologias no Ensino da Matemática 3 5. Na notação matemática do ensino médio, é costume se usar parêntesis, colchetes e chaves para modificar a ordem de avaliação de uma expressão: {x +5 [(x 1) (x 3) + 8]}/10. No Maxima você sempre deve usar parêntesis: (x + 5 * ((x - 1) * (x - 3) + 8))/10. Os colchetes e as chaves são usados com um outro propósito, como veremos mais adiante. O comando f : (x - 2)*(x - 3) não define a função f(x) =(x 2) (x 3). Com este comando estamos apenas dizendo que f éum sinônimo para (x - 2)*(x - 3). O exemplo a seguir mostra como podemos definir funções no Maxima e usar a notação funcional a que estamos acostumados. Vamos definir a função f(x) =(x 2) (x 3) que depende da variável x. (%i6) f(x) := (x-2)*(x-3); (%o6) f(x) :=(x 2) (x 3) Vamos calcular o valor de f no ponto x =0,istoé, vamos calcular f(0). Uma das vantagens em se definir funções com o comando := é que podemos usar a mesma notação que usamos quando escrevemos textos em matemática. (%i7) f(0); (%o7) 6 Uma vez que f é uma função, podemos facilmente efetuar composições. Por exemplo, vamos calcular f(a + b). (%i8) f(a+b); (%o8) (b + a 3) (b + a 2) Você pode expandir este resultado com o comando expand(...). (%i9) expand(f(a+b)); (%o9) b 2 +2ab 5 b + a 2 5 a +6 (a) Qual é a diferença (se é que existe) entre (x 2) (x 3)/(x 4) (x 5) e (x 2) (x 3)/((x 4) (x 5))?

4 UFF Novas Tecnologias no Ensino da Matemática 4 (b) No Maxima, defina f(x) := 3*x - 6 e g(x) := x/ Calcule as expressões f(g(x)) e g(f(x)). Conclua que f e g são funções inversas uma da outra! (c) Uma função afim é uma função do tipo f(x) =a x + b, coma e b constantes reais. Encontre todas as funções afins que satisfazem a propriedade f(f(x)) = x para todo x R, istoé, encontre todas as funções afins cuja inversa éaprópria função! Dica: defina f(x) := a*x + b e, em seguida, compare expand(f(f(x))) com x. ATIVIDADE 2 Certamente você já deve ter visto os produtos notáveis (a + b) 2 = a 2 +2ab + b 2 e(a + b) 3 = a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3. Use o comando expand(...) do Maxima para ver os produtos notáveis para (a + b) 4,(a + b) 5 e(a + b) 10. ATIVIDADE 3 Use o comando expand(...) do Maxima para expandir os seguintes produtos (x 1) (1 + x), (x 1) (1 + x + x 2 ), (x 1) (1 + x + x 2 + x 3 ), (x 1) (1 + x + x 2 + x 3 + x 4 ). Quais devem ser as duas próximas equações nesta seqüência? Qual é a regra geral? UseoMaximaparamostrarque ATIVIDADE 4 (ad bc)(ps rq)=(ap+ br)(cq+ ds) (aq+ bs)(cp+ dr) para todo a, b, c, d, p, q, r, s R. Dica: para mostrar que dois números são iguais, é suficiente mostrar que a diferença entre eles é zero. Cuidado: não esqueça de indicar explicitamente as multiplicações com o sinal *. ATIVIDADE 5 Use o Maxima para mostrar que se x = t 2 1ey = t 3 t, então y 2 = x 3 + x 2.Dica:para poupar tempo de digitação, use o comando de atribuição :. ATIVIDADE 6 Diga como escrever cada uma das expressões abaixo usando os comandos (a sintaxe) do Maxima. Por exemplo, para calcular a expressão matemática

5 UFF Novas Tecnologias no Ensino da Matemática 5 2 a + 3 cd + 4 b no Maxima, é preciso digitar os comandos: x^y/(2/a + 3/(c*d) + 4/b). (a) a b c d, (e) abc d, (f) e x y (b) a bc, (c) ab+c, (d) a b c d, a b + c/d, (g) ab/c, (h) a + b, ATIVIDADE 7 Qual é o coeficiente de a 98 b 2 na expansão de (a + b) 100? E o coeficiente de a 99 b? Este coeficientes são números conhecidos? Envie sua resposta para o seguinte [email protected] (note o ponto. entre as palavras). Use Coeficiente Notável como assunto (subject) deste . Sóserão aceitos os s enviados até o dia 14/11/2006.