Exemplo 7 1 I. p q: Se o time joga bem, então o time ganha o campeonato. q s: Se o time ganha o campeonato então. s: Os torcedores não estão felizes.

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1 Exemplo 7 1 I p q: Se o time joga bem, então o time ganha o campeonato }{{}}{{} p q p r: Se o time não joga bem, então o técnico é o culpado }{{}}{{} p r q s: Se o time ganha o campeonato então }{{} q os } torcedores {{ estão felizes } s s: Os torcedores não estão felizes São 2 16 interpretações possíveis Professor: jairdonadelli@ufabcedubr

2 Exemplo 7 1 II p q r s p q p r q s s Professor: jairdonadelli@ufabcedubr

3 Exemplo 7 1 III Só há uma interpretação que satisfaz p q, p r,q s, s p q r s p q p r q s s donde concluímos que é verdade r ( o técnico é culpado ) Professor: jairdonadelli@ufabcedubr

4 Exemplo 7 1 IV Se são verdadeiras as premissas Se o time joga bem então o time ganha o campeonato Se o time não joga bem então o técnico é o culpado Se o time ganha o campeonato então os torcedores estão felizes Os torcedores não estão felizes então uma conclusão lógica é o técnico é culpado Professor: jairdonadelli@ufabcedubr

5 Exemplo 7 1 V Por outro lado, se supomos que valem as premissas Se o time joga bem então o time ganha o campeonato Se o time não joga bem então o técnico é o culpado Se o time ganha o campeonato então os torcedores estão felizes Professor: jairdonadelli@ufabcedubr

6 Exemplo 7 1 VI p q r s p q p r q s Não podemos concluir p, q, r, s Professor: jairdonadelli@ufabcedubr

7 Consequência lógica I Definições: 1 A letras gregas maiúsculas Γ, Λ, Σ, Ψ,, Ω, Θ, Π, Φ são usadas para denotar conjunto de fórmulas de L 0 2 ˆv satisfaz o conjunto Γ se satisfaz cada elemento do conjunto, isto é, ˆv(α) = 1 para todo α Γ No exemplo anterior v(p) = v(q) = v(s) = 0 e v(r) = 1 satisfaz Γ = {p q, p r, q s, s} Professor: jairdonadelli@ufabcedubr

8 Consequência lógica II Exercício Sejam ˆv uma valoração de L 0 e Γ = {γ 1, γ 2,, γ n } Se ˆv satisfaz o conjunto Γ então V satisfaz a fórmula γ 1 γ 2 γ n? Se ˆv satisfaz a fórmula γ 1 γ 2 γ n então V satisfaz o conjunto Γ? Professor: jairdonadelli@ufabcedubr

9 Consequência lógica III Definição: Uma fórmula α é consequência lógica das fórmulas de Γ se toda valoração ˆv que satisfaz Γ também satisfaz α Notação: Γ α lê-se alfa é consequência lógica de gama Γ significa que Γ não é satisfazível Professor:

10 Exemplos I No caso do exemplo inicial {p q, p r, q s, s} r Professor: jairdonadelli@ufabcedubr

11 Exemplos II {(p q) r} p r ˆv((p q) r) = max { 1 max{v(p), v(q)}, v(r) } max { 1 v(p), v(r) } = ˆv(p r) protanto, se ˆv((p q) r) = 1, então ˆv(p r) = 1 Professor: jairdonadelli@ufabcedubr

12 Exemplos III {(p q) r} p r ˆv((p q) r) = max { 1 max{v(p), v(q)}, v(r) } max { 1 v(p), v(r) } = ˆv(p r) protanto, se ˆv((p q) r) = 1, então ˆv(p r) = 1 Professor: jairdonadelli@ufabcedubr

13 Exemplos IV {(p q) r} p r se v(p) = 1 e v(q) = v(r) = 0 então ˆv((p q) r) = 1 mas ˆv(p r) = 0 Professor: jairdonadelli@ufabcedubr

14 Exemplos V {(p q) r} p r se v(p) = 1 e v(q) = v(r) = 0 então ˆv((p q) r) = 1 mas ˆv(p r) = 0 Professor: jairdonadelli@ufabcedubr

15 Exemplos VI Simplificações de notação: Ao invés de {α} β escrevemos α β Ao invés de {α 1,, α n } β escrevemos α 1,, α n β Ao invés de Γ {α} β escrevemos Γ, α β Professor: jairdonadelli@ufabcedubr

16 Exemplos VII Exemplos: 1 p 3, p 3 p 7 p 7 2 p 8, p 5 p 8 p 5 3 α, β α β 4 α 1, α 2,, α n α 1 α 2 α n 5 α β α β 6 α β α β 7 α β, β γ α γ? Professor: jairdonadelli@ufabcedubr

17 Propriedades Propriedades de A consequência semântica tem as seguintes propriedades 1 α β se, e só se, α β 2 Γ, α β se, e só se, Γ α β 3 {α 1, α 2, α n } β se, e só se, (α 1 α 2 α n ) β Professor: jairdonadelli@ufabcedubr

18 Em particular, das tautologias notáveis temos Modus Ponens α, (α β) β Modus Tollens ( β), α β α Silogismo disjuntivo α β, α β Silogismo hipotético α β, β γ γ Professor: jairdonadelli@ufabcedubr

19 São conhecidos vários: Sistema de Hilbert (ou axiomático à Hilbert), Dedução Natural, Tableaux, Cálculo de sequentes de Gentzen, por exemplo é sintático Professor:

20 A linguagem revisitada I Alfabeto: Símbolos proposicionais atômicos p 1 p 2 p 3 Conectivos lógicos Símbolos de pontuação ( ) Uma fbf é qualquer expressão que pode ser formada aplicando-se as regras: (F1) os símbolos atômicos são fbf, chamadas fórmulas atômicas; (F2) se α é fbf, então ( α) é fbf; (F3) se α e β são fbfs, então (α β) é fbf; (F4) não há outras fbfs além das obtidas pelo uso das regras (F1), (F2) e (F3) um número finito de vezes Professor: jairdonadelli@ufabcedubr

21 A linguagem revisitada II As mesmas notações e simplificações Fórmulas α, β, γ, Conjuntos de fórmulas Σ, Γ, Θ, Símbolos proposicionais atômicos p, q, r, s Conectivos (possivelmente com índices) Regras para omissão de parênteses Professor: jairdonadelli@ufabcedubr

22 A linguagem revisitada III Definições símbolo lê-se uso conjunção (α β) abrevia ( (α ( β))) disjunção (α β) abrevia (( α) β) biimplica (α β) abrevia ((α β) (β α)) falsum abrevia (α ( α)) verum abrevia ( ) Professor: jairdonadelli@ufabcedubr

23 Sistema de Kleene I Axiomas (A1) α (β α) (A2) (α (β ξ)) ((α β) (α ξ)) (A3) (α β) ((α β) α) (A4) α (β (α β)) (A5) α β α (A6) α β β (A7) α α β (A8) β α β (A9) (α γ) ((β γ) (α β γ)) (A10) α α Professor: jairdonadelli@ufabcedubr

24 Sistema de Kleene II Regras de inferências (MP) α, α β β Professor:

25 Esquemas Esquemas de axiomas e de teoremas I Lembrando que chamaremos de axioma α (β α) e de teorema: α α o que, propriamente, não são São esquemas de axiomas e de teoremas, pois usam variáveis da metalinguagem Professor: jairdonadelli@ufabcedubr

26 Esquemas Esquemas de axiomas e de teoremas II Os axiomas são obtidos quando substituímos tais variáveis por fórmulas nas quais figuram apenas símbolos do alfabeto Por exemplo ((p q) r) ( (q r) ((p q) r) ) }{{}}{{}}{{} α β α é um dos axiomas o esquema e ((p q) r) ((p q) r) }{{}}{{} α α é um dos teoremas do esquema Professor: jairdonadelli@ufabcedubr

27 Esquemas Teorema e prova α é deduzível de {ϕ 1, ϕ 1,, ϕ n } se existe uma sequência finita de fórmulas tal que para i > n, ϕ i é 1 ou um axioma ϕ 1, ϕ 2,, ϕ n, ϕ n+1,, ϕ m, α 2 ou uma fórmula obtida de ϕ 1, ϕ 2,, ϕ i 1 por regra de inferência Notação: {ϕ 1, ϕ 1,, ϕ n } α Professor: jairdonadelli@ufabcedubr

28 Esquemas Exemplos de dedução I Escrevemos uma prova para Γ α como Prova 1 ϕ 1 [justificativa] 2 ϕ 2 [justificativa] m-1 ϕ m 1 [justificativa] m α [justificativa] em que justificativa diz explicitamente como foi obtida a fórmula daquela linha Professor: jairdonadelli@ufabcedubr

29 Esquemas Exemplos de dedução II Teorema (1) α α Prova 1 α ((α α) α)) (por A1) 2 (α ((α α) α)) ((α (α α)) (α α)) (por A2) 3 α (α α)) (por A1) 4 (α (α α)) (α α) (MP 2,1) 5 α α (MP 3,4) Professor: jairdonadelli@ufabcedubr

30 Esquemas Exemplos de dedução III Teorema (2) α β, β γ α γ Prova 1 α β (por hipótese) 2 β γ (por hipótese) 3 (β γ) (α (β γ)) (por A1) 4 (α (β γ) (por MP 2,3) 5 (α (β γ)) ((α β) (α γ)) (por A2) 6 (α β) (α γ) (por MP 4,5) 7 α γ (por MP 1,6) Professor: jairdonadelli@ufabcedubr

31 Esquemas Exemplos de dedução IV Teorema (3) θ (φ ξ) φ (θ ξ) Prova 1 ( θ (φ ξ) ) ( ) (por hipótese) 2 θ (φ ξ) (θ φ) (θ ξ) (por A2) 3 (θ φ) (θ ξ) (por MP 1,2) 4 φ ( (θ φ) ) ( ( )) (por A1) 5 (θ φ) (θ ξ) φ (θ φ) (θ ξ) (por A1) 6 φ ( (θ φ) (θ ξ) ) ( ( )) (( ) ( )) (por MP 3,5) 7 ( φ (θ φ) ) (θ ( ξ) ) φ (θ φ) φ (θ ξ) (por A2) 8 φ (θ φ) φ (θ ξ) (por MP 6,7) 9 φ (θ ξ) (por MP 4,5) Professor: jairdonadelli@ufabcedubr

32 Esquemas Exemplos de dedução V Teorema (4) α α α Professor: jairdonadelli@ufabcedubr

33 Esquemas Exemplos de dedução VI Prova 1 α α (por hipótese) 2 α (( α α) α) (por A1) 3 ( α (( α α) α)) (( α ( α α)) ( α α)) (por A2) 4 α ( α α) (por A1) 5 ( α ( α α)) ( α α) (por MP 2,3) 6 α α (por MP 4,5) 7 ( α α) (( α α) α) (por A3) 8 ( α α) α (por MP 6,7) 9 α α (por A10) Professor: jairdonadelli@ufabcedubr

34 Esquemas Exemplos de dedução VII Continuação 10 (( α) α) (( α α) (( α) α)) (por A1) 11 (( α α) (( α) α) (por MP 9,10) 12 (( α α) (( α) α)) ((( α α) ( α)) (( α α) α)) (por A2) 13 (( α α) ( α)) (( α α) α) (por MP 11,12) 14 ( α α) α (por MP 8,13) 15 α (por MP 1,14) Professor: jairdonadelli@ufabcedubr

35 Esquemas Exemplos de dedução VIII As linhas 1 7 da prova do teorema 4 são iguais as linhas 8 14 na prova do teorema 2 quando trocamos no teorema 2 toda ocorrência de α por α α, β por α γ por α Professor: jairdonadelli@ufabcedubr

36 Esquemas Exemplos de dedução IX Prova do teorema 4 usando o teorema 2 1 α α (por hipótese) 2 α (( α α) α) (por A1) 3 ( α (( α α) α)) (( α ( α α)) ( α α)) (por A2) 4 α ( α α) (por A1) 5 ( α ( α α)) ( α α) (por MP 2,3) 6 α α (por MP 4,5) 7 ( α α) (( α α) α) (por A3) 8 ( α α) α (por MP 6,7) 9 α α (por A10) 10 ( α α) α (por Teo 2 em 8,9) 11 α (por MP 1,14) Professor: jairdonadelli@ufabcedubr

37 Esquemas Exemplos de dedução X Teorema (Lei de Duns Scotus) α, α β Prova 1 α (por hipótese) 2 α (por hipótese) 3 α ( β α) (por A1) 4 α ( β α) (por A1) 5 β α (por MP 1,3) 6 β α (por MP 2,4) 7 ( β α) ( ( β α) β ) (por A3) 8 ( β α) β (por MP 5,7) 9 β (por MP 6,8) 10 β β (por A10) 11 β (por MP 9,10) Professor: jairdonadelli@ufabcedubr

38 Esquemas Exemplos de dedução XI Teorema (6) α α Prova 2 ( α α) ( ( α α) α ) (por A3) 3 ( α α) ( ( α α) α ) (Teo 3 em 2) 1 α α (por A10) 4 ( α α) α (por MP 1,3) 5 α α (por A10) 6 ( α α) α (por Teo 2 em 4,5) 7 α ( α α) (A1) 8 α α (por Teo 2 em 7,6) Professor: jairdonadelli@ufabcedubr

39 Esquemas Regras derivadas I (SH) α β, β γ α γ θ (φ ξ) (TH) φ (θ ξ) α β (CP1) β α (CP2) β α α β α (DN1) α (DN2) α α Professor: jairdonadelli@ufabcedubr

40 Esquemas Regras derivadas II Prova de α β β α 1 α β (hipótese) 2 β β (Teo 6) 3 α β (SH 1,2) 4 α α (A10) 5 α β (SH 3,4) 6 ( α β) (( α β) α) (A3) 7 ( α β) α (MP 5,6) 8 β ( α β) (A1) 9 β α (SH 8,7) 10 β β (Teo 6) 11 β α (SH 10,9) 12 α α (A10) 13 β α (SH 11,12) Professor: jairdonadelli@ufabcedubr

41 Esquemas Propriedades de I Autodedução Γ α para todo α Γ Monotonicidade Se Γ α então Γ Σ α Regra do corte Se Γ α i para i = 1, 2,, k e {α 1,, α k } β então Γ β Compacidade Γ α se, e só se, existe Γ finito tal que α Teorema da Dedução α β se, e somente se, α β ou, genericamente, Γ, α β se, e somente se, Γ α β (1) Professor: jairdonadelli@ufabcedubr

42 Esquemas Propriedades de II Prova do teorema da dedução Professor: