UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALFENAS UNIFAL/MG. Projeto Institucional de Formação Continuada

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1 1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALFENAS UNIFAL/MG Projeto Institucional de Formação Continuada Aprendizagem de Matemática Mediada por suas Aplicações 6 o Encontro: Matemática Financeira Professor José Carlos de Souza Júnior

2 2 Sumário 1 Introdução à HP-12C Separadores de Dígitos Número de Casas Decimais Teclas Principais Operações Básicas: Adição, Subtração, Multiplicação e Divisão Função Calendário Porcentagem Juros Compostos Cálculo do Prazo Cálculo da Taxa Problemas Anuidades Anuidades sem entrada Problemas Anuidades com entrada Problemas Anuidade Perpétua Problema

3 3 1 Introdução à HP-12C As teclas financeiras da HP-12C trabalham com Fluxos de Caixa, ou seja, com entradas e saídas de dinheiro. Convencionou-se atribuir às entradas de dinheiro o sinal positivo (+) e, às saídas, o sinal negativo ( ). A aplicação de um capital representa, para o investidor, uma saída de dinheiro no seu Fluxo de Caixa (a entrada ocorrerá no momento do resgate). 1.1 Separadores de Dígitos À medida que um número é introduzido, cada grupo de 3 dígitos à esquerda do ponto decimal é automaticamente separado no visor. Quando a calculadora é ligada pela primeira vez após sair da fábrica (ou quando a Memória Contínua é completamente apagada), o separador entre as partes inteira e decimal é um ponto, e o separador de cada grupo de 3 dígitos é a vírgula. Se você quiser, poderá fazer com que a calculadora use a vírgula para separar as partes inteira e decimal, e o ponto para separar os grupos de 3 dígitos. Para tanto, desligue a calculadora, pressione, e mantenha pressionada a tecla ( ), enquanto pressionar (ON). Se você repetir esta última operação, os separadores originais voltarão a ser usados. 1.2 Número de Casas Decimais Para estabelecer o número de casas decimais com o qual trabalharemos, basta seguir o exemplo: (a) 5 casas decimais (f) 5 (b) 4 casas decimais (f) 4 Em geral, como lidamos com dinheiro, usamos a calculadora com duas casas decimais: (f) 2 Desse modo, não corremos o risco de cometer erros de aproximação. OBS: A Calculadora utiliza todas as casas decimais em seus cálculos e não apenas as que você escolheu para aparecer no visor.

4 4 1.3 Teclas Principais A tecla (f) aciona as funções que estão em amarelo na calculadora. A tecla (g) aciona as funções que estão em azul na calculadora. As teclas mais usadas são: (f) (FIN) : apaga (zera) os registros financeiro. (CLX): apaga o número do visor. (f) (REG) : apaga (zera) os registros de armazenamento de dados (memória). (n): armazena o prazo. (i): armazena a taxa de juros (a taxa e o prazo precisam estar na mesma unidade de tempo). (PV): armazena o valor presente (valor da aplicação ou financiamento). (FV): armazena o valor futuro (valor do montante ou de resgate da aplicação). (CHS): altera o sinal o número que estiver no visor. (PMT): armazena o valor das parcelas ou prestações. 1.4 Operações Básicas: Adição, Subtração, Multiplicação e Divisão Para efetuar essas operações: 1. introduza o primeiro número na calculadora; 2. pressione (ENTER) [esta tecla informa à calculadora que o primeiro número foi completamente introduzido. Assim, ele fica separado do segundo número da operação]; 3. introduza o segundo número [não é necessário pressionar (ENTER), porque as teclas (+), ( ), ( ) e ( ) também encerram a introdução de dígitos]; 4. pressione a tecla da operação: (+), ( ), ( ) e ( ) Acompanhe os exemplos, efetuando as operações na HP-12C.

5 : (CLX) [limpa o visor] 2 (ENTER) 6 (+) 8, : (CLX) [limpa o visor] 21 (ENTER) 9 ( ) 12, : (CLX) [limpa o visor] 5 (CHS) (ENTER) 3 (+) 2, : (CLX) [limpa o visor] 32 (ENTER) 5 ( ) 160, ( 3): (CLX) [limpa o visor] 8 (ENTER) 3 (CHS) ( ) 2, (CLX) [limpa o visor] 36 (ENTER) 4 (ENTER) 2 ( ) ( ) 34, (36 4) 2 (CLX) [limpa o visor] 36 (ENTER) 4 (-) [resolvemos primeiro o parêntese] 2 ( ) 16, 00

6 6 1.5 Função Calendário (EUA) mês - dia - ano (g)(m.dy ) [não aparece nada no visor] (Brasil) dia - mês - ano (g)(d.my ) [aparece D.MY no visor, procure deixar a calculadora sempre neste modo!] 1 Segunda-feira 2 Terça-feira 3 Quarta-feira 4 Quinta-feira 5 Sexta-feira 6 Sábado 7 Domingo 1. Quantos dias viveu uma pessoa nascida em 20 de agosto de 1953 e que viveu até 25 de maio de 1992? 20 (.) (ENTER) 25 (.) (g) ( DYS) , Qual o vencimento de uma duplicata emitida em 15 de fevereiro de 1993, por 65 dias? 15 (.) (ENTER) 65 (g) (DATE) [Quarta-feira] 3. Qual dia da semana em que foi proclamada a República? 15 (.) (ENTER) 0 (g) (DATE) [Sexta-feira] 4. Em que dia da semana você nasceu? 1.6 Porcentagem 1. Quanto é 15, 46% de R$5.000,00? 5000 (ENTER) (%) 773,00 2. Quanto é R$50.000,00 mais 30%? (ENTER) 30 (%) (+) ,00 3. Quanto é R$60.000,00 menos 25%? (ENTER) 25 (%) (-) ,00

7 7 4. Um determinado bem foi adquirido por $450,00 e vendido por $530,00. Qual a taxa do lucro sobre o preço de compra? 450 (ENTER) 530 ( %) 17, 78% 5. Um determinado bem foi adquirido por $450,00 e vendido por $380,00. Qual a taxa de prejuízo sobre o preço de compra? 450 (ENTER) 380 ( %) 15, 56% 6. R$5.200,00 representa quantos por cento de R$27.000,00? (ENTER) 5200 (%T ) 19, 26% 2 Juros Compostos Exemplo 2.1. Se você deposita R$100,00 numa caderneta de poupança que paga 2% ao mês, quanto você terá após 3 meses? Note que no regime de juros compostos, os juros de cada período são calculados sobre o montante do período anterior. M 1 = C + C i = (0, 02) = 100(1, 02) = 102 [final do primeiro mês] M 2 = M 1 + M 1 i = (0, 02) = 102(1, 02) = 104, 04 [final do segundo mês] M 3 = M 2 + M 2 i = 104, , 04(0, 02) = 104, 04(1, 02) = 106, 12 [final do terceiro mês] Resumindo: M 3 = 100(1, 02) (1, 02) (1, 02) = 100(1, 02) 3 } {{ } 1 mês: 102 } {{ } 2 mês: 104,04 } {{ } 3 mês: 106,12 De um modo geral, se um certo capital C rende a taxa de juros compostos i em cada período, o montante ao final de n períodos é dado por: M n = C(1 + i) n. A partir de agora, denotaremos o montante apenas por M ao invés de M n, a fim de simplificar a notação. M = C(1 + i) n A fórmula acima é fundamental na equivalência de capitais, pois:

8 8 para obter o valor futuro, basta multiplicar o valor atual por (1 + i) n ; para obter o valor atual, basta dividir o valor futuro por (1 + i) n. Exemplo 2.2. Uma loja oferece duas opções de pagamento: à vista, com 10% de desconto, ou em duas prestações mensais iguais, sem desconto, a primeira sendo paga no ato da compra. Qual a taxa mensal de juros embutidos nas vendas a prazo? Solução: Sem perda de generalidade, podemos supor que o valor do produto seja de $100,00. Assim, temos as seguintes situações: Comparando o dinheiro na data zero, temos: Logo, i = 25% a.m. 90 = (1 + i) = (1 + i) 1 + i = i = 1, 25 i = 0, 25

9 9 Exemplo 2.3. Lembrando que não podemos comparar quantias em épocas distintas, indique a melhor opção em cada caso, considerando uma taxa de 1,5% ao mês: (a) Comprar um aparelho de som à vista por R$365,00 ou pagar R$370,00 daqui a 30 dias? Solução: Temos as seguintes situações Analisando o valor de $370 na data zero, temos que: 370 1,015 = 364, 53. Neste caso, é mais vantagem comprar daqui a 30 dias, pois $365 > $364, 53. (b) Comprar um refrigerador à vista por R$829,00 ou pagar R$868,00 daqui a 30 dias? Solução: Temos as seguintes situações Analisando o valor de $868 na data zero, temos que: 868 1,015 = 855, 17. Neste caso, é mais vantagem comprar à vista, pois $829 < $855, 17.

10 Cálculo do Prazo Da fórmula que relaciona o Montante e o Capital, podemos deduzir o valor do prazo n, como segue: 2.2 Cálculo da Taxa segue: M = C(1 + i) n (1 + i) n = M C ( ) M log(1 + i) n = log C ( ) M n log(1 + i) = log C n = log ( ) M C log(1 + i) Da fórmula que relaciona o Montante e o Capital, podemos deduzir o valor da taxa i, como M = C(1 + i) n (1 + i) n = M C n (1 + i) n M = n C M (1 + i) = n ( C ) n M i = 1 C Note que a taxa obtida pela fórmula acima estará na forma decimal, para passá-la para a forma percentual (%), basta multiplicar o resultado obtido por Problemas Observação 1. Antes de realizar os cálculos com a HP-12C, verifique se aparece um c (convenção exponencial) no visor da calculadora. Para colocá-lo, digite: (STO) (EEX). Deixe a calculadora sempre neste modo! A convenção exponencial garante que a calculadora usará tanto a parte inteira, quanto a parte decimal do prazo, no regime de juros compostos. Observação 2. Antes de aplicar qualquer fórmula, tome os seguintes cuidados: (a) Passe a taxa da forma percentual para a decimal ( 100). (b) Deixe a taxa e o prazo sempre nas mesmas unidades.

11 11 Observação 3. Antes de resolver cada problema usando a HP-12C, é recomendado que se limpe as memórias financeiras usando o comando (f)(fin). Isto evita que dados de um problema anterior interfiram no resultado do problema atual. M = C(1 + i) n, C = M (1 + i), n = log ( M ) ( ) C n log(1 + i), i = n M 1, J = M C C 1. Qual o montante produzido pelo capital de $5.000,00 em regime de juros compostos, aplicado durante 8 meses, à taxa de 3,5% ao mês? Solução: C = 5000, n = 8 meses, i = 3, 5% a.m. = 0,035 a.m., M =? Na HP-12C, temos: M = C(1 + i) n = 5000(1 + 0, 035) 8 = 5000(1, 035) 8 = 6584, (CHS) (PV) 8 (n) 3.5 (i) [não precisa converter para a forma decimal!] (FV) 6.584,05 2. Determine o capital aplicado a juros compostos de 4,3% ao mês, sabendo que após 8 meses rendeu um montante de $20.572,57. Solução: i = 4, 3% a.m. = 0,043 a.m., n = 8 meses, M = 20572, 57, C =? Na HP-12C, temos: C = M 20572, 57 = = , 74 (1 + i) n 1, (i) 8 (n) (FV) (PV) ,74

12 12 3. Em que prazo um empréstimo de $20.000,00 pode ser quitado por meio de um único pagamento de $24.310,12 se a taxa de juros compostos cobrada for de 5% ao mês? Solução: C = 20000, M = 24310, 12, i = 5% a.m. = 0,05 a.m., n =? n = log ( ) M C log(1 + i) = log ( 24310,12 ) = 4 log(1, 05) Portanto, n = 4 meses. Na HP-12C, temos: (CHS) (PV) (FV) 5 (i) (n) 4 [meses] 4. A que taxa de juros ao mês um capital de $13.200,00 pode transformar-se em $35.112,26, considerando um período de 7 meses? Solução: C = 13200, M = 35112, 26, n = 7, i =? ( ) ( ) n M , 26 i = 1 = 1 = 0, 15 C Logo, i = 0, 15 a.m. = 15% a.m. Na HP-12C, temos: (CHS) (PV) 35112,26 (FV) 7 (n) (i) 15 Logo, i = 15% a.m. 3 Anuidades Uma anuidade é uma sequência de pagamentos periódicos iguais.

13 Anuidades sem entrada Em problemas de anuidades sem entrada o valor atual (PV) pode ser obtido pela soma dos valores de cada uma das prestações (PMT) na data zero. Sendo PV o valor atual do bem (valor à vista), PMT o valor de cada prestação, n o número de prestações e i a taxa de juros, comparando na data zero, temos: (1 + i) + P MT (1 + i) + P MT 2 (1 + i) P MT P MT + 3 (1 + i) n 1 (1 + i) n Podemos reescrevê-la da seguinte forma: (1 + i) n + P MT (1 + i) (n 1) P MT (1 + i) 2 + P MT (1 + i) 1 Colocando P M T em evidência, obtemos: [ (1 + i) n + (1 + i) (n 1) (1 + i) 3 + (1 + i) 2 + (1 + i) 1] A expressão que se encontra dentro dos colchetes é a soma dos termos de uma P G, onde: a 1 = (1 + i) n a n = (1 + i) 1 q = (1 + i) Lembrando que a soma de n termos de uma P G é dada por: S n = a 1 ( [ ( )] (1 + i) (1 + i) n n 1 (1 + i) 1 [ ( )] (1 + i) (1 + i) n n 1 i [ ( )] 1 (1 + i) n 1 (1 + i) n i [ ] (1 + i) n 1 (1 + i) n i ) q n 1, temos: q 1

14 Problemas 1. Uma pessoa compra um objeto que irá pagar em 4 prestações mensais de $200,00 sem entrada. As prestações serão pagas a partir do final do mês da compra e o vendedor afirmou estar cobrando uma taxa de juros compostos de 5% ao mês. Qual o preço do objeto à vista? Solução: n = 4, P MT = 200, i = 5% a.m. = 0,05 a.m., P V =? Logo, P V = 709, 19. Na HP-12C, temos: [ ] [ ] (1 + i) n 1 (1, 05) 4 1 = 200 = 709, 19 (1 + i) n i (1, 05) 4 0, 05 4 (n) 200 (CHS) (PMT) 5 (i) (PV) 709,19 2. Determine o valor da prestação mensal para quitar, com 10 prestações sem entrada, um empréstimo de $15.000,00 a juros de 5% ao mês. Solução: n = 10, P V = 15000, i = 5% a.m. = 0,05 a.m., P MT =? Logo, P MT = 1942, 57. P MT = P V [ (1+i) n 1 (1+i) n i ] = [ ] = 1942, 57 (1,05) 10 1 (1,05) 10 0,05 Na HP-12C, temos: 10 (n) (PV) 5 (i) (PMT) -1942,57

15 15 3. Um financiamento no valor de $66.241,00 é feito em prestações anuais sem entrada, no valor de $9.000,00, à taxa de 6% ao ano. Calcule o número de prestações deste financiamento. Solução com a HP-12C: P V = 66241, P MT = 9000, i = 6% a.m., n =?, (PV) 9000 (CHS) (PMT) 6 (i) (n) 10 Logo, este financiamento consiste de 10 prestações anuais. 4. Uma motocicleta custa, à vista, $2737,60. Compro-a em 12 prestações mensais de $317,64, sem entrada. Calcule a taxa do financiamento. Solução com a HP-12C: P V = 2737, 60,n = 12, P MT = 317, 64, i =?. 2737,60 (PV) 12 (n) 317,64 (CHS) (PMT) (i) 5,50 Logo, a taxa do financiamento é de i = 5, 50% a.m. 3.2 Anuidades com entrada Sejam PV o valor atual de uma anuidade com entrada, n o número de prestações, PMT o valor de cada prestação e i a taxa de juros. Temos o seguinte fluxo de caixa que relaciona o valor atual com as prestações na data zero: Se desconsiderarmos por um momento a prestação da data zero, caímos na situação anterior, de obter o valor atual de uma anuidade sem entrada com n 1 prestações.

16 16 Assim, voltando para o nosso caso, temos que o P V será fornecido pela seguinte expressão: P V = [ ] (1 + i) n 1 1 P MT + P MT (1 + i) n 1 i } {{ } P V = {[ ] } (1 + i) n 1 1 P MT + 1 (1 + i) n 1 i data zero Observação 4. Para resolver os problemas com entrada usando a HP-12C, devemos digitar o comando (g)(beg). Feito isto, irá aparecer no visor da calculadora a palavra BEGIN. Para a calculadora voltar ao modo sem entrada, basta digitar o comando (g)(end) que o BEGIN irá desaparecer do visor Problemas 1. Uma pessoa compra um objeto que irá pagar em 4 prestações mensais de $200,00. As prestações serão pagas a partir do início do mês da compra e o vendedor afirmou cobrar uma taxa de juros compostos de 2% ao mês. Qual o preço do objeto à vista? Solução: n = 4, P MT = 200, i = 2% a.m. = 0,02 a.m., P V =? Logo, P V = 776, 78. Na HP-12C, temos: {[ ] } {[ ] } (1 + i) n 1 1 (1, 02) = = 776, 78 (1 + i) n 1 i (1, 02) 4 1 0, 02 (g) (BEG) [compra com entrada] 4 (n) 200 (CHS) (PMT) 2 (i) (PV)

17 17 776,78 2. Uma compra no valor de $6.500,00, com juros de 2,5% ao mês, foi efetuada em 6 prestações (com entrada). Determine o valor destas prestações? Solução: P V = 6500, i = 2, 5% a.m. = 0,25 a.m.,n = 6, P MT =? P MT = Logo, P MT = 1151, 29. Na HP-12C, temos: P V {[ (1+i) n 1 1 (1+i) n 1 i ] } = {[ ] } = 1151, 29 (1,025) (1,025) 6 1 0, (g) (BEG) [compra com entrada] 6500 (PV) 2.5 (i) 6 (n) (PMT) -1151,29 3. José comprou um imóvel no valor de $79.521,95 que deverá ser pago em 10 prestações anuais (com entrada) de $10.000,00. Qual a taxa de juros? Solução com a HP-12C: P V = 79521, 95, n = 10, P MT = 10000, i =?% a.a. (g) (BEG) [compra com entrada] 79521,95 (PV) 10 (n) (CHS) (PMT) (i) 5,50 % a.a. Logo, este financiamento uma taxa de 5,50 % a.a.. 4. Quantas prestações anuais (com entrada) no valor de $48.831,00 serão necessárias para pagar uma dívida de $ ,00 com uma taxa de juro de 40% ao ano? Solução com a HP-12C: P MT = 48831, P V = , i = 40% a.a., n =? (g) (BEG) [compra com entrada]

18 (CHS) (PMT) (PV) 40 (i) (n) 10 meses. 3.3 Anuidade Perpétua Quando se aluga um bem, como por exemplo um imóvel, cede-se a posse deste em troca de um aluguel, digamos mensal. Podemos imaginar que os aluguéis são prestações que devem ser pagas indefinidamente no final de cada período (neste caso, n ). Neste caso o valor atual será obtido da seguinte expressão: (1 + i) + P MT (1 + i) 2 + P MT (1 + i) P MT (1 + i) n +... Colocando a parcela P MT em evidência, temos: [ ] 1 (1 + i) + 1 (1 + i) (1 + i) +... n Observe que os termos dentro do colchetes correspondem a uma soma infinita de uma P G cujo a 1 = 1 = q, note que 0 < q < 1. (1+i) Lembrando que soma dos termos de uma P G infinita onde 0 < q < 1 é dada por S = a 1, 1 q segue que: [ 1 (1+i) 1 1 (1+i) [ ] i 1 (1+i) (1+i) 1 (1+i) [ 1 (1+i) i (1+i) ] ]

19 Problema 1. Se um apartamento está rendendo um aluguel de $600,00 ao mês e se a taxa da melhor aplicação no mercado financeiro é de 2% ao mês, qual seria uma primeira estimativa do valor do imóvel, considerando o recebimento do aluguel no final de cada mês? Solução: P MT = 600, i = 2% a.m. = 0,02 a.m., n, P V =? Logo, P V = , 00. Na HP-12C, temos: i = 600 0, 02 = (g) (END) [sem entrada] 600 (CHS) (PMT) 2 (i) (n) [tantos 9 s quantos couberem no visor] (PV) ,00