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2 TDM I Como toda obra semelhante, esta também contém imperfeições e erros não detectados. Quem se dispuser a apontá-los, ou queira enviar críticas e sugestões, o endereço eletrônico é: 2

3 TDM I ÍNDICE 1. SISTEMAS ANALÓGICOS E DIGITAIS 4 2. SISTEMAS NUMÉRICOS Sistema Binário Sistema Octal Sistema Hexadecimal Códigos Binários ÁLGEBRA DE BOOLE E PORTAS LÓGICAS CIRCUITOS COMBINACIONAIS Mapas de Veitch Karnaugh Problemas de Lógica Booleana FUNÇÕES COM PORTAS NAND E NOR MÉTODO DE PARIDADE ARITMÉTICA DIGITAL Adição Binária Representação de Números com Sinal Adição no Sistema Complemento de Subtração no Sistema Complemento de Multiplicação de Números Binários Divisão Binária Aritmética Hexadecimal CIRCUITOS ARITMÉTICOS FAMÍLIAS LÓGICAS DE CIRCUITOS INTEGRADOS A Família Lógica TTL (Transistor Transistor Logic) A Família Lógica MOS (Metal Oxide Semiconductor) ANEXO 1: LABORATÓRIOS ANEXO 2: PINAGEM DE CIRCUITOS INTEGRADOS ANEXO 3: RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS BIBLIOGRAFIA 114 3

4 TDM I 1. SISTEMAS ANALÓGICOS E DIGITAIS Costuma-se dividir a Eletrônica em duas áreas: Eletrônica Analógica e Eletrônica Digital. Uma maneira bem simples para se entender o conceito das palavras Analógico e Digital, é compararmos uma rampa com uma escada. Ao analisarmos a rampa, percebemos que uma pessoa poderá ocupar cada uma das infinitas posições existentes entre o início e o fim. No caso da escada, a pessoa poderá estar em apenas um dos seus degraus. Sendo assim, podemos dizer que a rampa pode representar um sistema analógico, enquanto que a escada pode representar um sistema digital. Enquanto no voltímetro analógico o ponteiro pode ocupar infinitas posições entre o maior e menor valor da escala, no voltímetro digital os valores mostrados no display são discretos, isto é, existe um número finito de valores entre o maior e o menor valor da escala. Outro exemplo pode ser encontrado no ajuste de volume de um televisor. Ajustando o volume do televisor através de um botão conectado a um potenciômetro, teremos infinitas posições para escolher dentro da escala permitida. Porém, no controle remoto observamos que a intensidade do som muda em pequenos saltos e, em alguns modelos, aparece no vídeo o valor selecionado em uma escala previamente definida. Podemos dizer então que o "botão de volume" do televisor é uma entrada analógica, e que o ajuste de volume no controle remoto representa uma entrada digital. Podemos concluir que a Eletrônica Analógica processa sinais com funções contínuas e a Eletrônica Digital processa sinais com funções discretas. Vantagens das Técnicas Digitais O grande crescimento da eletrônica está relacionado com o uso de técnicas digitais para implementar funções que eram realizadas usando-se os métodos analógicos. Os principais motivos da migração para a tecnologia digital são: - Os sistemas digitais são mais fáceis de ser projetados. Isso porque os circuitos utilizados são circuitos de chaveamento, nos quais não importam os valores exatos de tensão ou corrente, mas apenas a faixa Alta (High) ou Baixa (Low) na qual eles se encontram. - Fácil armazenamento de informação. Técnicas de armazenamento digitais podem armazenar bilhões de bits em um espaço físico relativamente pequeno. Já a capacidade de armazenamento de um sistema analógico é extremamente limitada. - Maior precisão e exatidão. Nos sistemas analógicos, a precisão é limitada porque os valores de tensão e corrente são diretamente dependentes dos valores dos componentes do circuito, além de serem muito afetados por ruídos. - Os circuitos digitais são menos afetados por ruídos. Flutuações espúrias na tensão (ruído) não são tão críticas em sistemas digitais, desde que o ruído não tenha amplitude suficiente que dificulte a distinção entre um nível Alto e um nível Baixo. - CIs (chips) digitais têm um grau maior de integração. 4

5 Limitações das Técnicas Digitais Na verdade, há apenas uma grande desvantagem ao se utilizar as técnicas digitais: O mundo é quase totalmente analógico. Como exemplos temos a temperatura, a pressão, a posição, a velocidade, o nível de um líquido e a vazão. Para obter as vantagens das técnicas digitais quando tratamos com entradas e saídas analógicas, três passos devem ser seguidos: 1- Converter as entradas analógicas do mundo real para o formato digital. 2- Realizar o processamento da informação digital. 3- Converter as saídas digitais de volta ao formato analógico. A figura abaixo mostra um diagrama de um sistema de controle de temperatura típico. Conforme o diagrama, a temperatura analógica é medida e o valor medido é em seguida convertido para digital. A informação digital é processada e convertida de volta para o formato analógico. Essa saída alimenta um controlador que comanda alguma ação para o ajuste da temperatura. Temperatura Analógica Dispositivo de medição (sensor) Analógico Conversor analógico/digital (ADC) Digital Processamento Digital Digital Conversor digital/analógico (DAC) Analógico Controlador Ajuste de Temperatura Para simplificar ainda mais o processamento de sinais digitais, utiliza-se a técnica de numeração binária, que usa apenas dois símbolos para a representação de números. Se enumerarmos esses valores usando a numeração binária, teremos um Conjunto Universo com apenas dois elementos distintos para representarmos os sinais desejados. Isso quer dizer que num dispositivo digital eletrônico teremos o processamento de elementos que se apresentam em apenas dois valores. A esses conjuntos dá-se o nome de BITs (BInary DigiT) e BYTES (conjunto de 8 bits). Ao se trabalhar com sistemas binários, utilizamos abreviações para certas potências de dois, como detalhadas abaixo. Número de bits Valor Abreviação 10 bits 2 10 = Kb (kilobit) 16 bits 2 16 = Kb 20 bits 2 20 = Mb (megabit) 30 bits 2 30 = Gb (gigabit) O sistema de numeração binário é o mais importante sistema de numeração em sistemas digitais. Porém, outros sistemas também são muito utilizados, sendo necessário uma maneira de se converter os valores de um sistema para outro. Esse assunto será discutido no próximo capítulo. 5

6 TDM I EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1 - Quais dos itens a seguir referem-se à forma de representação digital e quais se referem à analógica? a) Chave de dez posições. b) A corrente elétrica na tomada na parede. c) A temperatura de uma sala. d) Pedras dentro de um balde. e) Velocímetro de automóvel. f) Altitude de um avião. g) Corrente através de um alto-falante. h) Ajuste do temporizador de um forno de microondas. 2 - Qual a diferença entre as quantidades analógicas e digitais? 3 - Quais são as vantagens das técnicas digitais sobre as analógicas? 4 - Qual é a maior limitação para o uso das técnicas digitais? 6

7 2. SISTEMAS NUMÉRICOS Muitos sistemas de numeração são usados na tecnologia digital. Os mais comuns são o decimal, o binário, o octal e o hexadecimal. O sistema decimal é naturalmente o sistema mais familiar para todos, uma vez que ele é uma ferramenta que utilizamos todos os dias. Binário Octal Decimal Hexadecimal A B C D E F 2.1. Sistema Binário Infelizmente, o sistema decimal não se presta para ser implementado satisfatoriamente em sistemas digitais. Por exemplo, é difícil projetar um equipamento eletrônico que possa trabalhar com 10 níveis diferentes de tensão (um para cada algarismo decimal, do 0 ao 9). Por outro lado, é fácil implementar circuitos eletrônicos simples e precisos que operam somente com dois níveis de tensão. Por esta razão, quase todos os sistemas digitais usam o sistema de numeração binário (base 2), embora outros sistemas de numeração às vezes sejam usados em conjunção com o sistema binário. O sistema de numeração binário é um sistema posicional em que cada dígito binário (bit) tem um certo peso de acordo com sua posição. Onde: MSB Most Significant Bit LSB Least Significant Bit MSB LSB Conversão Binário Decimal 1 º Método: Todo número, independente da base numérica, pode ser expresso pela equação: Onde: D = a n.b n-1 + a n-1.b n a 1.B D = Número em decimal a n = Valor do n-ésimo termo a partir da vírgula B = Base 7

8 Exemplo: Transformar o número binário em decimal. D = = = 22 2 º Método: Existe uma maneira mais prática de transformar binário em decimal que é pelo método O bit menos significativo corresponde ao 1, o segundo dígito menos significativo corresponde ao 2 e assim sucessivamente. Deve-se somar apenas os números cujo termo é 1. Exemplo: Transformar o número binário em decimal = = 22 Conversão Decimal Binário 1 º Método: Este método consiste em sucessivas divisões por 2 até se obter o quociente 0. Os restos destas divisões colocados na ordem inversa correspondem ao número binário. Exemplo: Transformar o número decimal 43 em binário Resultado: º Método: Basta utilizar o método na forma inversa. Exemplo: Transformar o número decimal 43 em binário. 43 = Número Fracionário: Para se mudar a parte fracionária de um número decimal, basta multiplicar sucessivamente o número fracionário pela base que se deseja passar, tomando-se como resposta a parte inteira do produto das sucessivas multiplicações, consideradas do primeiro para o último produto. O término do processo dependerá da precisão do arredondamento ou capacidade da máquina. Exemplo: Transformar o número decimal 0,42 em binário. 0,42 x 2 = 0,84 0,84 x 2 = 1,68 0,68 x 2 = 1,36 0,36 x 2 = 0,72 0,72 x 2 = 1,44 Resultado: 0,

9 2.2. Sistema Octal O sistema de numeração octal é muito importante no trabalho com computadores digitais. A principal vantagem é a facilidade com que conversões podem ser feitas entre números binários e octais, e vice versa. Quando lidamos com uma grande quantidade de números binários de vários bits, é conveniente e mais eficiente escrevermos os números em octal em vez de binário. Conversão Octal Decimal Exemplo: Transformar o número octal 372,6 em decimal. D = = ,75= 250,75 Conversão Decimal Octal Exemplo: Transformar o número decimal 266 em octal Resultado: 412 Exemplo: Com 4 dígitos fracionário, transformar o número decimal 0,37 em octal. 0,37 x 8 = 2,96 0,96 x 8 = 7,68 0,68 x 8 = 5,44 0,44 x 8 = 3,52 Resultado: 0,2753 Conversão Octal Binário Para realizar a conversão, basta transformar cada número octal no seu correspondente binário. Este método também pode ser usado na conversão binário para octal. Octal Binário Exemplo: Transformar o número octal 472 em binário. 4 = = = = 010 Conversão Binário Octal Exemplo: Transformar o número binário em octal. 101 = = = = 1 9

10 2.3. Sistema Hexadecimal O sistema de numeração hexadecimal usa a base 16. Assim, ele tem 16 símbolos possíveis, utilizando os dígitos 0 a 9 mais as letras A, B, C, D, E e F. Da mesma forma que o sistema octal, é utilizado principalmente como um método compacto para representação de números binários. Conversão Hexadecimal Decimal Exemplo: Transformar o número hexadecimal 2AF em decimal. D = = = 687 Conversão Decimal Hexadecimal Exemplo: Transformar o número decimal 423 em hexadecimal Resultado: 1A7 Conversão Hexadecimal Binário Hexa A B C D E F Binário Exemplo: Transformar o número hexadecimal 9F2 em binário. Conversão Binário 9 = 1001 F = F2 = = 0010 Hexadecimal Exemplo: Transformar o número binário em hexadecimal = B 0011 = =B3D 1101 = D Exercício: Transforme os números abaixo para a base solicitada. a) (1001) 2 para a base octal b) ( ,101) 2 para a base decimal c) (174) 8 para a base binária d) (036) 8 para a base decimal e) (2D3,A) 16 para a base decimal f) (10B) 16 para a base binária g) (47) 10 para a base binária h) (178) 10 para a base octal i) ( ) 2 para a base hexadecimal j) (623,82) 10 para a base hexadecimal 10

11 Resposta: 11

12 2.4. Códigos Binários Se cada dígito de um número decimal é representado por seu equivalente binário, o resultado é um código chamado Decimal Codificado em Binário (Binary Coded Decimal). Como um dígito decimal pode assumir os valores de 0 a 9, quatro bits são necessários para codificar cada dígito. A principal vantagem do código BCD é a relativa facilidade de conversão para o decimal e vice-versa. É importante ressaltar que um número BCD não é o mesmo que um número binário puro. O código binário puro considera o número decimal completo e o representa em binário; o código BCD converte cada dígito decimal para binário individualmente. Outra codificação utilizada é o Código Gray, cuja principal característica reside no fato de que há apenas uma alteração de bit entre os números vizinhos. O Código Excesso de 3 tem como característica iniciar a contagem a partir do número 3 em binário. DECIMAL BCD GRAY Exces. de Exercício: Converta os números abaixo em BCD, Gray e Excesso de 3. a) (1935) 10 b) (7832) 10 c) ( ) 2 Respostas: 12

13 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1 - Qual é o maior número em decimal que pode ser representado usando 8 bits? 2 - Qual é o próximo número binário que se segue a na seqüência de contagem? 3 - Quantos bits são necessários para uma contagem até ? 4 - Qual é o peso do MSB de um número de 16 bits? 5 - Transforme os números abaixo para a base solicitada. a) ,101 2 para X 10 b) para X 2 c) 1C4 16 para X 10 d) para X 2 e) para X 8 f) 0,28 10 para X 16 g) 87,14 10 para X 8 h) para X 16 i) 3DA 16 para X 2 j) 22 8 para X Converta os números abaixo em BCD, Gray e Excesso de 3. a) b) c) FF 16 d)

14 3. ÁLGEBRA DE BOOLE E PORTAS LÓGICAS Em 1854, George Boole ( ), filósofo e matemático inglês, apresentou um trabalho intitulado An Investigation of the Laws of Thought que serviu como base para a teoria matemática das proposições lógicas. Em 1938, Claude Elwood Shannon, engenheiro americano, no seu trabalho Symbolic Analysis of Relay and Switching, aplicou a teoria de Boole na simplificação lógica de funções usadas em telefonia. Ele percebeu que as leis que governam as relações entre as proposições lógicas eram idênticas às leis válidas para dispositivos de chaveamento de dois estados. Tais dispositivos podem ter um dos seguintes estados diferentes: ligado ou desligado, voltagem alta ou baixa, verdadeiro ou falso. A Álgebra de Boole é estruturada sobre um conjunto de três tipos de operações: OU, E e COMPLEMENTO, e pelos caracteres 0 e 1. As operações E e OU serão simbolizadas, respectivamente, por um ponto (.) e por um sinal de mais (+), enquanto que o COMPLEMENTO será representado através de uma barra colocada em cima do elemento em questão. Associativa: (X + Y) + Z = X + (Y + Z) (X. Y). Z = X. (Y. Z) POSTULADOS E TEOREMAS Comutativa: Elemento Neutro: X + Y = Y + X X. Y = Y. X 0 + X = X 1. X = X Distributiva: X. (Y + Z) = (X. Y) + (X. Z) X + (Y. Z) = (X + Y). (X + Z) Complementar: X. X = 0 X + X = 1 De Morgan: (X + Y) = (X. Y) (X. Y) = (X + Y) A partir destes postulados e teoremas, podemos simplificar expressões booleanas como nos exemplos a seguir: Exemplo: Simplificar as expressões abaixo utilizando a Álgebra de Boole. a) S = A.B.C + A.C + A.B S = A.(B.C + C + B) S = A.(B.C + B.C) S = A.1 S = A Distributiva De Morgan Complementar b) F = A.B + A.B + A.B F = A.B + A.B + A.B F = B.(A + A) + A.B F = B + A.B F = (B + A).(B + B) F = B + A F = B.A Comutativa Distributiva Complementar Distributiva Complementar De Morgan 14

15 Exercício: Simplifique as expressões abaixo utilizando a Álgebra de Boole a) H = A.B.C + B.C b) Y = (A + B + C) + (B + C) c) S = (A + B + C). (A + B) d) T = A.B + A.B.C + A.B.C e) F = X.Y.Z + X.Z + X.Y.Z + X.Z f) G = A.(B + B.C) + A.B + B.C.(A + C) Respostas: 15

16 Os postulados e teoremas da Álgebra de Boole permitem representar expressões da solução de um problema ou do comando de um sistema. Tais expressões podem ser executadas por um conjunto de circuitos em eletrônica digital denominados Portas Lógicas. As portas lógicas são, na verdade, a tradução dos postulados Booleanos implementados através de circuitos eletrônicos. Função OU (OR) Tabela Verdade A B F Porta OU A B F = A + B F Função E (AND) Tabela Verdade A B F Porta E A B F = A. B F Função NOU (NOR) Tabela Verdade A B F Porta NOU A B F = A + B F Função NE (NAND) Tabela Verdade A B F Porta NE A B F = A. B F 16

17 Função Complemento Tabela Verdade A A Porta Inversora A F = A F Função OU-Exclusivo Tabela Verdade A B F Porta OU-Exclusivo A B F = A.B + A.B = A B F Função E-Coincidência Tabela Verdade A B F Porta E-Coincidência A B F = A.B + A.B = A B F O uso conveniente dos diversos tipos de portas lógicas permite a implementação de um circuito com equação lógica na saída igual a da função booleana. As variáveis da função são colocadas nas entradas do circuito. A configuração final do circuito vai depender da disponibilidade de componentes e da experiência do usuário. Exemplo: Implemente o circuito da função abaixo utilizando qualquer porta lógica de no máximo 2 entradas. Resp: A B F = A.B + A.B F 17

18 Exercício: Implemente o circuito da função abaixo utilizando qualquer porta lógica de no máximo 2 entradas. Resposta: S = A.B.C + B.C + A.C Exercício: Determine a função que representa o circuito lógico abaixo: A B F C Resposta: Exercício: Determine a função que representa o circuito lógico abaixo: A B C D F Resposta: 18

19 Formas Canônicas A lógica estruturada é baseada na capacidade de escrever equações booleanas de maneira que ela utilize vários tipos de formas regulares e repetidas. Dois tipos de formas estruturadas são especialmente úteis em um projeto lógico. Elas são conhecidas como Soma de produtos e Produto de somas. Uma expressão em soma de produtos consiste em efetuar operações OR sobre termos contendo operações AND. A expressão em produto de somas consiste em efetuar operações AND sobre termos contendo operações OR. Como pode ser observado, as equações podem ser determinadas pela aplicação da regra de De Morgan. Y (ABC) = (A.B.C) + (A.B.C) + (A.B.C) Soma de Produtos (SDP) Y (ABC) = (A + B + C). (A + B + C). (A + B + C) Produto de Somas (PDS) Uma equação pode estar no formato soma de produtos, mas não estruturada em sua forma canônica, ou seja, com todos os termos apresentando todas as variáveis disponíveis. A equação pode ser colocada em sua forma canônica da seguinte forma: Y (ABC) = (A.B) + (A.B.C) + B Y (ABC) = (A.B).1 + (A.B.C) + 1.B.1 Y (ABC) = (A.B). (C + C) + (A.B.C) + (A + A). B. (C + C) Y (ABC) = (A.B.C) + (A.B.C) + (A.B.C) + (A.B.C) + (A.B.C) + (A.B.C) + (A.B.C) Y (ABC) = (A.B.C) + (A.B.C) + (A.B.C) + (A.B.C) Quando estamos trabalhando com expressões descritas em termos de soma de produtos, é conveniente introduzirmos o conceito de Mintermo. O mintermo é formado com a operação AND aplicada a todas as variáveis, em suas formas normais ou complementares. A notação com mintermos pode ser utilizada para simplificar a aparência de expressões em soma de produtos. Considere a função: F (ABC) = A.B.C + A.B.C + A.B.C + A.B.C Esta expressão pode ser expressa em termos de mintermos utilizando a seguinte forma, onde o símbolo de somatório (Σ) indica a operação OR aplicada aos mintermos listados dentro do parêntese. F (ABC) = Σ (0, 3, 4, 7) Com funções expressas no formato produto de somas, utiliza-se o conceito de Maxtermo, que consiste na operação OR aplicada a todas as variáveis, em suas formas normais ou complementares. Na função expressa em maxtermos, o símbolo de produtório (Π) indica a operação AND aplicada nos maxtermos listados. F (ABC) = (A + B + C). (A + B + C). (A + B + C) F (ABC) = Π (1, 3, 7) 19

20 Exercício: Escreva a função abaixo em sua forma SDP canônica, e em seguida expressa em mintermos. Resposta: F (ABC) = A.B.C + A.C + A.B Exercício: Escreva a função em sua forma SDP canônica e expressa em mintermos, definida pela seguinte Tabela Verdade. Resposta: X Y Z F EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1 - Simplifique as expressões abaixo utilizando os postulados da Álgebra de Boole. a) S = (A + C).(B + D) b) F = A.(X + Z) + C.(Y + X.Z) + C.Y + A.Z c) F = X.Y.W + X.(Z.W + Z) + X.Y.W + X.Z d) X = (A + B).(A + B) e) G = (M + N).(M + P).(N + P) f) F = A.B.C + A.B.C + B.C.D 20

21 2 - Implemente os circuitos das funções abaixo utilizando qualquer porta lógica de no máximo 2 entradas. a) F = X.(Y + Z) + W.Z + Y b) F = A B + (C + D).A c) S = A + C.D.(A B) d) G = X.Z.Y.W + (Z W).X 3 - Determine as funções que representam os circuitos abaixo. a) A B C D F b) X Y Z W S 4 - Determine as condições de entrada necessárias para que a saída da figura abaixo seja 1. A B C S 5 - Um avião emprega um sistema de monitoração dos valores de rpm, pressão e temperatura dos seus motores usando sensores que operam da seguinte forma: Sensor RPM = 0 apenas quando a velocidade for < rpm. Sensor P = 0 apenas quando a pressão for < 1,30 N/m 2. Sensor T = 0 apenas quando a temperatura for < 95 o C. 21

22 A figura abaixo mostra o circuito que controla um alarme dentro da cabine para certas condições da máquina. Admita que um nível ALTO na saída W ative o alarme de advertência. Determine quais condições do motor indicam um sinal de advertência ao piloto. Sensor de Temperatura T W Alarme Sensor de Pressão Sensor de RPM P R 6 - Determine qual a porta lógica que, ao inserirmos as formas de onda A e B em suas entradas, fornece em sua saída a forma de onda S abaixo. A B S 7 - Projete um circuito lógico com duas entradas A e B e duas saídas X e Y, devendo operar da seguinte forma: - Quando B = 1, a saída X segue a entrada A e a saída Y é 0. - Quando B = 0, a saída X é 0 e a saída Y segue a entrada A. 8 - Escreva a função abaixo em sua forma SDP canônica, e em seguida expressa em mintermos. F (XYZ) = X.Y + Y.Z + X.Y.Z + X.Z 9 - Escreva a função em sua forma SDP canônica e em mintermos, definida pela seguinte Tabela Verdade. A B C F

23 4. CIRCUITOS COMBINACIONAIS Os circuitos combinacionais podem ser utilizados na implementação de solução de projetos onde a função (ou funções) de saída depende única e exclusivamente da combinação das variáveis de entrada. Na resolução de um projeto, identifica-se quem são as variáveis de entrada e a(s) função(ões) de saída. Na análise, monta-se a Tabela Verdade, onde o número de combinações é dado por: Onde n é a quantidade de variáveis de entrada. Após o levantamento da Tabela Verdade, deve-se otimizar a função através da simplificação, que pode ser feita através dos postulados da Álgebra de Boole e/ou através dos mapas de Veitch Karnaugh. A partir da função simplificada implementa-se o circuito lógico Mapas de Veitch Karnaugh Este método consiste em se fazer a minimização de uma função lógica. O mapa de Karnaugh contém os mesmo elementos que uma Tabela Verdade comum, porém com uma distribuição diferente. A seguir, apresentamos as regras para minimização de funções usando mapas de Karnaugh: - Escrever a função no Mapa de Karnaugh; - Reunir o maior número possível de células com 1, de forma simétrica, sendo que o número total de células deve ser 2 n (1,2,4,8,16,32...). As células devem ser adjacentes entre si; - Enquanto existirem células com 1 não pertencentes a nenhum dos grupos formados, devemos repetir o procedimento anterior para a formação de novos grupos; - Obter, através da Soma de Produtos, a função resultante da simplificação; cada grupamento de 1 irá representar um produto dentro da Soma. A identificação do produto será dada pelas variáveis que permaneceram constantes para o grupamento. OBS: Duas células dentro do mapa de Karnaugh serão adjacentes, se de uma célula para outra somente uma variável de identificação mudar de estado. Exemplo: Minimize a função abaixo utilizando Karnaugh. A Tabela Verdade que representa a função é: Mapa de Karnaugh: N º combinaçõe s = 2 F = A.B.C + A.B + A.B.C + A.B.C A B C F A B C n 23

24 Utilizando as regras de minimização temos: A B C Temos dois grupos de células, cuja função minimizada será: F = A.B + A.B = A B A função minimizada ficou muito menor que a original, economizando portas lógicas caso fosse implementado o circuito digital. Podemos aplicar essa regra para 2, 3, 4, 5,... variáveis de entrada. Abaixo temos mapas de Karnaugh de diversos tamanhos, cujas regras de minimização podem ser seguidas como no exemplo anterior. A B Mapa de 2 variáveis A B C Mapa de 3 variáveis A B C D Mapa de 4 variáveis A B C D E Mapa de 5 variáveis Muitas vezes uma determinada situação pode promover irrelevâncias (don t care), ou seja, tanto faz 1 como 0. Já que a irrelevância pode assumir qualquer valor, podemos adaptá-la para 1 ou para 0 conforme a conveniência do mapa de Karnaugh para resultar numa minimização máxima. As irrelevâncias serão escritas como X. Analisando o mapa de Karnaugh abaixo, verificamos que algumas irrelevâncias foram utilizadas para a minimização. A B C D X X X X Observe que duas das irrelevâncias (X) foram utilizadas com valor 0 e as outras duas com valor igual a 1. Minimizando segundo os enlaces de Karnaugh, temos: 24

25 F = B.D + A.C + A.C.D Verifique que se não pegarmos as irrelevâncias para compor os grupos, a função resultante será muito maior que a encontrada. Exercício: Minimize através de Karnaugh e implemente o circuito lógico utilizando apenas portas lógicas de no máximo duas entradas. a) F (ABC) = Σ (1, 4) + d (5, 6, 7) Resposta: b) A B C X Resposta: X c) F = A.B.D + B.C.D + A.D + A.B.C.D + A.B.C + A.B.D + A.C.D Resposta: 25

26 d) A B C D X Resposta: X X e) F = B.C.D.E + A.B.D.E + A.B.C.D.E + B.D.E + A.B.C.E + A.B.C.D.E + A.B.D.E + B.C.D.E Resposta: 4.2. Problemas de Lógica Booleana Dado uma certa situação lógica, pode-se implementar um circuito que satisfaça tal problema. Para isso, basta seguir a seguinte seqüência de operação: - Traduza o problema em uma função booleana; 26

27 - Construa a Tabela Verdade a partir da função booleana; - Construa o Mapa de Karnaugh; - Obtenha as equações minimizadas; - Implemente o circuito lógico que satisfaça o problema Exercício: Um comitê consiste de um presidente, um diretor financeiro, um secretário e um tesoureiro. Uma moção só é aprovada se recebe a maioria dos votos ou o voto do presidente mais o de um outro membro. Cada membro aperta um botão para indicar a aprovação da moção. Projete um circuito de chaveamento controlado por botões, sendo que quando a moção for aprovada toque uma campainha. Resposta: 27

28 Exercício: Determine a Tabela Verdade e as equações minimizadas por Karnaugh de um circuito combinacional capaz de implementar os leds de um display de 7 segmentos, para que codifique apenas os números listados abaixo. a f e g d b c Resposta: 28

29 Exercício: Deseja-se construir um circuito que controle duas resistências R1 e R2 de um forno elétrico. O forno elétrico tem dois sensores de temperatura Sa e Sb, e um sensor P na porta do forno. Para o controle das resistências deve-se levar em consideração os seguintes estados: - R1 e R2 são ligadas quando a temperatura estiver abaixo de 100 o C. - Somente R1 é ligada quando a temperatura estiver entre 100 o C e 200 o C. - Somente R2 é ligada quando a temperatura for superior a 200 o C. - Se a porta P do forno for aberta, deve-se desligar ambas as resistências, independente da temperatura. - Nas situações impossíveis de ocorrer na prática, utilizar Don't Care, independente de qualquer outra situação descrita acima. Considere: R1 e R2 - Resistências (=0 desligada e =1 ligada) Sa - Sensor de Temperatura (=0 Temp. inferior a 100 o C e =1 Temp. superior a 100 o C) Sb - Sensor de Temperatura (=0 Temp. inferior a 200 o C e =1 Temp. superior a 200 o C) P - Porta do Forno (=0 aberta e =1 fechada) Resposta: 29

30 Exercício: Implemente o circuito combinacional mínimo de um decodificador BCD para Gray, utilizando qualquer porta lógica de no máximo duas entradas. Resposta: 30

31 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1 - Determine as equações lógicas mínimas utilizando Karnaugh. Não é necessário montar o circuito. a) F = A.B.C + A.B.C + A.B.C +A.B + B.C b) F (ABCD) = Σ (3, 4, 5,6, 11, 12,13, 14) c) F = A.B.D + B.C.D + A.D + A.B.C.D + A.B.C + A.B.D + A.C.D d) e) A D B E C X X X 0 0 X 0 X X X X 1 X 0 0 A C B D X 1 X X 01 X 0 0 X 11 X f) F (ABCD) = Σ (1, 3, 5, 7,10, 12, 14) + d (0, 6, 8, 11, 15) g) F (ABC) = Σ (0, 3, 4, 5,7) + d (1, 2, 6) h) A B C X 0 X 0 01 X 0 0 X 2 - Dado o circuito abaixo, determine: a) A função correspondente. b) A função minimizada por Karnaugh. c) O circuito minimizado utilizando qualquer porta de no máximo 2 entradas. A B C D F 31

32 3 - Um circuito de alarme de automóvel possui quatro sensores eletrônicos utilizados para indicar o estado da porta do motorista, do motor, dos faróis e do uso de cinto de segurança. Projete o circuito combinacional mínimo que ative um alarme de acordo com as seguintes condições: - Os faróis estão acesos e o motor está desligado; ou - A porta do motorista está aberta e o motor está ligado; ou - A porta do motorista está fechada, o motor está ligado e o passageiro não estiver usando o cinto de segurança. Considere: - P - Porta Fechada: NL0. Porta Aberta: NL1. - M - Motor Desligado: NL0. Motor Ligado: NL1. - F - Faróis Apagados: NL0. Faróis Acesos: NL1. - C - Sem o Cinto de Segurança: NL0. Com o Cinto de Segurança: NL1. - A - Alarme Desativado: NL0. Alarme Ativado: NL Projete o circuito combinacional mínimo que determine se as entradas possuem uma quantidade par ou ímpar de bits "1". X Y Z CIRCUITO LÓGICO PAR ÍMPAR 5 - O circuito abaixo mostra quatro chaves que são parte de um circuito de controle de uma máquina copiadora. As chaves estão localizadas ao longo do caminho que o papel passa pela máquina. Cada uma das chaves está normalmente aberta, e quando o papel passa pela chave, ela é fechada. É impossível que as chaves S1 e S4 estejam fechadas ao mesmo tempo. Projete um circuito combinacional que produza uma saída em nível alto quando duas ou mais chaves estiverem fechadas ao mesmo tempo. Obtenha a tabela verdade, o mapa de Karnaugh, a função lógica e o circuito digital. + 5V S1 R S2 R CIRCUITO LÓGICO Saída F S3 R S4 R 32

33 6 - Determine o circuito de controle de uma máquina copiadora que deve acender uma lâmpada de alarme através de uma saída S sempre que uma das condições abaixo existir: - A bandeja de alimentação de papel estiver vazia e a temperatura interna passar de 60 o C; OU - A chave X e a chave Y na trajetória do papel estiverem ativadas, indicando congestionamento no caminho do papel. Considere: - A presença de papel na bandeja de alimentação é indicada pelo sensor A em NL1. - O sensor T envia NL1 se a temperatura interna passar de 60 o C. - As chaves X e Y enviam NL1 quando estiverem ativadas. - Para acender a lâmpada de alarme a saída S deve fornecer NL A figura abaixo apresenta um detector de magnitude, que recebe dois números binários (x 1 x 0 e y 1 y 0 ) e determina se eles são iguais e, se não forem, indica qual é o maior. Projete o circuito combinacional para esse detector. x 1 x 0 y 1 y 0 Detector de Magnitude R (x = y) S (x > y) T (x < y) 8 - Você foi encarregado da criação de um sistema de segurança para uma agência bancária. A agência possui um cofre dotado de uma sirene de segurança, que sempre é ativada quando o cofre é aberto fora do horário de expediente do banco. Durante o expediente, um interruptor situado na mesa do gerente deve estar desligado para que o cofre possa ser aberto sem a ativação da sirene. Este sistema possui os seguintes sinais de entrada: - Um sensor na porta do cofre ( C ) sinalizando: 0 porta fechada, 1 porta aberta. - Um relógio eletrônico ( R ) sinalizando : 0 fora do expediente, 1 horário de expediente. - Um interruptor na mesa do gerente ( I ) sinalizando: 0 sirene desativada, 1 ativa. E um único sinal de saída: - Uma sirene ( S ) representada: 0 silenciosa, 1 gerando sinal sonoro. Determine a Tabela Verdade, a equação mínima utilizando Karnaugh e o circuito correspondente. 9 - Em um laboratório, quatro produtos químicos (A, B, C e D) devem ser guardados em dois depósitos disponíveis. A natureza dos produtos é tal que é perigoso guardar os produtos B e C juntos, a não ser que o produto A esteja no mesmo depósito. Também é perigoso guardar os produtos C e D juntos. Elabore um circuito que dispare uma sirene sempre que existir uma combinação perigosa em qualquer depósito. Considere: - Os sensores A, B, C e D detectam a presença dos respectivos produtos químicos, enviando NL1. - A sirene é acionada com NL Um produto químico está armazenado em dois tanques diferentes. Cada tanque tem um sensor de nível e um sensor de temperatura, que funcionam da seguinte maneira: - Sensores de Nível (N1 e N2): Apresentam nível lógico "1" quando o nível do produto cai abaixo de um ponto específico. - Sensores de Temperatura (T1 e T2): Apresentam nível lógico "1" quando a temperatura está acima de 100 ºC. 33

34 Projete um circuito que indique através de um alarme (disparado em nível lógico "1") quando o nível dos dois tanques estiver abaixo do especificado OU quando a temperatura dos dois tanques estiver abaixo de 100 ºC A bomba d'água B1 leva água de um riacho até o tanque inferior, e a bomba B2 leva água do tanque inferior para o superior. A bomba B1 deve ligar com o objetivo de manter a água sempre próxima do nível máximo (S2), desligando ao atingir S2. A bomba B2 funciona da mesma forma, baseada nos níveis S3 e S4, mas não poderá funcionar caso o nível do tanque inferior esteja abaixo de S1. Se qualquer combinação que os sensores enviarem for impossível de ocorrer na prática, as duas bombas devem ser imediatamente desligadas, independente de qualquer outra situação. Tanque Superior S4 S3 B2 Tanque Inferior S2 B1 S1 Riacho Bomba Bomba Considere: S1, S2, S3 e S4 (Sensores de nível) - NL0 - Ausência de água NL1 - Presença de água B1 e B2 (Bombas d'água) - NL0 - Desligada NL1 - Ligada Determine a Tabela Verdade, as funções das bombas e os seus respectivos circuitos Um foguete para ser controlado necessita de correção de rumo periódica. Quando a direção do foguete se desviar mais de 10 o à direita com relação à direção desejada, deve-se ligar o motor retropropulsor M1. Quando o desvio é de mais de 10 o à esquerda, deve-se ligar o motor retropropulsor M2. Se a velocidade estiver abaixo da velocidade mínima (Vm), deve-se ligar ambos os motores, independente dos possíveis desvios. Todos esses procedimentos devem ser cancelados se o foguete estiver submetido a uma chuva de meteoros (motores devem ser desligados). OBS: Nas situações impossíveis de ocorrer na prática deve-se utilizar Don t Care, independente de qualquer situação descrita acima. Considere: D - sensor de desvio a direita (= 0 normal e = 1 se desvio maior que 10 o ) E - sensor de desvio a esquerda (= 0 normal e = 1 se desvio maior que 10 o ) Vm - velocidade mínima (= 0 abaixo e = 1 acima) C - detector de meteoros (= 0 sem meteoros e = 1 com meteoros) M1 e M2 - motores de correção (= 0 desligado e = 1 ligado) Determine a Tabela Verdade, as equações mínimas dos motores e os circuitos. 34

35 13 - Quatro tanques A, B, C e D de uma indústria química contêm diferentes líquidos. Sensores de nível de líquido (Na e Nb) detectam se o nível do tanque A ou B, respectivamente, sobe acima do nível determinado. Sensores de temperatura (Tc e Td) existentes nos tanques C e D, respectivamente, detectam se a temperatura de um desses tanques cai abaixo do determinado. Projete um circuito que dispare um alarme quando o nível do tanque A ou B estiver muito alto. O alarme também dispara caso a temperatura dos tanques C e D estiver abaixo do estabelecido. Considere: Na e Nb - sensores de nível (= 0 normal e = 1 acima do nível) Tc e Td - sensores de temperatura (= 0 abaixo do determinado e = 1 normal) A - alarme (= 0 desligado e = 1 acionado) 14 - Um equipamento eletrônico deve controlar a temperatura interna e o fornecimento de água de uma estufa. Para isso, há dois sensores de temperatura (T1 e T2), um sensor de nível do tanque e um sensor de profundidade de um riacho próximo. Se a temperatura for maior que 35 o C, o sistema de refrigeração deve ser acionado. Se a temperatura for menor que 30 o C, o sistema de aquecimento é que deve ser acionado. Se a temperatura estiver entre 30 o C e 35 o C, os sistemas de aquecimento e refrigeração devem permanecer desligados. Ao mesmo tempo, uma bomba d água deve ser acionada se o nível do tanque (NT) estiver abaixo do especificado. Porém, se o nível do riacho (NR) estiver muito baixo, a bomba d água não poderá ser acionada. Em situações impossíveis de ocorrer na prática, deve-se utilizar don t care em todas as saídas (independente de qualquer outra situação). T2 T1 A R NT B Riacho Sistemas de Aquecimento e Refrigeração Tanque Bomba NR Considere: T1 (Sensor de temp.) NL1 T > 30 o C NL0 T < 30 o C B (Bomba d água) NL1 Acionada NL0 Desacionada T2 (Sensor de temp.) NR e NT (Sensores de nível) NL1 T > 35 o C NL0 T < 35 o C NL1 Com água NL0 Sem água A NL1 Acionado (Sist. de Aquecimento) NL0 Desacionado R NL1 Acionado (Sist. de Refrigeração) NL0 Desacionado Determine a Tabela Verdade, as equações mínimas e os circuitos correspondentes. 35

36 5. FUNÇÕES COM PORTAS NAND E NOR Podemos implementar qualquer função booleana utilizando apenas portas NAND ou somente portas NOR. Isso é possível porque as portas NAND e NOR, em combinações apropriadas, podem ser usadas para implementar cada uma das operações booleanas OR, AND e INVERSOR, conforme ilustrado na figura abaixo. A X = A. A = A A X = A + A = A A A. B X = A. B A A + B X = A + B B B A A A A X = A. B = A + B X = A + B = A. B B B B B A principal vantagem está no fato de se utilizar apenas um tipo de CI (Circuito Integrado) para implementar uma função onde seria necessária a utilização de diversas portas lógicas diferentes. Com isso é possível otimizar o circuito, diminuindo as dimensões e custo final do projeto. Devemos substituir cada produto, soma ou complemento, pelo circuito equivalente com esse tipo de portas. Para facilitar o entendimento do método de transformação, vamos partir para exemplos. Verifique a função abaixo: F = A.B + A.(B + C) É importante notar que para implementar um circuito lógico que atenda a função acima, seria necessário 2 portas AND, 2 portas Inversoras, 1 porta NOR e 1 porta OR. Em termos de Circuitos Integrados seriam necessários um CI para as portas AND, um CI para as Inversoras, um CI para a porta NOR e outro CI para a porta OR, resultando num total de 4 Circuitos Integrados. Vamos agora implementar a função através somente de portas NAND com o objetivo de diminuir o número de circuitos integrados. Para isso, a expressão algébrica da função deve ser manipulada para a obtenção de uma função onde a operação OU não esteja presente. Isto é possível se usarmos convenientemente o Teorema de De Morgan, conforme os passos a seguir: 1 Análise da função Para implementarmos o circuito apenas com portas NAND, é necessário que a função esteja no formato Produto de Termos. Na função analisada, percebemos que é necessário mudar os dois sinais de soma (+) para produto (.). Isso é possível através da aplicação do Teorema de De Morgan. 2 Aplicação de De Morgan Podemos aplicar o Teorema diretamente no termo (B + C), resultando na seguinte função: 36

37 F = A.B + A.(B.C) F = A.B + A.(B.C) Para aplicarmos o Teorema de De Morgan, é necessário que uma barra de complemento seja inserida acima do sinal de soma, envolvendo os dois termos. Porém, se inserirmos apenas uma barra, estaremos invertendo o resultado da função. Portanto, sempre que for necessária uma nova barra de complemento, deve-se colocar duas barras para manter o resultado da função original. F = A.B + A.(B.C) F = A.B. A.(B.C) 3 - Implementando a função através de portas NAND de 2 entradas A A A.B F B A.B.C C C B.C B.C O CI 7400 comporta quatro portas NAND de duas entradas, portanto bastariam dois destes CI s para implementar esta função, em vez de quatro CI s conforme implementado anteriormente antes das transformações em portas NAND. Verifique nos exercícios a seguir que, durante o procedimento de transformação para portas NAND, pode surgir a necessidade de transformar novamente a função em soma de termos para depois retornar em produto de termos. Isto pode ser necessário para que se encontre uma função menor. Exercício: Dadas as funções abaixo, transforme-as em produto de termos e em seguida implemente o circuito lógico composto apenas de portas NAND de duas entradas. a) F = (A + B). (C + D) Resposta: 37

38 b) F = A + B Resposta: c) F = A + B + C Resposta: d) F = A.C + B.(A + D) Resposta: Exercício: Minimize a função abaixo utilizando Karnaugh e depois implemente o circuito lógico apenas com portas NAND de duas entradas. F = A.B.D + A.B.C.D + B.C.D + A.B.C + A.B.C 38

39 Resposta: Todo o procedimento para transformação em portas NAND é válido para transformação em portas NOR, ou seja, como o objetivo agora é eliminar todos os produtos para sobrar apenas as somas, vamos utilizar o Teorema de De Morgan para implementar um circuito lógico construído apenas com portas NOR. Exemplo: Transforme a função em soma de termos e implemente o circuito lógico apenas com portas NOR de duas entradas. 1 Análise da função F = A.B + A.B.C Podemos observar que é necessário mudar os três sinais de produto (.) para soma (+). 2 Aplicação de De Morgan F = A.B + A.(B + C) F = A.B + A.(B + C) F = (A + B) + (A + B + C) F = (A + B) + (A + B + C) 3 - Implementando a função através de portas NOR de 2 entradas A F B C 39

40 Exercícios: Dadas as funções abaixo, transforme-as em soma de termos e em seguida implemente o circuito lógico composto apenas de portas NOR de duas entradas. a) F = A.(C + B.D) Resposta: b) F = B.(A.B + C) Resposta: Exercício: Minimize a função abaixo por Karnaugh e depois implemente o circuito lógico utilizando apenas portas NOR de duas entradas. Resposta: F = A.B.C + A.C + A.B.C + A.B.C 40

41 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1 - Transforme as funções abaixo em produto de termos. Implemente os circuitos das funções obtidas utilizando apenas portas NAND de 2 entradas. a) F = (A + B.C). (A.B + C) b) F = A.C + B.(A + D) c) F = (X + Y + Z).W +X.Z d) F = (A.B + C) + A.C 2 - Transforme as funções abaixo em soma de termos. Implemente os circuitos das funções obtidas utilizando apenas portas NOR de 2 entradas. a) F = (A + B.C). (A.B + C) b) F = (X. Y). (Z + X. W) c) F = (X.Y). (Z + W) d) F = (X + Y.Z).X.Z 3 - Converta o circuito abaixo para um circuito que use apenas portas NAND. Em seguida, escreva a expressão de saída para o novo circuito. X Y Z G W 4 - Minimize a função abaixo utilizando Karnaugh e, em seguida, transforme a função minimizada em produto de termos. Implemente o circuito utilizando apenas portas NAND de 2 entradas. F = A.B.C + C.D + A.B.D + A.C.D + B.C.D 41

42 5 - Determine a função em soma de termos do circuito abaixo. A B S C 6 - Dado o circuito abaixo, determine: a) A função correspondente. b) A função transformada em soma de termos. c) O circuito utilizando apenas portas NOR de 2 entradas. A B C F D 42

43 6. MÉTODO DE PARIDADE Quando uma informação é transmitida de um dispositivo (transmissor) para outro (receptor), há a possibilidade de ocorrência de erros quando o receptor não recebe uma informação idêntica àquela que foi enviada pelo transmissor. A principal causa de um erro é o ruído elétrico, que consiste em flutuações espúrias na tensão ou corrente que estão presentes em praticamente todos os sistemas eletrônicos. Por isso, muitos sistemas digitais utilizam algum método de detecção de erros. Uma das técnicas mais simples para detecção de erros é o Método de Paridade. Um bit de paridade consiste em um bit extra anexado ao conjunto de bits a ser transferido. O bit de paridade pode ser 0 ou 1, dependendo do número de 1s contido no conjunto de bits. Dois métodos diferentes são usados. No método que usa paridade par, o valor do bit de paridade é determinado para que o número total de 1s no conjunto de bits (incluindo o bit de paridade) seja um número par. Por exemplo, suponha que o conjunto de bits seja Esse conjunto de bits tem três 1s; portanto, anexamos um bit de paridade par igual a 1 para tornar par o número total de 1s. O novo conjunto de bits, incluindo o bit de paridade, passa a ser: Se o grupo de bits já contiver um número par de 1s, o bit de paridade terá valor 0. O método de paridade ímpar é usado da mesma maneira, exceto que o bit de paridade é determinado para que o número total de 1s, incluindo o bit de paridade, seja ímpar. Paridade Par Paridade Ímpar bit de paridade O bit de paridade é gerado para detectar erros de apenas um bit que ocorram durante a transmissão. Por exemplo, suponha que o conjunto de bits seja transmitido com paridade ímpar. O código transmitido seria: O receptor verifica se a informação transmitida contém um número ímpar de 1s (incluindo o bit de paridade). Em caso afirmativo, o receptor considera que o código foi recebido corretamente. Agora, suponha que, devido a algum ruído, seja recebido o seguinte código: O receptor identificará que o código tem um número par de 1s. Isso significa que há algum erro no código, devendo ser descartado. É evidente que o método de paridade não funcionará se ocorrer erro em dois bits, porque dois bits errados não geram alteração na paridade do código. Na prática, o método de paridade é usado em situações em que a probabilidade de erro de um único bit é baixa e a probabilidade de erro em dois bits seja zero. O circuito mostrado na figura seguinte é usado para geração de paridade e verificação de paridade. Esse exemplo usa quatro bits de dados fazendo uso da paridade par. Esse circuito pode ser facilmente adaptado para usar paridade ímpar e um número qualquer de bits. Os dados a serem transmitidos são aplicados ao circuito gerador de paridade que produz um bit de paridade par em sua saída, totalizando cinco bits para transmissão. Esses cinco bits entram no circuito verificador de paridade do receptor, o qual gera uma saída de erro (E), que indica se ocorreu ou não um erro em um único bit. Verifique que o circuito emprega portas OU-Exclusivo, pois ela opera de tal forma que gera NL1 se o número de 1s nas entradas for ímpar e gera uma saída NL0 se o número de 1s nas entradas for par. 43

44 Gerador de paridade par Paridade Par D 3 D 2 D 1 D 0 D 3 D 2 D 1 D 0 Verificador de paridade par Paridade D 3 D 2 Erro (E) 1 = erro 0 = sem erro D 1 D 0 Exercício: Determine o bit de paridade par dos números binários abaixo. a) b) c) Resposta: Exercício: Os dados abaixo foram recebidos por um circuito verificador de paridade ímpar de 7 bits, sendo o MSB o bit de paridade. Determine quais conjuntos de dados tiveram um bit errado na transmissão. a) b) c) Resposta: 44

45 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1 - Porque o método de paridade não consegue detectar um erro duplo de bit em um dado transmitido? 2 - A seqüência de bits abaixo foi recebida pelo circuito verificador de paridade da página anterior. Determine quais conjuntos de dados que provavelmente tiveram um bit errado na transmissão Determine a saída do gerador de paridade da página anterior para cada um dos seguintes conjuntos de dados de entrada D 3 D 2 D 1 D 0 : a) 0111 b) 1001 c) 0000 d) Determine a saída do verificador de paridade da página anterior para cada um dos conjuntos de dados enviados pelo transmissor: a) b) c) d)

46 7. ARITMÉTICA DIGITAL Primeiramente veremos como as diversas operações aritméticas são feitas com números binários e também em hexadecimal, e depois estudaremos os circuitos lógicos que realizam estas operações em um sistema digital Adição Binária A adição de dois números binários é realizada da mesma forma que a adição de números decimais. A única diferença está que, no sistema binário, apenas quatro situações podem ocorrer na soma de dois dígitos (bits), qualquer que seja a posição: = = = 10 = 0 + carry 1 para a próxima posição = 11 = 1 + carry 1 para a próxima posição Exercícios: Some os seguintes números binários. a) b) c) 11, ,110 Resposta: 7.2. Representação de Números com Sinal Como a maioria dos computadores e das calculadoras digitais efetua operações tanto com números positivos quanto negativos, é necessário representar de alguma forma o sinal do número (+ ou -). Em geral, a convenção que tem sido adotada é que um 0 no bit de sinal representa um número positivo e um 1 no bit de sinal representa um número negativo. Na figura seguinte, o bit na posição mais à esquerda é o bit de sinal que representa positivo (+) ou negativo (-). Os outros seis bits são a magnitude do número, que é igual a 52 em decimal = = Magnitude = Magnitude = Essa representação é denominada Sistema Sinal-Magnitude para números binários com sinal. Embora esse sistema seja uma representação direta, os computadores e calculadoras 46