computador sala de aula responsável victor giraldo instituto de matemática ufrj Sérgio Carrazedo Dantas

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1 seção computador na sala de aula responsável victor giraldo instituto de matemática ufrj CRIANDO E INTEGRANDO NOVAS FERRAMENTAS NO GEOGEBRA Sérgio Carrazedo Dantas sergio@maismatematica.com.br Guilherme Francisco Ferreira guilhermefrancisco7ferreira@gmail.com introdução O GeoGebra oferece, em sua instalação padrão, um conjunto de ferramentas e comandos acessíveis por meio da Barra de Ferramentas, com os quais é possível construir objetos geométricos, aplicar transformações, e executar diversas outras ações. Entretanto, um recurso menos conhecido do software é a possibilidade de o usuário criar suas próprias ferramentas, exibi-las na Barra de Ferramentas e usá-las por meio de comandos na Entrada. Neste texto, apresentaremos um exemplo para o processo de criação de uma nova ferramenta 1 no GeoGebra e ilustraremos sua integração com o comando Sequência e com o recurso de Planilha do GeoGebra. 1 Um vídeo com instruções detalhadas sobre a criação de ferramentas no GeoGebra pode ser visualizado no link: 24 n o. 85 revista do professor de matemática

2 CRIANDO NOVAS FERRAMENTAS: CÍRCULO DADO UM DIÂMETRO 2 O GeoGebra oferece diversas opções para a construção de círculos: a partir de três pontos, a partir do centro e da medida do raio, a partir do centro e de um ponto pertencente a circunferência. É possível criar novas ferramentas, acrescentando outras opções de construção a esta lista. Como exemplo, apresentamos a seguir o processo de criação de uma ferramenta que permite construir um círculo dados dois pontos diametralmente opostos, isto é, dados os extremos de um diâmetro. Em primeiro lugar, deve-se fazer a construção que corresponde à ferramenta que se deseja criar. 1. Marque dois pontos na Janela de Visualização (figura 1, lado esquerdo acima). 2. Encontre o ponto médio desses pontos (figura 1, lado direito). Isto pode ser feito, por exemplo, selecionando a opção Ponto Médio na Barra de Ferramentas, ou digitando o comando PontoMédio[A, B] no campo Entrada. 3. Utilizando a ferramenta Círculo dados Centro e um de seus Pontos, clique em M e, em seguida, clique em A ou B e obtenha um círculo (figura 1, lado esquerdo abaixo). Em seguida, use essa construção como modelo para criar a nova ferramenta. 1. Pressione a tecla ESC para ativar o ponteiro e selecione o objeto final de sua construção, no caso, o círculo (figura 2, lado esquerdo). 2. Abra o menu Ferramentas, e selecione a opção Criar uma Nova Ferramenta. Abre-se uma janela com três abas: Objetos Finais, Objetos Iniciais e Nome e Ícone (figura 2). 3. Na aba Objetos Finais (figura 3), selecione os objetos que serão definidos como resultado do uso da ferramenta que será criada. Como o círculo já está selecionado, o GeoGebra o indicará como o único objeto final. A A C M B B A M Figura 1 Construindo os objetos básicos para a Ferramenta Figura 2 Criando a ferramenta Círculo dado um Diâmetro. B computador na sala de aula 2 As construções apresentadas nesse texto funcionarão corretamente na versão ou superior do software GeoGebra. Figura 3 Selecionando os objetos iniciais. revista do professor de matemática n o

3 4. Na aba Objetos Iniciais (figura 4, superior), escolha os objetos que serão ponto de partida para a construção. Neste caso devem ser os pontos A e B que determinam o diâmetro do círculo. 5. Na aba Nome e Ícone (figura 4, inferior), digite um nome para sua ferramenta. Enquanto esse nome é digitado, o GeoGebra sugere uma sintaxe para o comando relacionado à ferramenta. Você poderá aceitar ou modificar essa sintaxe. No campo Ajuda digite os procedimentos que o usuário deve executar após acionar a ferramenta. Neste caso, o usuário deve clicar em dois pontos. Na tecla Ícone é possível selecionar uma imagem de seu computador para ser usada como imagem do ícone na Barra de Ferramentas. Por último, clique em Concluído para finalizar a criação da nova ferramenta. Uma vez criada a ferramenta, apagar a construção que a gerou não afeta seu funcionamento. O ícone associado à ferramenta criada, no caso Círculo dado um Diâmetro, será incluído na Barra de Ferramentas, conforme mostra a figura 5. A nova ferramenta pode ser usada como qualquer outro comando do Geogebra, inclusive aqueles disponíveis em sua instalação padrão. Assim, você terá à disposição as seguintes opções para usar a ferramenta Círculo dado um Diâmetro. Selecionar seu ícone na Barra de Ferramentas e selecionar dois pontos na Janela de Visualização; Digitar o comando CírculoDiâmetro [ <Ponto>, <Ponto> ] no campo Entrada, escolhendo valores para as coordenadas dos dois pontos. Além disso, você poderá combinar essa ferra- Figura 4 Criando a ferramenta Círculo dado um Diâmetro. Figura 5 A ferramenta Círculo dado um Diâmetro. Figura 6 Utilizando a ferramenta Círculo dado um Diâmetro. 26 n o. 85 revista do professor de matemática

4 menta com outros recursos do Geogebra. Você poderá ainda compartilhar a ferramenta criada por você com outros usuários do Geogebra, como descrevemos na próxima seção. Na seção seguinte, exemplificamos o uso combinado da ferramenta Círculo dado um Diâmetro com outros dois recursos do software: Sequência e Planilha. A ferramenta Círculo dado um Diâmetro tem como resultado um único objeto o círculo que tem como diâmetro o segmento com extremidades nos dois pontos dados. No entanto, também é possível construir ferramentas que resultam em mais de um objeto, como por exemplo, uma que a partir de três pontos dados construa um triângulo com seu círculo inscrito. Experimente criar ferramentas que sejam adequadas à sala de aula! COMPARTILHANDO FERRAMENTAS COM outros USUÁRIOS DO GEOGEBRA É possível compartilhar ferramentas criadas por você com outros usuários do GeoGebra, que poderão inseri-la em sua instalação do software. Para isso, no menu Ferramentas, selecione a opção Gerenciar Ferramentas e escolha a ferramenta que você deseja compartilhar (figura 7). Em seguida, selecione Gravar Como. Um arquivo com extensão.ggt será gravado em uma pasta de sua escolha. Esse arquivo poderá ser compartilhado com outros usuários, que poderão então salvar a ferramenta criada em seus próprios computadores e incorporá-la a suas instalações do GeoGebra. Para isso, após baixar o arquivo em seu computador, o outro usuário deve abrir o GeoGebra e, no menu Arquivo, selecionar a opção Abrir e escolher o arquivo desejado (figura 8). A ferramenta será incluída no GeoGebra, exibida na Barra de Ferramentas e o comando correspondente poderá ser usado a partir da Entrada. Para que a ferramenta fique acessível no programa e, não apenas, no arquivo aberto, após realizar o processo descrito acima, selecione Opções e, em seguida, Gravar Configurações. computador na sala de aula Figura 7 Gerenciando ferramentas Figura 8 Instalando uma nova ferramenta no GeoGebra. revista do professor de matemática n o

5 INTEGRANDO FERRAMENTAS COM O COMANDO SEQUÊNCIA O comando Sequência do GeoGebra permite criar uma família finita de objetos, dependendo de um parâmetro numérico. Sua sintaxe para digitação direta no campo Entrada é na forma: Sequência[objeto, i,valor inicial,valor final] Considere um conjunto de pontos, marcados sobre uma reta na Janela de Visualização (figura 9). No campo Entrada, digite o comando: P={A,C,D,E,F,G,H,I,J,B}. Isso terá como resultado uma lista de pontos na ordem em que aparecem sobre a reta (da esquerda para a direita). Em seguida, digite no campo Entrada: Assim, o comando gerará a sequência dos objetos dependentes do parâmetro i, assumindo valores entre o valor inicial e o valor final determinados. O padrão do GeoGebra é incrementar os valores de i de 1 em 1, mas isso pode ser alterado acrescentando-se o valor desejado para o incremento depois do valor final. Ilustraremos o uso do comando Sequência em integração com outras ferramentas do GeoGebra, usando como exemplo a ferramenta Círculo dado um Diâmetro. Esse comando pode ser usado de forma integrada com qualquer ferramenta do GeoGebra, seja esta parte da instalação inicial do software ou criada pelo usuário. Sequência[CírculoDiâmetro[Elemento[P,i],Elem ento[p,i+1]],i,1,9]. O comando Elemento[P,i] gera o i-ésimo elemento da lista P. Portanto, o comando CírculoDiâ metro[elemento[p,i],elemento[p,i+1] gera o círculo com diâmetro com extremidades no i-ésimo e no (i+1)-ésimo pontos da lista P. Constrói-se, desta forma, uma sequência de círculos com o comando Círculo dado um Diâmetro com diâmetros definidos por pares de pontos consecutivos da lista P. (veja na figura 10) Figura 9 Um conjunto finito de pontos colineares. 28 n o. 85 revista do professor de matemática

6 A C D E F G Figura 10 Uma sequência de círculos com diâmetros colineares. computador na sala de aula H I J B INTEGRANDO FERRAMENTAS COM O RECURSO PLANiLHA Agora, ilustraremos a integração de uma ferramenta com o recurso Planilha do GeoGebra, tomando como exemplo a ferramenta Círculo dado um Diâmetro criada. Vamos utilizá-la para construir uma sequência de círculos com diâmetros delimitados por pontos sobre uma espiral de Arquimedes. Construiremos ainda a sequência de círculos dependendo de parâmetros, cuja variação gera bonitos desenhos (veja figura 18, no final desse texto). Comece usando a ferramenta Controle Deslizante para criar dois parâmetros: um angular α, variando de 0º a 360º; e outro numérico n, assumindo valores naturais de 1 a 20 (figura 11). O parâmetro α será usado na construção da espiral, e o parâmetro n na construção da sequência de círculos. No campo Entrada, digite o comando a=curva[t*cos(t), t*sin(t), t, 0, 20α] Este comando gerará uma curva parametrizada por t, variando de 0 a 20α. Além disso, nomeará essa função paramétrica de a. Na figura 12, observe a expressão da espiral de Arquimedes na Janela de Álgebra e seu gráfico na Janela de Visualização. Em seguida, digite no campo Entrada: Pontos=Sequência[ a(i), i, 0, 20*α, α ] O GeoGebra retornará a sequência dos pontos a(i), sobre a curva a, com valores de i variando de 0 a 20α e incremento α (figura 13), e chamará essa sequência de Pontos. Figura 11 Construindo uma espiral de Arquimedes. revista do professor de matemática n o

7 Figura 12 A espiral de Arquimedes no GeoGebra. Figura 13 Pontos sobre a espiral de Arquimedes. No menu Exibir, selecione a opção Planilha. Na planilha que será exibida, digite 1 na célula A1 e = A1 + 1 na célula A2, clique com o mouse no canto direito inferior da célula A2 e arraste até a célula A20 (figura 14). A fórmula de A2 será extendida para as demais células exibindo números de 1 a 20. Na célula B1 digite o comando indicado na figura 15 (parte superior). Como A1 = 1 e n = 1 (em que A1 é a primeira célula da coluna A e n é o controle deslizante), esse comando terá como resultado um círculo com diâmetro com extremidades nos elementos 1 e 2 da lista Pontos. A equação do círculo é exibida na célula B1 e seu gráfico na Janela de Visualização (figura 15, parte inferior). Clique no canto inferior direito da célula B1 e arraste até a célula B20. Isso fará com que o GeoGebra copie e cole a expressão de B1 nas células B2, B3, B4,..., B20. O resultado será exibido na Janela de Visualização (figura 16). FiguraS 14 E 15 Manipulando a planilha do GeoGebra. 30 n o. 85 revista do professor de matemática

8 Figura 16 Círculos sobre a espiral de Arquimedes. Você pode ainda alterar as cores dos círculos desenhados. Por exemplo, selecione as células A1, A5, A9 e A17. Para isso, clique em uma delas, segure a tecla Ctrl e clique nas demais. Depois, com a tecla Ctrl ainda pressionada, clique com o botão direto do mouse sobre uma das células selecionadas e acesse a opção Propriedades: mude a cor para vermelha e a transparência para 25. Realize o mesmo processo para os blocos (A2, A6, A10, A18), (A3, A7, A11, A19) e (A4, A8, A12 e A20), escolhendo as cores verde, amarela e azul (figura 17). Modificando os controles deslizantes para valores específicos obtemos as seguintes imagens (figura 18). Figura 17 Círculos coloridos revista do professor de matemática n o

9 Figura 18 Figuras obtidas a partir da espiral de Arquimedes 32 n o. 85 revista do professor de matemática