Sumário. Educação Matemática: Oficinas Didáticas com GeoGebra 2012

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1 Sumário A Interface do GeoGebra...2 O menu do GeoGebra...3 Ferramentas de construção...4 LIÇÃO 1: Polígonos e ângulos...7 LIÇÃO 2: Retas perpendiculares e paralelas...11 LIÇÃO 3: Construindo gráficos...18 LIÇÃO 4: Construção de quadriláteros...27 LIÇÃO 5: Transformações geométricas...28 LIÇÃO 6: Estudo da reta...33 Elaborando atividades...35 Celina A. A. P.Abar (orientadora) abarcaap@pucsp.br 1

2 A interface do GeoGebra A interface básica do GeoGebra é dividida em três seções: campo de entrada; janela de álgebra; janela gráfica. JANELA DE ÁLGEBRA: Visualização e edição de todos os objetos e funções criadas. São necessários apenas dois cliques na equação para editá-la. JANELA GRÁFICA: Visualização e construção dos objetos e gráficos de funções. CAMPO DE ENTRADA: Criação de novos objetos, equações e funções. Por exemplo: Construa o gráfico de y = -3x² + 2x + 3 Digite: y=-3x^2+2x+3 ou y=-3*x^2+2*x+3 e tecle enter. Celina A. A. P.Abar (orientadora) abarcaap@pucsp.br 2

3 O menu do GeoGebra Arquivo: Exibir Opções Editar: Ferramentas: Celina A. A. P.Abar (orientadora) 3

4 Janela: Ajuda Ferramentas de construção Celina A. A. P.Abar (orientadora) abarcaap@pucsp.br 4

5 Celina A. A. P.Abar (orientadora) abarcaap@pucsp.br 5

6 Celina A. A. P.Abar (orientadora) abarcaap@pucsp.br 6

7 Lição 1: Polígonos e Ângulos Construção de um triângulo e medição da soma dos ângulos internos 1) Esconda os eixos, porque eles não serão necessários agora: No menu Exibir, clique no botão Eixos. 2) Vá para as ferramentas de construção: selecione a ferramenta Polígono. 3) Na janela gráfica: criar um triângulo, selecionando três pontos que serão os vértices do polígono. (Lembre-se de clicar no primeiro ponto novamente para fechar o polígono) 4) Meça os ângulos internos: Vá para as ferramentas de construção e selecione a ferramenta Ângulo. Selecione os três vértices do sentido anti-horário (o vértice do ângulo medido deve ser o segundo selecionado). Celina A. A. P.Abar (orientadora) abarcaap@pucsp.br 7

8 5) Calcular a soma dos ângulos internos Vá para o campo de entrada e digite: + + (depois tecle enter ) Como não há, e no teclado, você tem que selecioná-los na lista do lado direito do campo de entrada: 6) A soma dos ângulos (que é de 180 ) aparecerá na janela de álgebra. Celina A. A. P.Abar (orientadora) abarcaap@pucsp.br 8

9 7) A pergunta que pode surgir é se este é um caso especial ou é sempre verdade? Vá para as ferramentas de construção e selecione a Mover. Arraste os vértices (A, B e C) do triângulo. O GeoGebra irá medir os ângulos de imediato e também atualizar a soma dos ângulos internos. (É importante salientar que a simples movimentação dos vértices não representa uma prova matemática para a soma dos ângulos internos do triângulo) 8) Para salvar a construção: selecione o menu Arquivo e clique no botão Gravar. Grave o arquivo da seguinte forma: polígono1_seunome.ggb Construção de um polígono regular 1) Esconda os eixos: No menu Exibir, clique no botão Eixos. Celina A. A. P.Abar (orientadora) abarcaap@pucsp.br 9

10 2) Vá para as ferramentas de construção: selecione a ferramenta Polígono Regular. 3) Crie um triângulo equilátero, selecionando os dois pontos de base. Uma janela será aberta: digite o número de vértices (triângulo 3, quadrado 4, pentágono regular 5) e tecle enter. 4) Meça os ângulos internos: Vá às ferramentas de construção e selecione a ferramenta Ângulo. Selecione os três vértices do sentido anti-horário (o vértice do ângulo medido deve ser o segundo selecionado). Celina A. A. P.Abar (orientadora) abarcaap@pucsp.br 10

11 5) Repita os passos 1 ao 4 para a construção de um quadrado, de um pentágono regular etc. 6) Grave o arquivo da seguinte forma: polígono2_seunome.ggb Lição 2: Retas Perpendiculares e Paralelas Construção do ponto médio de um segmento de reta 1) Construa um segmento de reta: use a ferramenta segmento definido por Dois Pontos. Celina A. A. P.Abar (orientadora) abarcaap@pucsp.br 11

12 2) Construa o ponto médio do segmento de reta: use a ferramenta Ponto Médio ou Centro. 3) Grave o arquivo da seguinte forma: pontomedio_seunome.ggb Construção de uma reta perpendicular a uma reta conhecida através de um determinado ponto 1) Construa um segmento de reta: use a ferramenta segmento definido por Dois Pontos. 2) Construa um ponto que pertença ao segmento de reta: selecione a ferramenta Novo Ponto e clique sobre o segmento de reta. Celina A. A. P.Abar (orientadora) abarcaap@pucsp.br 12

13 3) Construa uma reta perpendicular: selecione a ferramenta Reta Perpendicular e clique no ponto e no segmento de reta. 4) Grave o arquivo da seguinte forma: perpendicular_seunome.ggb Construção de uma reta paralela a uma reta conhecida através de um determinado ponto 1) Construa um segmento de reta: use a ferramenta segmento definido por Dois Pontos. Celina A. A. P.Abar (orientadora) abarcaap@pucsp.br 13

14 2) Construa um ponto que não pertença ao segmento de reta: selecione a ferramenta Novo Ponto e clique sobre o segmento de reta. 3) Construa uma reta paralela: selecione a ferramenta Reta Paralela e clique no ponto e no segmento de reta. Celina A. A. P.Abar (orientadora) abarcaap@pucsp.br 14

15 4) Grave o arquivo da seguinte forma: paralela_seunome.ggb Construção da mediatriz de um segmento de reta 1) Construa um segmento de reta: use a ferramenta segmento definido por Dois Pontos. Celina A. A. P.Abar (orientadora) abarcaap@pucsp.br 15

16 2) Construa a mediatriz do segmento de reta: selecione a ferramenta Mediatriz e clique nos dois pontos extremos do segmento de reta. 3) Grave o arquivo da seguinte forma: mediatriz_seunome.ggb Construção da bissetriz de um ângulo 1) Construa dois segmentos de reta consecutivos: use a ferramenta segmento definido por Dois Pontos. Celina A. A. P.Abar (orientadora) abarcaap@pucsp.br 16

17 2) Construa a bissetriz: selecione a ferramenta Bissetriz e clique nos três pontos do ângulo formado pelos dois segmentos de reta. 4) Grave o arquivo da seguinte forma: bissetriz_seunome.ggb Celina A. A. P.Abar (orientadora) abarcaap@pucsp.br 17

18 Lição 3: Construindo Gráficos É possível criar e modificar coordenadas e equações algébricas usando o campo de entrada na parte inferior da janela do GeoGebra. Construção dos gráficos de: a) 3x 2 y 6 b) y 3x 2 4x c) x 3x 2y 3y 25 3 d) y 3 x 2 x e) y ) Clique no campo de entrada na parte inferior da janela do GeoGebra. 2) Use o teclado e os menus (ao lado do campo de entrada) para digitar as equações. Tecle enter ao final de cada equação digitada. Celina A. A. P.Abar (orientadora) abarcaap@pucsp.br 18

19 É possível criar e modificar as equações trigonométricas usando o campo de entrada na parte inferior da janela do GeoGebra. Você pode usar medida em radianos ou graus. O modo padrão é medida em radianos. 3) Grave o arquivo da seguinte forma: graficco1_seunome.ggb Construção de um gráfico trigonométrico (medidas em radianos) 1) Deixe os eixos aparecerem na janela gráfica. 2) Clique no campo de entrada na parte inferior da janela do GeoGebra. 3) Use o teclado e os menus (ao lado do campo de entrada) para digitar as equações. Tecle enter ao final de cada equação digitada. Para obter o gráfico de y = sen x, digite: Celina A. A. P.Abar (orientadora) abarcaap@pucsp.br 19

20 4) Grave o arquivo da seguinte forma: gráfico2_seunome.ggb Construção de um gráfico trigonométrico (medidas em graus) 1) Deixe os eixos aparecerem na janela gráfica. 2) Posicione o cursor sobre o eixo x. Aperte o botão direito do mouse e selecione a opção Propriedades. Celina A. A. P.Abar (orientadora) abarcaap@pucsp.br 20

21 3) A seguinte janela de visualização será exibida: Na opção Unidade selecione Graus ( ): Ajuste o mínimo e o máximo valores de x: Altere a distância entre os valores do eixo x: Celina A. A. P.Abar (orientadora) abarcaap@pucsp.br 21

22 4) Feche a janela de visualização e clique no campo de entrada na parte inferior da janela do GeoGebra. 5) Use o teclado e os menus (ao lado do campo de entrada) para digitar a equação y=sen x, com x em graus: 6) Tecle enter. 7) É possível modificar a aparência do gráfico: Clique com o botão direito do mouse sobre o gráfico e selecione Propriedades. Celina A. A. P.Abar (orientadora) abarcaap@pucsp.br 22

23 Uma nova janela será exibida: Clique na guia Cor e escolha qualquer cor. Celina A. A. P.Abar (orientadora) abarcaap@pucsp.br 23

24 Clique na guia Estilo e selecione a espessura da linha e o estilo. Celina A. A. P.Abar (orientadora) abarcaap@pucsp.br 24

25 8) Feche a janela. 9) Grave o arquivo da seguinte forma: gráfico3_seunome.ggb 10) Inicie um novo arquivo e faça os procedimentos anteriores para construir os gráficos trigonométricos, com x em graus, de: a) f ( x) 2cos x 1 b) g ( x) tg( x 30 ) Atenção no momento de digitar as funções no campo de entrada: Celina A. A. P.Abar (orientadora) abarcaap@pucsp.br 25

26 10) Para adicionar uma malha no fundo como na imagem anterior, clique com o botão direito do mouse na tela e selecione Malha. 11) Grave o arquivo da seguinte forma: gráfico4_seunome.ggb Celina A. A. P.Abar (orientadora) abarcaap@pucsp.br 26

27 Lição 4: Construção de quadriláteros Usando Cursores para Transformar os Gráficos Quadrado 1) Abaixo estão os passos necessários para a construção de quadrado: I Construir um segmento AB. II Construir a reta perpendicular ao segmento AB pelo ponto A. III Construir o círculo com centro em A passando pelo ponto B. IV Construir o ponto de intersecção da reta perpendicular e o círculo. V Nomear os pontos obtidos, I (inferior) e D (superior). VI Construir a paralela ao segmento AB pelo ponto S. VII Construir o círculo com centro em S passando pelo ponto A. VIII Nomear os dois pontos obtidos, E (esquerda) e C (direita). IX Construir os segmentos AD, BC e CD. X Destacar o quadrado com uma linha mais espessa. XI Esconder todas as linhas de construção. Construa um quadrado utilizando os passos acima. 2) Movimente o quadrado e reflita: Quais pontos podem ser movimentados? Por quê? A figura construída é realmente um quadrado? Qual justificativa geométrica de construção garante isso? 3) Grave o arquivo da seguinte forma: quadrado_seunome.ggb Celina A. A. P.Abar (orientadora) abarcaap@pucsp.br 27

28 ATIVIDADES: 1) Construa um paralelogramo, sendo que, ao movimentar a figura construída os lados opostos permaneçam paralelos, mas os ângulos internos do quadrilátero não sejam necessariamente ângulos retos. Insira um texto na janela gráfica com os passos utilizados para a construção. Grave o arquivo da seguinte forma: paralelogramo_seunome.ggb 2) Construa um retângulo, sendo que, ao movimentar a figura construída os ângulos internos do quadrilátero sejam necessariamente ângulos retos. Insira um texto na janela gráfica com os passos utilizados para a construção. Grave o arquivo da seguinte forma: retangulo_seunome.ggb Lição 5: Transformações Geométricas É possível fazer todas as transformações geométricas básicas no GeoGebra. É possível encontrar todas as funções de transformação ao clicar no terceiro ícone da esquerda nas ferramentas de construção. Construção de uma reflexão no eixo x Celina A. A. P.Abar (orientadora) abarcaap@pucsp.br 28

29 Exemplo: Determinar as coordenadas da imagem de A (3, 2) se A é refletido no eixo x. 1) Selecione Exibir Malha, a fim de mostrar a malha. 2) Digite: (3,2) no campo de entrada e tecle enter. 3) Selecione Reflexão com Relação a uma Reta. 4) Clique no ponto (3, 2) e no eixo x. O GeoGebra informará as instruções necessárias ao lado direito da caixa de ferramentas. Celina A. A. P.Abar (orientadora) abarcaap@pucsp.br 29

30 5) Grave o arquivo da seguinte forma: reflexao1_seunome.ggb Rotação de um ponto Exemplo: Determinar as coordenadas da imagem de A (3, 2) se A for rotacionado em relação à origem no sentido anti-horário em 90. 1) Selecione Exibir Malha, a fim de mostrar a malha. 2) Digite: (3,2) no campo de entrada e tecle enter. 3) Digite: (0,0) no campo de entrada e tecle enter. Celina A. A. P.Abar (orientadora) abarcaap@pucsp.br 30

31 4) Selecione Reflexão com Relação a um Ponto. Siga as instruções da mensagem que aparecerão ao lado direito da caixa de ferramentas. A seguinte janela será exibida: 5) Digite 90 e selecione o sinal de grau ( ). Selecione anti-horário e tecle enter. Celina A. A. P.Abar (orientadora) abarcaap@pucsp.br 31

32 6) Grave o arquivo da seguinte forma: rotacao_seunome.ggb ATIVIDADE: 1) Construa um polígono qualquer no 1º quadrante. Faça um polígono simétrico em relação ao eixo y. Faça uma rotação do polígono em relação à origem, com um giro de 270 no sentido horário. Movimento os vértices do polígono inicial e verifique o que ocorre. Modifique o quadrante do polígono inicial e verifique o que ocorre. Altere as propriedades dos polígonos (cores e espessuras distintas). Grave o arquivo da seguinte forma: simetria_seunome.ggb Celina A. A. P.Abar (orientadora) abarcaap@pucsp.br 32

33 Lição 6: Estudo da reta Ferramenta seletor e a função afim 1) Exiba os eixos e a malha. 2) Selecione a opção Seletor nas ferramentas de construção e clique na janela geométrica. Nomeie como a e defina o intervalo de -15 a ) Faça um novo seletor, nomeando-o de b e defina o intervalo de -15 a ) Digite o seguinte no campo de entrada: y=a*x+b 5) Movimente os seletores a e b, explorando os diferentes tipos de gráficos. ATIVIDADE: Responda as questões abaixo no próprio arquivo do GeoGebra. Para isso utilize a ferramenta INSERIR TEXTO. 1) Quais são os pontos de intersecção da reta com os eixos x e y? 2) Movimente apenas o seletor a e explique seu papel na função y = a*x + b. 3) Movimente apenas o seletor b explique seu papel na função y = a*x + b. Grave o arquivo da seguinte forma: afim_seunome.ggb Celina A. A. P.Abar (orientadora) abarcaap@pucsp.br 33

34 Resolução gráfica de inequações 1) Exiba os eixos e a malha. 2) Digite o seguinte no campo de entrada: f(x) = 2x + 1 3) Modifique a cor e a espessura do gráfico de f(x) = 2x + 1 4) Digite o seguinte no campo de entrada: g(x) = -3x ) Modifique a cor e a espessura do gráfico de g(x) = -3x + 11 ATIVIDADE: Responda as questões abaixo no próprio arquivo do GeoGebra. Para isso utilize a ferramenta INSERIR TEXTO. 1) Qual é o ponto de intersecção das duas retas? 2) Apenas observando o gráfico, determine os valores de x que satisfazem: a) 2x + 1 = 0 b) -3x + 11 = 0 c) 2x + 1 = -3x + 11 d) 2x + 1 > -3x + 11 e) 2x + 1 < -3x + 11 Grave o arquivo da seguinte forma: inequacao_seunome.ggb Celina A. A. P.Abar (orientadora) abarcaap@pucsp.br 34

35 Elaborando atividades Elabore duas atividades que utilizem o GeoGebra. No arquivo do Word faça o seguinte: Defina a série/ano de aplicação de cada atividade; Defina o conteúdo matemático de cada atividade; Defina os objetivos de cada atividade. Grave os arquivos da seguinte forma: atividade1_seunome.doc atividade2_seunome.doc Desenvolva as atividades no GeoGebra. Grave os arquivos da seguinte forma: atividade1_seunome.ggb atividade2_seunome.ggb Celina A. A. P.Abar (orientadora) abarcaap@pucsp.br 35