3 - Operações Lógicas. Portas Lógicas, Expressões Lógicas e Circuitos Lógicos

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1 3 - Operações Lógicas Portas Lógicas, Expressões Lógicas e Circuitos Lógicos 1

2 Introdução George Boole (1854) Álgebra de Boole Operações (disjunção), (conjunção) e (negação) Constantes: 0, 1 Axiomas: associatividade, comutatividade, etc. Claude Shanon (1938) Aplicação das teorias de Boole na área de circuitos telefônicos eletrônica digital 2

3 Introdução Lógica Álgebra de Boole Portas lógicas Circuitos lógicos Computadores digitais A Lógica é a base da eletrônica digital e da informática Ela tenta expressar o mecanismo de raciocínio humano através de expressões Contribuições de Sócrates, Platão e Aristóteles Álgebra de Boole: afirmações são representadas por expressões matemáticas e podem ter seus valores computados para V ou F 3

4 Introdução Portas lógicas Dispositivos que implementam fisicamente funções lógicas com uso de eletricidade aplicação prática da álgebra booleana Circuitos integrados contêm milhões de portas lógicas em poucos centímetros de silício Fonte da imagem: Wikipedia 4

5 Introdução Circuito Integrado Implementações: TTL: Transistor-Transistor Logic CMOS: Metal Oxide Semiconductor Microprocessador 5

6 Introdução Escala de Integração: SSI (<12) MSI (<100) LSI (~10.000) VLSI (>10.000) 6

7 Introdução Aplicações das portas lógicas: Multiplexadores, Registradores Unidades de Lógica e Aritmética Memórias Microprocessadores (+100 milhões delas!) 7

8 Portas Lógicas Constantes booleanas: {0, 1} Como ocorrem fisicamente nos circuitos Funções booleanas básicas: AND (conjunção) OR (disjunção) NOT (negação) 8

9 Portas Lógicas Tabela Verdade [Ludwig Wittgenstein] Tabela usada na lógica para computar o valor funcional de expressões lógicas para cada uma das possíveis combinações de seus valores de entrada Cada coluna representa uma variável da expressão, sendo a última coluna o valor final da expressão Cada linha representa uma combinação das entradas 9

10 Portas Lógicas Conjunção (AND,,.) BINÁRIA Equivalente à multiplicação na álgebra numérica Na lógica, a conjunção de duas expressões é verdadeira, somente quando ambas as expressões componentes são também verdadeiras A B A AND B Tabela Verdade A B A AND B Quando a lâmpada se acende? 10

11 Portas Lógicas Disjunção (OR,, +) BINÁRIA Equivalente à adição na álgebra numérica Na lógica, a disjunção de duas expressões é verdadeira, quando uma ou ambas as expressões também são verdadeiras A B A OR B Tabela Verdade A B A OR B Quando a lâmpada se apaga? 11

12 Portas Lógicas Negação (NOT,, ) UNÁRIA Não é equivalente à negação numérica, exceto que sua aplicação seguida retorna ao valor original Na lógica, a negação uma expressão é verdadeira, quando a expressão original é falsa. A NOT A Tabela Verdade A NOT A 12

13 Portas Lógicas Experimente-as! alslibrary/truth/ 13

14 Portas Lógicas Funções derivadas: NAND NOR XOR XNOR A B NAND A B XOR A B NOR A B XNOR

15 Portas Lógicas Compare as tabelas verdade de um AND e um NAND: A B AND A B NAND São complementares! O mesmo acontece para um OR e o NOR 15

16 Portas Lógicas Observe as tabelas verdades abaixo: A XOR B A B A XOR B São equivalentes! A.B + A. B A B A.B A. B A.B + A. B Construa uma expressão lógica equivalente a um XNOR (usando apenas as funções básicas) 16

17 Portas Lógicas Exemplos de expressões lógicas: A.B+C (A+B).(C.D) (A+B) A. B A (A. B) + C A.B + A.B + A. B (A xor B).(C xnor D) 17

18 Álgebra de Boole Exemplo: Calcule a tabela verdade da expressão (A+B) e monte o circuito de portas A B A+B (A+B) A B (A+B) (que é equivalente a um NOR!) 18

19 Álgebra de Boole Exemplo: calcule a tabela verdade de A.B+C A B C A.B (A.B) + C A B C A.B+C

20 Portas Lógicas Calculadora que gera tabela verdade alslibrary/truth/ Exercícios: Calcule a tabela verdade de um AND, OR e NOT Calcule a tabela verdade das expressões do slide 17 20

21 Portas Lógicas Simulador de portas lógicas (Logic Gate Sim) 21

22 Portas Lógicas Exemplo 1: um circuito que faça uma lâmpada se acender quando o motorista liga a ignição e o tanque está na reserva Porta AND 22

23 Portas Lógicas Exemplo 2: elabore um circuito lógico que diga se duas palavras de N bits são iguais (1) ou não (0)

24 Portas Lógicas Solução: as portas XOR e XNOR produzem o mesmo valor quando os bits são iguais (v. TV) Podemos usar um XNOR para saber se os bits equivalentes em cada palavra são iguais Se unirmos as saídas de cada XNOR numa porta AND, saberemos quando a palavra inteira é igual! 24

25 Portas Lógicas XNOR AND

26 Portas Lógicas Exercícios: Desenhe um circuito de portas lógicas que diga se um byte é par (0) ou ímpar (1) Desenhe um circuito de portas lógicas que diga se um número binário em um byte é maior que 100 Escreva um circuito que inverta os bits de um byte Escreva um circuito que receba 2 bytes. O primeiro é um número e o segundo uma máscara. O circuito deve deixar os bits do primeiro em 1 apenas nas posições em que o bit da máscara for 1 26

27 Circuitos Lógicos Combinacionais As saídas dependem apenas das entradas e não geram retro-alimentação do circuito Ex: multiplexadores, somadores, controle de fluxo, etc. Sequenciais As saídas dependem das entradas e da própria saída gerada num instante de tempo anterior Ex: Flip-flops, RAMs, registradores, etc. 27

28 Circuitos Combinacionais Nem sempre um circuito é escrito partindo-se da expressão lógica (Ex: A.B + A. C + D). O mais comum é conhecer-se as entradas existentes e as saídas desejadas Ou seja, tem-se, de princípio, a tabela verdade Como partir de uma tabela verdade e chegar na expressão lógica que define o circuito e no próprio circuito? 28

29 Circuitos Combinacionais Metodologia: Problema Tabela Verdade Expressão Circuito Lógico 1. Determine todas as variáveis de entrada e saída 2. Monte a tabela verdade conforme a situação do problema pede 3. Obtenha a expressão booleana 4. Implemente o circuito lógico 29

30 Circuitos Combinacionais Considere um alarme de um carro: Há um sensor em cada uma das 2 portas que, ligado, indica que a porta não foi violada Há um sensor ligado a um GPS que, se acionado, indica que o carro está sendo rebocado Um alarme dispara se uma das portas for violada e/ou se o carro for rebocado Determine a expressão e o circuito lógico deste sistema 30

31 Circuitos Combinacionais Variáveis P1, P2 = sensores das portas G = sensor do GPS A = alarme P1 P2 G A Como gerar a expressão lógica a partir da tabela verdade? Resp: encontrando a forma canônica 31

32 Circuitos Combinacionais Forma canônica de uma expressão booleana: "Toda expressão booleana possui uma expressão equivalente (mesma tabela verdade) formada ou por uma soma de produtos (mintermos) ou por um produto de somas (maxtermos). Todas as variáveis devem aparecer em cada mintermo ou maxtermo, complementada ou não." Soma de produtos: A.B + A. B Produto de somas: ( A + B).(A+B) mintermo maxtermo 32

33 Soma de Produtos Seja a tabela verdade de um XOR, calcular a forma canônica soma de produtos equivalente A B XOR

34 Soma de Produtos Cada linha em que a função lógica seja 1 é um mintermo. Se o valor da variável nesta linha da tabela for 0 ela será complementada (negada), se for 1 aparecerá normalmente no mintermo. Na linha 2, o A é 0, então será complementado, o B será normal A.B Na linha 3 ocorre o inverso: A. B As linhas 1 e 4 da tabela não geram mintermos porque a função é 0 A B XOR

35 Soma de Produtos Faça a soma de todos os mintermos encontrados para gerar a forma canônica soma de produtos da função: Ou seja: A.B + A. B A xor B A.B + A. B 35

36 Produto de Somas Seja a tabela verdade de um XOR, calcular a forma canônica produto de somas equivalente A B XOR

37 Produto de Somas Cada linha em que a função lógica seja 0 é um maxtermo. Se o valor da variável nesta linha da tabela for 1 ela será complementada (negada), se for 0 aparecerá normalmente no maxtermo. Na linha 1, o A e B são 0, então aparecem normalmente (A + B) Na linha 4 ambos são 1, então são complementados no maxtermo: ( A + B) As linhas 2 e 3 da tabela não geram maxtermos porque a função é 1 A B XOR

38 Produto de Somas Faça o produto de todos os maxtermos encontrados para gerar a forma canônica produto de somas da função: Ou seja: (A + B). ( A + B) A xor B (A + B). ( A + B) 38

39 Forma canônica As funções lógicas abaixo são equivalentes: A B XOR A B A.B + A. B A B (A + B). ( A + B) Certifique-se disto! Calcule as tabelas verdades. 39

40 Circuitos Combinacionais Variáveis P1, P2 = sensores das portas G = sensor do GPS A = alarme P1 P2 G A Voltando ao problema do alarme do carro... Qual a melhor forma canônica a escolher? 40

41 Circuitos Combinacionais Soma de produtos: P1 P2 G + P1 P2G + P1P2 G + P1P2G + P1 P2 G + P1 P2G + P1P2G Produto de somas: ( P1 + P2 + G) P1 P2 G A

42 Circuitos Combinacionais Circuito lógico de ( P1 + P2 + G) 42

43 Exercícios Encontra as formas canônicas para as funções booleanas dadas pelas tabelas verdade A B F() A B C F() A B C D F() X X X X X X 0 43

44 Exercício: A figura ao lado mostra de forma esquemática a conexão de 4 computadores de uma determinada empresa a uma única impressora. Esta conexão é feita através de um circuito de controle. Exercício Retirado do material da professora Joseana Araújo da UFCG ( 44

45 Exercício Qual a expressão que descreve o funcionamento do circuito de controle (determine também o circuito lógico)? Devem ser obedecidas às seguintes prioridades: Computador do setor administrativo (ADM) 1a prioridade Computador do setor pessoal (PES) 2a prioridade Computador do setor de engenharia (ENG) 3a prioridade Computador do setor de vendas (VEN) 4a prioridade Retirado do material da professora Joseana Araújo da UFCG ( 45

46 Propriedades da Álgebra Booleana Da adição lógica: (1) A + 0 = A (2) A + 1 = 1 (3) A + A = A (4) A + A' = 1 Da multiplicação lógica: (5) A. 0 = 0 (6) A. 1 = A (7) A. A = A (8) A. A' = 0 Usaremos: ' para NOT + para OR. para AND 46

47 Propriedades da Álgebra Booleana Da complementação: (9) A'' = A Comutatividade: (10) A + B = B + A (11) A + B = B + A Associatividade: (12) A + (B + C) = (A + B) + C = A + (C + B) (13) A. (B. C) = (A. B). C = A. (C. B) Distributiva: (14) A. (B + C) = (A. B) + (A. C) 47

48 Propriedades da Álgebra Booleana Leis de DeMorgan: (15) (A. B. C...)' = A' + B' + C' +... (16) (A + B + C...)' = A'. B'. C'.... Teoremas da absorção: (17) A + A.B = A (18) A + A'.B = A + B 48

49 Propriedades da Álgebra Booleana Simplifique a expressão lógica a seguir: S = A'.B' + A'.B + A.B' S = A'.(B' + B) + A.B' S = A'.(1) + A.B' S = A' + A.B' S = A' + B' S = (A.B)' pondo A' em evidência adição lógica absorção DeMorgan Retirado do material da professora Joseana Araújo da UFCG ( 49

50 Propriedades da Álgebra Booleana Observe a simplificação do circuito: Antes A B S = A'.B' + A'.B + A.B' S Depois Retirado do material da professora Joseana Araújo da UFCG ( 50

51 Completude Funcional Conjunto de operadores funcionalmente completo: Aquele que consegue ser usado para representar qualquer tabela verdade possível Conjuntos funcionalmente completos: {, }, {, } {NAND}, {NOR} 51

52 Completude Funcional Exemplos: A A NAND A A B (A NAND B) NAND (A NAND B) A B (A NAND A) NAND (B NAND B) 52

53 Completude Funcional Exemplos: A A NAND A A B (A NAND B) NAND (A NAND B) A B (A NAND A) NAND (B NAND B) (NAND = ) (NAND = ) 53

54 Circuitos Sequenciais A saída depende das entradas e da própria saída Efeito: máquina de estados (memória) Aplicações: Registradores (memória interna da CPU) Bancos de memórias voláteis (RAM) Buffers 54

55 Circuitos Sequenciais Flip-flop Circuito digital que possuem 2 entrada e duas saída e são capazes de manter seu estado interno indefinidamente (desde que alimentados) Tipos Latch RS com NOR Latch SR com NAND 55

56 Circuitos Sequenciais O flip-flop (latch) em detalhes Entrada RESET Saída normal Entrada SET Saída complementada RESET: usada para fazer o flip-flop guardar o valor 0 SET: usada para fazer o flip-flop guardar o valor 1 Q: exibe o estado atual do flip-flop C: é o mesmo que NOT Q (complemento de Q) 56

57 Circuitos Sequenciais Tabela Verdade de um Latch RS NOR: R S Q Q NEXT Observação Indefinido O flip-flop apresenta seu estado atual (estado de leitura, ele não se modifica!) O flip-flop guarda o bit 1 internamente O flip-flop guarda o bit 0 internamente Estes valores são proibidos para R e S 57

58 Circuitos Sequenciais O flip-flop está com um 0 e no estado leitura: = 1 = 0 O flip-flop está produzindo um 0, pois Q = 0. Este é, portanto, seu estado interno (em outras palavras, ele guarda um zero na sua "memória"). A entrada do flip-flop é (R=0, S=0), ou seja, modo de leitura. Com estes valores de entrada o flip-flop não modifica seu estado interno, apenas o informa na saída Q (neste caso, é zero) 58

59 Circuitos Sequenciais O flip-flop guarda o bit 1 internamente: = 1 = 0 O flip-flop passa a gerar 1, (Q = 1). Indicando que este é seu novo valor interno. A entrada do flip-flop é (R=0, S=1). Está-se comandando o flip-flop a guardar o valor 1 internamente (operação SET). O estado interno dele vai mudar para guardar (lembrar) que possui o valor 1 a partir de agora. 59

60 Circuitos Sequenciais O flip-flop volta ao estado de leitura: A entrada do flip-flop é (R=0, S=0), ou seja, modo de leitura novamente, mas, para surpresa ele não altera a sua saída Q, que continua informando que ele está guardando um 1. Compare este slide com o primeiro desta série! = 1 = 0 60

61 Circuitos Sequenciais Agora vamos guardar um 0 no flip-flop: = 1 = 0 O flip-flop passa a gerar 0, (Q = 0). Indicando que este é seu novo valor interno. A entrada do flip-flop é (R=1, S=0).Está-se comandando o flip-flop a guardar o valor 0 internamente (operação RESET). O estado interno dele vai mudar para guardar (lembrar) que possui o valor 0 a partir de agora. 61

62 Circuitos Sequenciais O flip-flop volta ao estado de leitura: = 1 = 0... ele apenas apresenta na saída seu estado interno atual, que é 0. Novamente, a entrada do flip-flop é modo de leitura (R=0, S=0), e... 62

63 Referências Bibliográficas Introdução aos Sistemas Digitais (Caps. 2 e 3) as-canonicas-padrao-e-nao-padrao INE Circuitos Lógicos Introdução à Computação Logic Gate 63

64 Referências Bibliográficas Boolean Algebra ogic) Circuitos combinacionais onais#circuitos_combinacionais Circuito sequencial 64