Novas Tecnologias no Ensino da Matema tica

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1 Novas Tecnologias no Ensino da Matema tica (GMA00144) Novas Tecnologias no Ensino da Matema tica Lista 11 Humberto Jose Bortolossi ATIVIDADE 1 Para poupar esforc o de digitac a o, voce pode usar o tradicional sistema de copiar e colar (CTRL-C e CTRL-V) para aproveitar um comando digitado anteriormente em outro lugar. Ja para copiar e colar o resultado de um comando, voce deve proceder como se segue: suponha que voce queira copiar o resultado do comando da linha 3 para uma determinada posic a o no campo de entrada da linha 5. Clique primeiro na posic a o desejada no campo de entrada da linha 5 e, enta o, clique no resultado (em azul) apresentado na linha 3. Pronto! Voce tambe m pode usar os nu meros das linhas da Janela CAS do GeoGebra 5.x para poupar esforc o de digitac a o. Vamos ver um exemplo: suponha que voce digite o nu mero / no campo de entrada da linha 1 e o nu mero / no campo de entrada da linha 2: / / Se, no campo de entrada da linha 3, voce digitar $1 $2, o GeoGebra 5.x calculara o nu mero Lista 11 Pa gina 1

2 / / : 3 $2 $ Se você usar #1 e #2 ao invés de $1 e $2, o GeoGebra 5.x irá substituir #1 e #2 no campo de entrada da linha em questão pelos resultados calculados nas linhas 1 e 2, respectivamente. Por exemplo, se na linha 4 você digitar: 4 #2 #1 e, então, pressionar a tecla ENTER, a linha 4 ficará assim: 4 ( / ) ( / ) A tabela seguinte descreve o sistema de referência para comandos e resultados. Sintaxe Descrição Substituição no Campo de Entrada # referência para o resultado calculado na linha anterior sim #5 referência para o resultado calculado na linha 5 sim $ referência para o resultado calculado na linha anterior não $5 referência para o resultado calculado na linha 5 não Uma outra maneira de se poupar esforço de digitação é utilizar variáveis para representar expressões. Por exemplo, se você vai usar muito a expressão (a 2) (a 3), é conveniente criar uma variável para representá-la. Isso é feito com o operador de atribuição (:=): b := (a - 2) (a - 3) Lista 11 Página 2

3 Após digitar esse comando, onde o símbolo b aparecer, ele será substituído pela expressão (a 2) (a 3). Vamos acompanhar um exemplo. Primeiro, reinicie o GeoGebra 5.x: Menu Principal ArquivoNovo. Vamos fazer com que a variável b represente um sinônimo para a expressão (a - 2)(a - 3). 1 b := (a 2) (a 3) a 2 5 a + 6 Vamos calcular ((a 2) (a 3)) 2 (a 2) (a 3). Para isto, ao invés de digitar toda a expressão, basta digitar b^2 - b no lugar. 2 b 2 b a 4 10 a a 2 55 a + 30 Você pode calcular o valor de (a 2) (a 3) em um determinado valor de a com o comando Substituir[...]. Por exemplo, para calcular o valor de (a 2) (a 3) para a = 0, basta digitar o comando 3 Substituir[b, a, 0] 6 Para limpar o conteúdo da variável b (isto é, para que b volte ser apenas b) basta usar o comando Apagar[...]. 4 Apagar[b] true CUIDADO! CUIDADO! CUIDADO! 1. Um outro erro muito frequente é o de se utilizar = no lugar de := para indicar atribuições. Como veremos, o símbolo = possui outro propósito no GeoGebra 5.x. Lista 11 Página 3

4 2. Uma vez que você atribuiu um determinado valor a uma variável (por exemplo, com o comando b := (a - 2)(a - 3)), em todo e qualquer lugar que b aparecer, a partir deste ponto, ele será substituído por (a - 2)(a - 3). Se você quiser limpar o conteúdo de b, emita o comando Apagar[b]. Para limpar o conteúdo de todas as variáveis simultaneamente, basta iniciar uma nova construção (Menu Principal ArquivoNovo) 3. O nome de uma variável pode ter mais de uma letra (incluindo letras acentuadas). Você pode usar números mas nunca no começo do nome. Também é possível criar variáveis indexadas: a_{1} := 3 faz com que a variável a 1 assuma o valor 3. Espaços em branco não são permitidos. 4. O GeoGebra 5.x faz distinção entre letras maiúsculas e minúsculas. Assim, a variável b é diferente da variável B. 5. Na notação matemática do ensino médio, é costume se usar parêntesis, colchetes e chaves para modificar a ordem de avaliação de uma expressão: {a + 5 [(a 1) (a 3) + 8]}/10. No GeoGebra 5.x você sempre deve usar parêntesis: (a + 5 ((a - 1)(a - 3) + 8))/10. Os colchetes e as chaves são usados com um outro propósito, como veremos mais adiante. O comando b := (a - 2)(a - 3) não define uma função. Com esse comando estamos apenas dizendo que b é um sinônimo para (a - 2)(a - 3). O exemplo a seguir mostra como podemos definir funções no GeoGebra 5.x e usar a notação funcional a que estamos acostumados. Vamos definir a função f(a) = (a 2) (a 3) que depende da variável a. 5 f(a) := (a 2) (a 3) a 2 5 a + 6 Vamos calcular o valor de f no ponto a = 0, isto é, vamos calcular f(0). Uma das vantagens Lista 11 Página 4

5 em se definir funções com o comando := é que podemos usar a mesma notação que usamos quando escrevemos textos em matemática. 6 f(0) 6 Uma vez que f é uma função, podemos facilmente efetuar composições. Por exemplo, vamos calcular f(u + v). 7 f(u + v) u 2 + v u v 5 u 5 v + 6 IMPORTANTE! IMPORTANTE! IMPORTANTE! Se você definir uma função, então ela será registrada na Janela de Álgebra e o seu gráfico será exibido na Janela de Visualização do GeoGebra 5.x. O mesmo vale para variáveis que recebem valores numéricos. Por exemplo, se você digitar a := 1/3, o número a será criado na Janela de Álgebra. Note contudo que, ao contrário da Janela CAS, o valor de a na Janela de Álgebra é aproximado (como em uma calculadora usual). Para configurar o número de casas decimais no GeoGebra 5.x, acesse: Menu Principal OpçõesArredondamento. (a) Qual é a diferença (se é que existe) entre (x 2) (x 3)/(x 4) (x 5) e (x 2) (x 3)/((x 4) (x 5))? (b) No GeoGebra 5.x, defina f(x) := 3 x - 6 e g(x) := x/ Calcule as expressões f(g(x)) e g(f(x)). Conclua que f e g são funções inversas uma da outra! (c) No GeoGebra 5.x, defina f(x) := sqrt(x) (raiz quadrada de x) e g(x) := x^2. Calcule as expressões f(g(x)) e g(f(x)). As funções f e g são funções inversas uma da outra? Justifique sua resposta! (d) Uma função afim é uma função do tipo f(x) = a x + b, com a e b constantes reais. Encontre todas as funções afins que satisfazem a propriedade f(f(x)) = x para todo x R, isto é, encontre todas as funções afins cuja inversa é a própria função! Dica: defina f(x) := a x + b e, em seguida, compare f(f(x)) com x. Lista 11 Página 5

6 Envie as perguntas e as respostas de todos os itens ((a), (b), (c) e (d)) em uma mensagem para o novas.tecnologias.no.ensino@gmail.com com o assunto AE-01 da Lista 11: Expressões Algébricas. Prazo de entrega dessa atividade: 03/11/2018. ATIVIDADE 2 Certamente você já deve ter visto as expansões (u + v) 2 = u uv + v 2 e (u + v) 3 = u u 2 v + 3 uv 2 + v 3. Use o GeoGebra 5.x para ver as expansões de (u + v) 4, (u + v) 5 e (u + v) 20 (para fazer isto, digite na Janela CAS, por exemplo, Expandir[(u + v)^4] e, então pressione a tecla ENTER.). Na Janela CAS do GeoGebra 5.x, coloque o apontador do mouse sobre a resposta dada pelo GeoGebra 5.x para (u + v) 27. Clique com o botão direito do mouse e, então, escolha a opção Copiar como L A TEX. Cole a resposta em uma mensagem para o novas. tecnologias.no.ensino@gmail.com com o assunto AE-02 da Lista 11: Binômio de Newton. Prazo de entrega dessa atividade: 07/11/2018. ATIVIDADE 3 Diga como escrever cada uma das expressões abaixo usando os comandos (a sintaxe) do GeoGebra 5.x. Por exemplo, para calcular a expressão matemática x y 2 a + 3 c d + 4 b no GeoGebra 5.x, é preciso digitar os comandos: x^y/(2/a + 3/(c d) + 4/b) (note o espaço em branco entre c e d). (a) a b c d, (e) ab c d, (f) e (b) a b c, (c) ab+c, (d) a b c d, a b + c/d, (g) ab/c, (h) a + b, Envie as respostas de todos os itens (de (a) a (h)) em uma mensagem para o novas. tecnologias.no.ensino@gmail.com com o assunto AE-03 da Lista 11: Notação Matemática Unidimensional. Prazo de entrega dessa atividade: 03/11/2018. Defina, no GeoGebra 5.x, a seguinte função: f(x) = ATIVIDADE 4 (x 1)(x 3)(x 5)(x 7) (x 2)(x 4)(x 6)(x 8). Lista 11 Página 6

7 Na Janela CAS do GeoGebra 5.x, coloque o apontador do mouse sobre a resposta dada pelo GeoGebra 5.x para f(x). Clique com o botão direito do mouse e, então, escolha a opção Copiar como L A TEX. Cole então sua resposta em uma mensagem para o novas. tecnologias.no.ensino@gmail.com com o assunto AE-04 da Lista 11: Função Racional. Prazo de entrega dessa atividade: 03/11/2018. Um aluno quer estudar a função ATIVIDADE 5 f(x) = x2 4 x 2 na Janela CAS do GeoGebra 5.x. Para isto, em uma célula, ele digitou f(x) := (x 2 4)/(x 2) e, então, ele pressionou a tecla ENTER. O GeoGebra 5.x deu então como resposta: f(x) = x + 2. A função definida pelo GeoGebra 5.x é igual a função que o aluno que estudar? Justifique sua resposta! Registre sua resposta em uma mensagem para o novas.tecnologias.no. ensino@gmail.com com o assunto AE-05 da Lista 11: Simplificação Automática. Prazo de entrega dessa atividade: 03/11/2018. Lista 11 Página 7