3 Cálculo Proposicional

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1 3 Cálculo Proposicional O Cálculo Proposicional é um dos tópicos fundamentais da Lógica e consiste essencialmente da formalização das relações entre sentenças (ou proposições), de nidas como sendo frases às quais podemos em princípio atribuir a qualidade de serem verdadeiras ou falsas. No Cálculo Proposicional, essas relações são de nidas pelos conectivos lógicos, cujos principais são: não, e, ou, se... então.... Relacionado ao Cálculo Proposicional, existe uma classi cação das sentenças em tipos de nidos pela sua estrutura, dada em função dos conectivos lógicos que nelas ocorrem. Importantes noções da Lógica depende dessa estrutura, dentre elas: axioma, de nição, teorema, fórmula. De nição 1 (Sentenças) Numa dada linguagem, sentença é uma frase que possui as seguintes características: i) Forma: a sentença é uma oração a rmativa, com sujeito, verbo e predicado; ii) Princípio do Terceiro Excluído: a sentença é verdadeira ou falsa, não admitindo alternativas; iii) Princípio da Não-contradição: sentença não pode ser simultaneamente verdadeira e falsa. Valor Lógico V (P ) de uma sentença P é verdade (V ) ou falsidade (F ), dependendo da sentença ser verdadeira ou falsa: V (P ) = V F ; se P é verdadeira ; se P é falsa : As sentenças verdadeiras são também chamadas válidas. As sentenças falsas são também chamadas não válidas. De nição 2 (Tipos de Sentenças) Sentenças Simples e Sentenças Compostas Sentença Simples ( Sentença Atômica) é uma sentença que não é constituída por mais de uma (sub)sentença. 7 7 Exemplos de sentenças simples: p Z a x 3 dx + 1 = y ; ln (a) = 1 x d ; 8a; x 2 Dom (f) ; dx Z x a f (u) du = f (x) 7

2 Sentença Composta ( Sentença Molecular, Fórmula) é uma sentença que é constituída por pelo menos duas (sub)sentenças distintas. 8 Nas sentenças simples não ocorrem conectivos lógicos; as compostas podem ser decompostas em sentenças simples e conextivos lógicos. Tautologia e Contradição Tautologia é uma sentença composta com valor lógico igual a verdade independentemente dos valores-verdade das sentenças componentes. 9 Contradição é uma sentença composta com valor-verdade igual a falso independentemente dos valores-verdade das sentenças componentes. 10 Observação 1 Para saber se uma sentença é uma tautologia basta veri car sua tabela-verdade ou provar que é impossível que a forma sentencial seja falsa. De nição 3 (Sentença Aberta) Numa linguagem, sentença aberta é uma frase do tipo oração a rmativa (com sujeito, verbo e predicado) que possui pelo menos uma variável. Exemplo e Contra-exemplo para uma sentença aberta: Exemplo pra uma sentença aberta é uma atribuição de valores para suas variáveis que a torna uma sentença verdadeira. Contra-exemplo para uma sentença aberta é uma atribuição de valores para suas variáveis que torna a sentença falsa. Observação 2 Apesar do nome, sentenças abertas não são sentenças propriamente ditas, porque não satisfazem ambos princípios do Terceiro Excluído e da Não-contradição em particular, não possuem valor lógico! 8 Exemplo de sentença composta: (((:A) _ B) ) C) 9 Exemplos de tautologias: (A _ (:A)) ; (A () : (:A)) ; ((A ^ B) ) A) ; (A ) (A _ B)) : 10 Exemplos de contradições: (A ^ (:A)) ; (A () (:A)) : 8

3 De nição 4 (Quanti cadores) Na linguagem matemática, usamos dois quanti cadores: Quanti cador universal: Para todo (8), usado para dizer que todos os elementos de um conjunto satisfazem dadas condições; Quanti cador existencial: Existe (9), usado para dizer que pelo menos um elemento de um conjunto satisfaz dadas condições. Observação 3 Os quanti cadores transformam sentenças abertas em sentenças propriamente ditas. Exemplos: i) x 2 R; x 2 = 2 é uma sentença aberta; Existe x 2 R, x 2 = 2 é uma sentença (verdadeira). ii) x 2 R; x 2 > 0 é uma sentença aberta; Para todo x 2 R, x 2 > 0 é uma sentença (falsa). 9

4 3.1 Conectivos Os conectivos lógicos são temos usados para relacionarmos sentenças. Os conectivos são de nidos pelas suas tabelas-verdade sendo isso o que signi ca formalizar seu uso. A tabela-verdade de um conectivo lógico é uma tabela que coleta o valor lógico da sentença composta em termos dos valores lógicos das sentenças componentes. De nição 5 (Conectivos Lógicos) De nimos os seguintes conectivos lógicos pelas correspondentes tabelas-verdade. Negação: : ( não ) Conjunção: ^ ( e ) Disjunção: _ ( ou ) Tabela-verdade da Negação A :A V F F V Tabela-verdade da Conjunção A B A ^ B F V F F F F Tabela-verdade da Disjunção A B A _ B V F V F V V F F F Condicional: ) ( se... então... ) Tabela-verdade da Condicional A B A ) B F V V F F V 10

5 Bicondicional: () (... se e somente se... ) Tabela-verdade da Bicondicional A B A () B F V F F F V Notação 1 Pelo bem da simplicidade, para eliminar parênteses na notação das sentenças compostas temos as seguintes convenções: i) A aplicação dos conectivos lógicos segue a seguinte ordem de prioridade: : ; ^ ; _ ; ) ; () : ii) Numa sentença um conectivo ocorre mais de uma vez, tem prioridade na aplicação o conectivo à esquerda. 11