Lógica para Computação

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1 Lógica para Computação Prof. Celso Antônio Alves Kaestner, Dr. Eng. celsokaestner (at) utfpr (dot) edu (dot) br

2 Linguagem informal x linguagem formal; Linguagem proposicional: envolve proposições e conectivos, formando fórmulas complexas; Proposição: enunciado ao qual se pode atribuir um valor verdade (verdadeiro ou falso); 2

3 Conectivos: conjunção (... E...), disjunção (... OU...), negação (NÃO...), implicação (SE ENTÃO ), bicondicional (...SE E SOMENTE SE...); A NÃO trata de relações sobre elementos de um conjunto, como todos, algum, nem utiliza variáveis; isto que será visto mais adiante, no estudo da Lógica Predicativa. 3

4 A linguagem proposicional utiliza: 1. Variáveis proposicionais (ou símbolos proposicionais, ou átomos): 2. Conectivos: P = {p 0, p 1, p 2, }; a) unário: negação: (NÃO); b) binários: conjunção: (E), disjunção: (OU), implicação: (SE ENTÃO); 3. Símbolos de pontuação: parênteses ( e ). 4

5 Fórmulas bem formadas (fbf) são definidas indutivamente como o menor conjunto L LP com as seguintes regras de formação: 1. Caso básico: todos a variáveis proposicionais são fbf, isto é: P L LP ; 2. Caso indutivo 1: Se A L LP então ( A) L LP ; 3. Caso indutivo 2: Se A, B L LP então (A B) L LP, (A B) L LP, e (A B) L LP. 5

6 Exemplos de fórmulas: ((p 0 ( p 1 )) ( (( p 0 ) p 1 ))) (p (q p)) (p ( ( p))) (( p) ( (( q) r))) ((p 0 ( p 1 )) ( (( p 0 ) p 1 ))) (p ((q ( p)) ( q))) 6

7 Regras para a omissão de parênteses: O parênteses mais externo pode ser eliminado; O uso repetido de ou de dispensa os parênteses; neste caso considera-se que os parênteses são aninhados à esquerda: p q r s representa (((p q) r) ( s)) O uso repetido de também dispensa os parênteses, mas neste caso eles aninham-se à direita: p q r s representa (p (q (r ( s)))) 7

8 Utiliza-se ainda a seguinte precedência entre os conectivos:,, e. Logo: p q representa (( p) q); p q r representa ((p q) r); p r q representa ((p r) q). 8

9 Diz-se que g é uma subfórmula de uma fórmula f se g atende as condições para ser uma fbf e além disto é compatível com a estrutura de f. O conjunto subf (f) das subfórmulas de f pode ser obtido indutivamente por: Se f = p (uma variável proposicional) então Subf (f) = { p }; Se f = g então Subf (f) = { g} U Subf (g); Se f = g h, f = g h ou f = g h então Subf (f) = { f } U Subf (g) U Subf (h). 9

10 Exemplo: f = p r (p s) = (( p) (r (p s))) Subf(f)= { p r (ps)} U Subf( p) U Subf(r (p s)) = { p r (p s)} U { p} U Subf(p) U {r (p s)} U Subf(r) U Subf(p s) = { p r (p s), p} U {p} U {r (p s)} U {r} U {ps} U Subf(p) U Subf(s) = { p r (p s), p, r (p s)}, p, r, p s} U {p} U {s} 10

11 Outra definição indutiva muito utilizada é a do tamanho de uma fórmula: p = 1 se p é uma variável proposicional; f = 1 + f ; f g = f g = f g = 1 + f + g. 11

12 Itens adicionais: Expressando ideias em (ver item da referência 1); Exercícios (ver pg. 12 da referência 1). 12

13 Semântica: Consiste na atribuição de valores-verdade às fórmulas da linguagem; Os valores-verdade no caso clássico são verdadeiro (1) e falso (0); Os valores-verdade são associados aos símbolos proposicionais por meio de uma função de valoração (ou interpretação): V: P { 0,1 } 13

14 Para as demais fórmulas: 1. V ( A) = 1 se e somente se V (A) = 0 ; 2. V (A B) = 1 se e somente se V (A) = 1 e V (B) = 1; 3. V (A B) = 1 se e somente se V (A) = 1 ou V (B) = 1; 4. V (A B) = 1 se e somente se V (A) = 0 ou V (B) = 1. 14

15 Dada uma fórmula proposicional f e uma interpretação V, a atribuição de valores-verdade definida anteriormente permite a obtenção do valor-verdade V(f) da fórmula f; Por exemplo, se f = (p (q p)) e se V(p) = 1 e V(q) = 0, então o valor-verdade de f pode ser computado por: V(1 (0 1)) = V(1 1)) = V(1) = 1 15

16 Os valores-verdade produzidos pelos conectivos podem ser mais claramente vistos nas tabelas a seguir: Não: f f E: f g f g

17 Ou: f g f g Implica: f g f g

18 Satisfação e validade: 1. Uma fórmula A é satisfazível se e somente se existe uma interpretação V tal que V (A) = 1; 2. Uma fórmula A é insatisfazível (ou uma contradição) se e somente se para todas as interpretações possíveis V tem-se V(A) = 0; 3. Uma fórmula A é válida (ou uma tautologia) se e somente se para toda interpretação V tem-se V(A) = 1; 4. Uma fórmula A é falsificável se e somente se existe uma valoração V tal que V (A) = 0. 18

19 Algumas consequências: 1. Toda fórmula válida é também satisfazível; 2. Toda fórmula insatisfazível é falsificável; 3. Uma fórmula pode ser satisfazível e falsificável: neste caso é dita contingente; 4. Uma fórmula não pode ser válida e insatisfazível; 5. Se A é válida, A é insatisfazível e reciprocamente; 6. Se A é satisfazível, A é falsificável e reciprocamente. 19

20 Tabelas-verdade: 1. Dada uma fórmula proposicional f, a tabela apresenta os valores-verdade de f para todas as interpretações possíveis; 2. Para uma fórmula com n variáveis existem 2 n interpretações possíveis; 3. A ordem de avaliação dos conectivos deve ser estritamente seguida; 4. As propriedades lógicas da fórmula (validade, satisfação, etc) são facilmente verificáveis. 20

21 Exemplo de tabela-verdade: (p (q p)) (1) (4) (1) (3) (2) (1)

22 Prática de tabelas-verdade: /tablequiz/tablepractice.html ; ; Exercícios (ver referência 1 à página 20). 22

23 23

24 24

25 f g

26 26

27 Algumas equivalências notáveis: 1. p p (dupla negação); 2. p q p q (definição de em função de e ); 3. (p q ) ( p q ) e (p q ) ( p q ) (leis de De Morgan); 4. p ( q r ) ( p q ) (p r ) (distributividade de sobre ); 5. p ( q r ) ( p q ) (p r ) (distributividade de sobre ). 27

28 Equivalência lógica usando tabelas-verdade: para que se tenha A B os valores-verdade de V(A) e de V(B) devem ser os mesmos em todas as linhas. f g 28

29 Definições dos conectivos em função de e : 1. p q p q ( p q); 2. p q ( p q ). É possível se definir todos os conectivos em função de um só? 29

30 A B

31 31

32 Exercícios (página 27 da referência 1); Desafios da (ver item 1.6 da referência 1 à página 28). 32