1 Demonstrações: linguagem

Transcrição

1 1 Demonstrações: linguagem O trabalho dos matemáticos, de um modo geral, é descobrir e comunicar certas verdades e uma demonstração é um argumento cujo objetivo é convencer outras pessoas de que algo é verdade. As demonstrações que aparecem em artigos de periódicos de matemática, e até em livros didáticos, são apresentadas para alguém que já conhece a linguagem da matemática. A linguagem, propriamente dita, usada nas demostrações, é uma linguagem natural como o português e o inglês, porém tais linguagens podem levar a ambiguidades e paradoxos 1. Para evitar ambiguidades, na matemática usamos palavras como ou, se e outras com um significado muito específico e que nem sempre é o significado usual. Além disso, há uma certa gramática subjacente, algumas construções baseadas em princípios lógicos, que estão presentes nas demonstrações. Enfim, se corretamente apresentada, uma demonstração não contêm ambiguidade, não deixa dúvidas quanto ao sua correção o que dá a linguagem matemática a propriedade notável da sua precisão. O estudo formal das deduções matematicamente válidas é feito na lógica matemática. Os lógicos constroem linguagens formais, rigorosas e livres de ambiguidades e de contexto, adequadas para lidar com a relação de consequência. Essas linguagens possuem duas dimensões relevantes, a sintática que define os símbolos da linguagem e as regras de combinação às quais estão sujeitos para a construção dos termos e fórmulas e a semântica define precisamente o significado das fórmulas. Além disso, um sistema lógico especifica os axiomas e as regras de inferência que independem da semântica e são usados para deduzir os teoremas lógicos. 1 Um desses paradoxos é o famoso paradoxo de russell, de 1901, que leva a uma contradição no sistema que formalizava a teoria dos conjuntos na época: seja U o conjunto formado pelos conjuntos que não pertencem a eles mesmos, { X : X X }. o conjunto U pertence a ele mesmo? Esse e outros problemas culminaram, no início do século 20, na crise dos fundamentos da matemática. 1

2 Nós não utilizamos essa linguagem formal no dia-a-dia em Matemática, isso deixaria tudo muito árido mas, como já dissemos, existe uma convenção linguística quase universal na escrita em linguagem natural nas proposições matemáticas que nos faz aceitar as formas como rigorosas e não ambíguas. Neste capítulo abordamos tal linguagem matemática trazendo alguns conceitos da lógica de primeira ordem mas de modo não-formal Sentenças, conectivos e operadores lógicos Definição 1. Uma sentença é uma frase declarativa que assume um, e só um, de dois valores: VERDADEIRO que passamos a denotar por V ou FALSO que passamos a denotar por F. O valor de uma sentença é chamado de valor-verdade ou valorlógico da sentença. Por exemplo, são sentenças: 1. O time joga bem. 2. O céu está limpo. 3. A grama é verde. 4. Os torcedores estão felizes. Do ponto de vista da linguagem natural isso é bastante restritivo, mas estamos mais interessado nos enunciados matemáticos: = > Uma sequência limitada de de números reias é convergente. 2 Em oposição ao formal da linguagem da lógica. 2

3 8. 27 é um quadrado perfeito. 9. O conjunto vazio é único. Não são sentenças: 10. x 2 é positivo. 11. x é a soma de quatro quadrados perfeitos. 12. Essa frase é falsa. 13. Vá estudar Matemática Discreta. Toda linguagem permite construir sentenças mais complexas a partir de outras sentenças. Definição 2. Uma sentença é dita atômica se a ela corresponde, individualmente, um desses valores-verdade. Sentenças compostas são construídas com os conectivos não, e, ou, se,então, se, e somente se, que chamamos conectivos lógicos. São sentenças atômicas o caso de O time ganhou o campeonato e o O técnico é culpado mas não é o caso de O time ganhou o campeonato ou o técnico é o culpado, essa última é composta. Vejamos mais alguns exemplos: 1. Os torcedores estão felizes e o técnico foi demitido. 2. Samuel virá para a festa e Maximiliano não virá, ou Samuel não virá para a festa e Maximiliano vai se divertir. 3. Se o time joga bem, então o time ganha o campeonato. 4. Se o time não joga bem, então o técnico é o culpado não é um quadrado perfeito. 3

4 6. O conjunto vazio não é único. O valor lógico de uma sentença composta depende do valor lógico das sentenças atômicas que a compõem e da maneira como elas são combinadas pelos conectivos de acordo com as regras abaixo. A cada conectivo corresponde um operador lógico. Definição 3. As letras A e B denotam sentenças. A negação de A é a sentença não A cujo valor-verdade é A dado pela tabela 1. A disjunção de A e B é a A A V F F V Tabela 1: operador negação. sentença A ou B cujo valor-verdade é A B dado pela tabela 2. A conjunção é a sentença A e B cujo valor-verdade é A B dado pela tabela 2. A condicional A B A B A B A B A B V V V V V V V F V F F F F V V F V F F F F F V V Tabela 2: operadores conjunção, disjunção e bicondicional. é a sentença se A então B cujo valor-verdade é A B dado pela tabela 2. A bicondicional é a sentença A se, e somente se B cujo valor-verdade é A B dado pela tabela 2. Esse é o modo como interpretamos essas palavras chaves e essa interpretação as vezes entra em conflito com interpretações coloquiais. O e, em geral, não causa confusão exceto, possivelmente, pelo estilo de escrita. As vezes 4

5 pode ocorrer uma confusão por abreviações na escrita. Por exemplo, quando dizemos que 5 é um natural primo e ímpar significa que 5 tem as duas propriedades, porém o conectivo e com sentido lógico conecta sentenças (não objetos ou propriedades deles) de modo que tal sentença expressa n é um natural primo e n é um natural ímpar. A sentença a se 7 é primo e divide 28 9, então 7 divide 28 ou divide 9 está melhor exprimida por se 7 é primo e 7 divide 28 9, então 7 divide 28 ou 7 divide 9. No caso do ou o equivoco comum é considerar o ou exclusivo no sentido de que a disjunção é verdadeira quando ou uma ou a outra sentença é verdadeira, não ambas. O não, por sua vez, é mal interpretado quando mudamos o significado na negação. Por exemplo, a rigor a negação de o natural n é par é o natural n não é par que não pode, em princípio, ser tomada como o natural n é ímpar, essa equivalência só vale como consequência do teorema da divisão que garante que se um natural não é da forma 2k, então é da forma 2k + 1. Veremos que A está contido em B significa que todo elemento de A é elemento de B cuja negação não é nenhum elemento de A é elemento de B, a sentença negada é A não está contido em B e significa que nem todo elemento de A é elemento de B ou algum elemento de A não é elemento de B O condicional É no conectivo condicional que se dá a maior diferença entre os significados em matemática e o coloquial. Se os pais dizem ao seu filho se não comer toda a refeição, então não ganha a sobremesa a única situação em que os pais ficam desmoralizados é quando o filho não come toda a refeição e ganha a sobremesa. A confusão aqui normalmente se dá quando se não comer toda a refeição, então não ganha a sobremesa é interpretado também como se comer toda a refeição, então ganha a sobremesa o que a rigor não está dito. Não foi estabelecido o que ocorre 5

6 quando o filho come toda a refeição de modo que se ele ganha a sobremesa, está tudo correto, os pais estão sendo verdadeiros e se ele não ganha a sobremesa também está tudo correto. Certamente, se o filho não comer toda a refeição e não ganhar a sobremesa também os pais foram honestos. Outro problema ocorre quando interpretamos a condicional como uma consequência, uma relação de causa-efeito entre as sentenças, o que não é. Exercício 1. Quais das condicionais a seguir são verdadeiras? se 2 Q, então 2 é par. se 2 Q, então 2 é ímpar. se 2 Q, então 2 é par. se 2 Q, então 2 é ímpar. Definição 4. Em A B chamamos A de antecedente e B de consequente da condicional. A recíproca de A B é B A. Observe que que há casos em que A B tem valor lógico diferente de B A. A contrapositiva de A B é ( B) ( A). Pode-se verificar que contrapositiva tem sempre o mesmo valor lógico que a sentença que a originou. Em português, se A então B pode ser expresso de muitas formas. Algumas delas estão descritos abaixo. B sempre que A. B se A. A é suficiente para B. B é necessário para A. O se e somente se também pode ser expresso de várias maneiras, dentre elas 6

7 A é condição necessária e suficiente para B. A e B são equivalentes. se A então B, e se B então A. As vezes usamos a abreviação A sse B Tautologia e Contradição Tautologia e contradição é como chamamos as sentenças compostas com valorlógico constante. Definição 5. Uma tautologia é uma sentença composta que é sempre verdadeira. Uma contradição é uma sentença composta que é sempre falsa. Por exemplo A ( A) e (A B) (( A) B) são tautologias e A A é uma contradição. Uma tautologia qualquer, genérica, é denotada por V e uma contradição qualquer, genérica, por F Predicados Uma sentença aberta é uma sentença parametrizada por uma ou mais variáveis. Cada variável deve estar associada a um domínio não-vazio de onde empresta valores. Uma sentença aberta não tem valor lógico, porém quando às variáveis são atribuídos valores de seu domínio a sentença deixa de ser aberta e passa a ser um sentença com valor lógico. Entendemos por predicado uma declaração a respeito de uma ou mais variáveis. Por exemplo, x é primo, x é maior que 0, x é menor ou igual a y, x, y, z são vértices de um triângulo, x < 1 é predicado enquanto que x + 1 não é predicado. Usamos a notação funcional para sentenças predicativas, letras minúsculas x, y, z,... denotam variáveis e letras maiúsculas P,Q, R,... os predicados, os 7

8 quais são seguidas por uma lista de variáveis distintas entre parênteses, usados para denotar sentenças abertas que dependem dessas variáveis, por exemplo O(x): representa x x 2. P(x): representa x é primo. Q(x, y): representa x y 2. Nesse casos, uma instanciação de uma variável troca todo ocorrência da variável pela instância: O(1) é 1 1 2, P(4) é 4 é primo e Q(1,2) e A senteça Q(1, y) é 1 y 2, portanto aberta. Se instanciamos todas as variáveis de uma sentença aberta ela deixa de ser aberta e passa a ter valor-verdade, por exemplo, R(x, y) dada por x > y é uma sentença verdadeira se os valores de x e y forem 7 e 4 (i.e., R(4,7) é verdadeiro), mas é falsa se os valores forem x = 1 e y = 2 (i.e., R(1,2) é falso). De um modo geral, dado um predicado P(x 1, x 2,..., x n ), usamos a notação P(v 1, v 2,..., v n ) para indicar a substituição de todas as ocorrências da variável x i pelo valor v i, para todo i = 1,2,...,n. Podemos combinar predicados usando os conectivos lógicos para formar outros predicados Quantificadores A substituição de variáveis por valores do domínio D não é a única maneira de transformar uma sentença aberta em uma sentença. Outra maneira é a chamada quantificação. A quantificação permite expressar conceitos como todos os elementos de D ou alguns elementos de D. O primeiro é chamado quantificação universal e segundo de quantificação existencial. Definição 6. A quantificação universal de P(x) é a sentença par a todo x D, P(x) (1) 8

9 que é verdadeira se P(x) é verdadeiro para toda instanciação de x com valores de um domínio D. Caso P(x) seja falsa para um ou mais valores atribuídos a x então a sentença (1) é falsa. A sentença (1) é, simbolicamente, denotada por x D, P(x). Um elemento de D para o qual P é falso um contraexemplo para (1) Por exemplo, para todo x Z, x < x + 1 é verdadeira enquanto que para todo x N, x é primo é falsa pois, por exemplo, 4 N e 4 não é primo. Nesse caso, dizemos que 4 é um contraexemplo para para todo x N, x é primo. Omissão de quantificadores As vezes, infelizmente, há textos que omitem quantificadores que deveriam estar presentes. Estes estão implícitos, por exemplo, nos seguintes exemplos. No domínio do reais a afirmação se x é inteiro, então x é racional é uma sentença implicitamente quantificada universalmente que, simbolicamente, pode ser escrita como x R, (x Z x Q) assim como a identidade trigonométrica sin 2 (x) + cos 2 (x) = 1 que deve ser expressa como para todo x R,sin 2 (x) + cos 2 (x) = 1. Definição 7. A quantificação existencial da sentença aberta P(x) é a sentença exi ste x D, P(x) (2) que é verdadeira se P(x) é verdadeiro para pelo menos uma instanciação de x com valores de D. Caso P(x) seja falsa para todos os valores de D atribuídos a x então a sentença existe x D, P(x) é falsa. Simbolicamente, usamos x D, P(x) para expressar (2). Por exemplo, existe x Z, x = x+1 é falsa enquanto que existe x N, x é primo é verdadeira. 9

10 Exemplo 1. São exemplos de sentenças quantificadas e em símbolos. 1. Todo o número inteiro que não é ímpar é par n Z, (n é impar) (n é par) ou ainda, n Z( k Z,n = 2k + 1 k N,n = 2k). 2. Para cada número real x, existe um número real y para o qual y 3 = x x R, y R, y 3 = x. 3. Dado qualquer dois números racionais a e b, segue-se que ab é racional a Q, b Q, ab Q. 4. Existe um natural n para o qual n 2 = 2 n N, n 2 = 2. Defina os predicados P(x) : x 0, Q(x) : x 2 0 e R(x) : x 2 > x R, se x 0 então x 2 0, ou x R(P(x) Q(x)). 2. existe x R, se x 0 então x 2 0, ou x R(P(x) Q(x)). Ambas as sentenças anteriores são verdadeiras. Agora x R(P(x) R(x)) é falso e para mostrar isso basta exibirmos um contraexemplo, um valor a do domínio (a R) para o qual P(a) R(a) é falso, como o 0. 10

11 Múltiplos quantificadores Se uma sentença aberta menciona mais de uma variável, é preciso um quantificador para cada variável distinta para transformála numa sentença fechada. Por exemplo, no domínio dos inteiros há oito maneiras de transformar a sentença aberta x +y = y +x em uma sentença fechada: 1. x Z, y Z(x + y = y + x) 2. x Z, y Z(x + y = y + x) 3. x Z, y Z(x + y = y + x) 4. x Z, y Z(x + y = y + x) 5. y Z, x Z(x + y = y + x) 6. y Z, x Z(x + y = y + x) 7. y Z, x Z(x + y = y + x) 8. y Z, x Z(x + y = y + x) Em sentenças com mais de uma variável a ordem em que os quantificadores aparece é importante. Por exemplo, se x e y são inteiros para todo x Z, existe y Z, (x + y = 0) (3) não é logicamente equivalente a existe y Z, para todo x Z, (x + y = 0) (4) pois (3) é verdadeiro enquanto que (4) é falso. Entretanto, em alguns casos vale a equivalência. Por exemplo, para todo x N, existe y N, x divide y é verdadeira, assim como existe y N, para todo x N, x divide y 11

12 pois, no segundo caso todo x N divide o 0. Sempre podemos trocar a ordem de dois ou mais quantificadores do mesmo tipo. Ao escrever (e ler) demonstrações de teoremas nós devemos estar sempre atentos à estrutura lógica e ao significados das sentenças. Às vezes é necessário (ou ao menos útil) escrevê-las em expressões que envolvem símbolos lógicos. Isso pode ser feito mentalmente ou em papel de rascunho, ou ocasionalmente, mesmo explicitamente dentro do corpo de uma prova. Entretanto, deve-se ter em mente que simbolizar uma sentença não a torna mais formal ou mais correta, apena ajuda na compreensão da sua estrutura lógica. Exercício 2. Escreva a seguintes sentenças em português e diga se são verdadeiras ou falsas. 1. x R, x 2 > x R, n N, xn 0 3. a R, x R, ax = x. 4. n Z, m Z, m + n = m Z, n Z, m + n = A implicação lógica Intuitivamente, as duas sentenças a seguir parecem corretas. 1. Se a sentença Joaquim é alto e Manoel é baixo é verdadeira, então a sentença Joaquim é alto é verdadeira. 2. A sentença A é um conjunto finito ou f é uma função contínua sendo verdadeira é equivalente à sentença f é uma função contínua ou A é um conjunto finito ser verdadeira. 12

13 Formalmente são metassentenças, sentenças que diz algo respeito de sentenças. Na prática, do ponto de vista informal que adotamos, a distinção entre sentenças e meta-sentenças é simples. P Q é uma sentença composta construída a partir de Pe Q. P Q é uma metassentença que é uma abreviação da expressão em português P implica Q e significa que P Q é uma verdade que não depende dos valores lógicos de P e de Q. Definição 8. Sejam A e B sentenças. Dizemos que A implica logicamente B se A B é uma tautologia e escrevemos A B. Nesse caso, dizemos também que B é uma consequência lógica de A. Mais geralmente, sejam P 1,P 2,...,P n e Q sentenças. Dizemos que essas sentenças P 1,P 2,...,P n implicam logicamente Q se P 1 P 2 P n Q é uma tautologia e escrevemos P 1 P 2 P n Q. Por exemplo, se A B é verdadeira, sua conclusão B pode ser verdadeira ou falsa; mas se tanto a implicação quanto a hipótese A são verdadeiras, então a conclusão B deve ser verdadeira, isto é A (A B) B. Notemos que se A B então A B é tautologia, portanto, A B é tautologia e B A é tautologia, ou seja A B e B A. Reciprocamente, se A B e B A então A B é tautologia e B A é tautologia, ou seja, A B é tautologia, logo A B. Exemplo 2. Considere as sentenças A é Mané estuda B é Mané joga futebol C é Mané passa em discreta Então A C, ( B) A, ( C) têm como consequência lógica B. 13

14 Adição A A B Simplificação A B A A B B Modus ponens A (A B) B Modus tollens (A B) ( B) A Silogismos (A B) (B C) A C (A B) ( A) B Contradição A F A ( xp(x)) ( xq(x)) x (P(x) Q(x)) Distributiva para x (P(x) Q(x)) ( xp(x)) ( xq(x)) quantificadores Tabela 3: Consequências lógicas notáveis. A tabela 3 a seguir lista algumas consequências lógicas notáveis. Além dessas, há ainda consequências lógicas para quantificadores. Sejam P(x) e Q(x) sentenças abertas 1. ( xp(x)) ( xq(x)) x (P(x) Q(x)). 2. x (P(x) Q(x)) ( xp(x)) ( xq(x)). 14

15 No exemplo 2 1. A C premissa 2. C premissa 3. B A premissa 4. C A contrapositiva de 1 5. A Modus ponens de 2 e 4 6. A ( B) contrapositiva de 3 7. ( B) modus ponens de 5 e 6 8. B dupla negação A partir da linha 4, cada linha é consequência lógica das linhas anteriores, portanto, B é consequência lógica das premissas Equivalência lógica Definição 9. Duas sentenças A e B são logicamente equivalentes se assumem o mesmo valor-verdade. A notação é A B. As sentenças abertas P(x) e Q(x) são logicamente equivalentes se P(a) Q(a) é tautologia para todo a D, e escrevemos x(p(x) Q(x)). A B é o mesmo que dizer que A B é tautologia. Note que é um conectivo, ele conecta sentenças enquanto que é uma abreviação, conecta frases que assertam sobre sentenças que chamamos de metassentenças. Por exemplo (A B) ( A B) e (A B) (A B) (B A). As leis de equivalências dadas na tabela 4 a seguir são leis básicas usadas para deduzir outras. Exercício 3. Verifique usando as leis da tabela 4 que (A B) ( (A) B) é logicamente equivalente a A. 15

16 Identidade A V A A F A Idempotência A A A A A A Distributiva A (B C) (A B) (A C) A (B C) (A B) (A C) Comutativa A B B A A B B A Associativa A (B C) (A B) C A (B C) (A B) C Absorção A (A B) A A (A B) A De Morgan (A B) A B (A B) A B Dominação A V V A F F Inversas A ( A) V A ( A) F Dupla negação ( (A)) A Contrapositiva A B ( B) ( A) Contradição A B (A ( B)) F x (P(x) Q(x)) ( xp(x)) ( xq(x)) Distributiva para x (P(x) Q(x)) ( xp(x)) ( xq(x)) quantificadores Negação ( x, P(x)) x, (P(x)) ( x, P(x)) x, (P(x)) Tabela 4: Equivalências lógicas notáveis. 16

17 Resolução. (A B) ( (A) B) motivo (A B) ( (A) (B)) De Morgan (A B) (A (B)) dupla negação (A (B (B)) distributiva (A F) inversa A identidade Exercício 4. Verifique que (A B) A (B) Regras de Inferência e Argumentos válidos Definição 10. labeldef:argumento Um argumento é uma sequência P 1,P 2,...,P n de sentenças, ditas premissas que terminam com uma sentença dita conclusão Q (o que indicamos pelo símbolo, que lê-se portanto) P 1 P 2. P n Q O argumento é válido se, e só se, (P 1 P 2 P n ) Q, isto é, equivalentemente (P 1 P 2 P n ) Q é verdadeiro. Regras de inferência são esquemas de argumentos válidos simples que usamos para para construir argumentos válidos mais complexos. Por exemplo, 17

18 Se você tem uma senha, então você pode fazer logon no facebook. Você tem uma senha. Portanto, você pode fazer logon no facebook. é um argumento válido porque se encaixa na lei de modus ponens dada na tabela 3, o argumento P Q P Q é uma regra de inferência chamada Modus Ponens. Cada caso lei dada na tabela 3 nos dá uma regra de inferência: 1. Regra da Adição Se P é uma premissa, podemos derivar P Q P P Q 2. Regra da Simplificação Se P Q é uma premissa, podemos derivar P P Q P 3. Modus ponens P Q P Q 4. Modus tollens Se P Q e Q são duas premissas, podemos usar o modus tollens para derivar P P Q Q P 18

19 Por exemplo Se você tem uma senha, então você pode fazer logon no facebook. Você não pode fazer logon no facebook. Portanto, você não tem uma senha. 5. Regra do silogismo hipotético Se P Q e Q R são duas premissas, podemos usar o silogismo hipotético para derivar P R P Q Q R P R 6. Regra do silogismo disjuntivo Se P e P Q são duas premissas, podemos usar o silogismo disjuntivo para derivar Q P Q P Q 7. Regra da contradição Se P F então deduzimos P P F P 8. Regra da conjunção Se temos P e temos Q então temos P Q P Q P Q Podemos usar essa regras para escrever outras regras, ou argumentos válidos. O seguinte é um argumento válido 19

20 P Q Q S P R R S Resolução. Vejamos passo proposição justificativa 1. P Q premissa 2. Q S premissa 3. P R premissa 4. R P contrapositiva de 3 5. R Q Silogismo hipotético de 4 e 1 6. R S Silogismo hipotético de 5 e 2 Exercício 5. Preste atenção nesse caso: o argumento é válido? se 2 > 3/2 então 2 > 9/4 2 > 3/2 2 > 9/4 Regras de inferência para quantificadores 9. Instanciação universal Se x, P(x) então P(c) sempre que c é um elemento do domínio x,p(x) P(c) 10. Generalização universal Se P(c) para um elemento c arbitrário do domínio então x, P(x) 20

21 P(c) para c arbitrário x,p(x) 11. Instanciação existencial Se x, P(x) então P(c) para algum elemento c do domínio x,p(x) P(c) 12. Generalização existencial Se P(c) para algum c particular, então x, P(x) P(c) para algum c particular x, P(x). Exemplo 3. Consideremos a sentença aberta n 2 = n. Usando a generalização universal para c = = 0 n N, n 2 = n o que não é válido porque 0 não é um natural arbitrário. Por exemplo, o seguinte argumento é válido Vejamos x(p(x) Q(x)) x(q(x) R(x)) x(p(x) R(x)) passo proposição justificativa 1. x(p(x) Q(x)) premissa 2. x(q(x) R(x)) premissa 3. P(c) Q(c) instanciação universal de 1 4. Q(c) R(c) instanciação universal de 2 5. P(c) R(c) Silogismo hipotético de 3 e 4 6. x(p(x) R(x)) generalização universal. 21

22 Da regra da conjunção podemos mostrar que x D,(P(x) Q(x)) ( x D,P(x)) ( x D,Q(x)). Vejamos passo proposição justificativa 1. x,(p(x) Q(x)) premissa 2. P(c) Q(c) instanciação existencial de 1 3. P(c) simplificação de 2 4. Q(c) simplificação de 2 5. x, P(x) generalização existencial de 3 6. x,q(x) generalização existencial de 4 7. ( x, P(x)) ( x,q(x)) conjunção. No próximo exercício suponha que há um domínio associado sem se preocupar com o que de fato é tal conjunto (pode ser o conjunto de todos os animais conhecidos, por exemplo). Exercício 6 (Lewis Carrol). Verfique se o seguinte argumento é válido: Todos os leões são selvagens. Alguns leões não bebem café Portanto, alguma criatura selvagem não bebe café. Solução. Consideremos Matata um elemento do domínio. passo proposição justificativa 1. x,(l(x) S(x)) premissa 2. x,(l(x) C(x)) premissa 3. L(Mat at a) C(Mat at a)) instanciação universal de 2 4. L(M at at a) simplificação de 3 5. C(Mat at a) simplificação de 3 6. (L(Mat at a) S(Mat at a)) instanciação universal de 1 7. S(Mat at a) Modus Ponens de 4 e 6 8. S(Mat at a) C(Mat at a) conjunção de 5 e 7 9. x(s(x) C(x)) generalização existencial 22

23 Exercício 7 (Modus ponens universal). Verifique se o seguinte argumento que combina instanciação universal com Modus Ponens é válido: x(p(x) Q(x)) P(a) Q(a) Exercício 8. Verifique a validade das seguintes regras de inferência: 1. Resolução P Q P R Q R 2. Prova por casos P Q R Q P R Q Exercícios 1. Sejam P e Q as sentenças a eleição foi decidida e os votos foram contados, respectivamente. Expresse cada uma das sentenças simbólicas abaixo como uma sentença em português (a) P (b) (P) Q (c) ( P) ( Q) (d) ( Q) (( P) Q) 2. Considere que P, Q e R sejam sentenças verdadeiras. Verifique quais das afirmações são verdadeiras. (a) P Q 23

24 (b) Q P (c) P (Q R) (d) P Q (e) P R (f) (P Q) P 3. Verifique que (a) há casos em que P Q é verdadeira, mas sua recíproca Q P é falsa; e vice-versa; (b) há casos em que P Q é verdadeira, mas sua inversa ( P) ( Q) é falsa; (c) a sentença P Q e sua contrapositiva ( Q) ( P) têm sempre o mesmo valor lógico. 4. A sentença (A B) (A B) é uma contradição? 5. Escreva as afirmações abaixo na forma simbólica, definindo e atribuindo símbolos aos predicados e definido os domínios dos quantificadores. (a) Todos os estudantes gostam de lógica. (b) Alguns estudantes não gostam de lógica. (c) Cada pessoa tem uma mãe. (d) Entre todos os inteiros exitem alguns que são primos. (e) Um dia do próximo mês é domingo. (f) Alguns inteiros são pares e divisíveis por 3. (g) Alguns inteiros são pares ou divisíveis por 3. (h) x 2 14 = 0 tem uma solução positiva. 24

25 (i) Toda solução de x 2 14 = 0 é positiva. (j) Nenhuma solução de x 2 14 = 0 é positiva. (k) Existe algum estudante de direito que não é brasileiro. (l) Todo estudante de direito tem um celular. (m) Ninguém é perfeito. (n) Alguém é perfeito. (o) Todos os nossos amigos são perfeitos. (p) Algum de nossos amigos é perfeito. (q) Todos são nossos amigos e são perfeitos. (r) Ninguém é nosso amigo ou alguém não é perfeito. 6. Sejam N o conjunto dos números naturais, e suponha que P(x) significa x é par, Q(x) significa x e divisível por 3, R(x) significa x e divisível por 4 e S(x, y) é x + 2 > y. Escreva em português cada uma das sentenças a seguir, e determine seu valor-verdade: (a) ( x N)P(x). (b) ( x N)(P(x) Q(x)). (c) ( x N)(P(x) Q(x)). (d) ( x N)(P(x) R(x)). (e) ( x N)(P(x) R(x)). (f) ( x N)(R(x) P(x)). (g) ( x N)(P(x) Q(x)). (h) ( x N)(P(x) P(x + 2)). (i) ( x N)(R(x) R(x + 4)). (j) ( x N)(Q(x) Q(x + 1)). (k) ( x N)R(x) (l) ( x N)(P(x) Q(x)). (m) ( x N)(P(x) Q(x)). (n) ( x N)(Q(x) Q(x + 1)). (o) ( x N)(P(x) Q(x + 1)). (p) ( x N)( y N)S(x, y). (q) ( x N)( y N)S(x, y). (r) ( y N)( x N)S(x, y). 25

26 7. Verifique as equivalências e implicações lógicas notáveis, dadas nas tabelas 4 (página 16) e 3 (página 14). 8. Verifique as seguintes equivalência lógicas, para provas por contradição. (P Q) ((P Q) (R R)) (P Q) ((P Q) P) (P Q) ((P Q) Q) 9. Para cada sentença determine o valor verdade e a negação. Na negação, expresse em símbolos a sentença usando as equivalências lógicas para a negação de quantificadores. (a) ( n N)( m N)(n 2 < m). (b) ( n N)( m N)(n < m 2 ). (c) ( x R)( y R)(x = y 2 ). (d) ( n N)( m N)(n + m = 0). (e) ( n N)( m N)(n 2 + m 2 = 25). (f) ( n N)( m N)(n + m = 4 n m = 2). (g) ( n N)( m N)( p N)(p = n+m 2 ). (h) ( x R)( y R)(x y = 0) (i) ( x R)(x 0) ( y R)(x y = 1). (j) ( x R)( y R)(y 0 (x y = 1)). (k) ( x R)( y R)(x + 2y = 2 2x + 4y = 5). (l) ( x R)( y R)(x + y = 2 2x y = 1). 10. Considere G(x, y) como x gosta de y. Expresse em símbolos as sentenças 26

27 (a) todo mundo gosta de todo mundo (b) todo mundo gosta de alguém (c) alguém gosta de todo mundo (d) alguém gosta de alguém 11. A sentença x X, A(x) é falsa se e somente se x X, A(x) é verdadeira, ou seja, a sentença x X, A(x) é falsa se e somente se podemos encontrar um x 0 X tal que A(x 0 ) é uma sentença falsa. Tal x 0 é chamado de contraexemplo para x X, A(x). Determine um contraexemplo para: (a) x R, x 0; (b) x R, x 2 > x; (c) x N, x 2 x; (d) x {3,5,7,9}, x + 3 7; (e) x {3,5,7,9}, x é primo. 12. Verifique se cada argumento abaixo é um argumento válido. (a) A B A C A (B C) (b) R(c) t D(P(t) Q(t)) t D(Q(t) R(t)) P(c) 13. Dê a justifcativa para cada passo dos argumentos abaixo para que seja válido. (a) (P (P Q) (S R) (R Q)) (S T ) (b) ((P Q) ( R S) (P R)) ( Q S) 27

28 (c) passo 1) P 2) P Q 3) Q 4) R Q 5) Q R 6) R 7) S R 8) S 9) S T justificativa (d) passo 1) ( Q S) 2) Q S 3) S 4) R S 5) R 6) P Q 7) Q 8) P 9) P R 10) R justificativa 11) R R 12) Q S 14. Uma argumento não é válido se é possível que as premissas sejam verdadeiras e a conclusão falsa. Mostre que os seguintes argumentos não são válidos exibindo valores-lógicos para as sentenças P,Q, R, S de modo que as premissas são verdadeiras mas a conclusão é falsa. (a) P Q Q R R S (S) Q S (b) P P R P (Q R) (Q) (S) S 15. Verifique que valem as equivalências e consequências lógicas abaixo. (a) x D(P(x) Q(x)) ( x D,P(x)) ( x D,Q(x)). 28

29 (b) ( x D,P(x)) ( x D,Q(x)) x D(P(x) Q(x)). (c) x D,(P(x) Q(x)) ( x D,P(x)) ( x D,Q(x)). (d) x D,(P(x) Q(x)) ( x D,P(x)) ( x D,Q(x)). 16. Escreva os seguinte argumentos na forma simbólica, estabeleça sua validade ou dê um contraexemplo para mostrar que é inválido. (a) Se Raquel consegue posto de supervisor e trabalha duro, ela ganhará um aumento. Se ela receber o aumento, então ela vai comprar um carro novo. Ela não comprou um carro novo. Portanto, ou Raquel não conseguiu o posto de supervisor ou ela não trabalhou duro. (b) Se Dominic for para a pista, Helen ficará louca. Se Ralph jogar cartas a noite toda, então Carmela ficará louca. Se Helen ou Carmela ficarem loucas, então Veronica (a advogada delas) será notificada. Verônica não teve notícias de nenhum desses dois clientes. Portanto, Dominic não chegou à pista e Ralph não jogou cartas a noite toda. (c) Se há uma possibilidade de chuva ou sua camisa vermelho está lavando, Luiz não cortará sua grama. Sempre que a temperatura é superior a 25ºC, não há chance de chuva. Hoje a temperatura é de 30ºC e Luiz está usando sua camisa vermelha. Portanto, hoje Luiz cortará a grama. 29