Lógica de Predicados. Correção dos Exercícios
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- Luiz Neves
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1 Lógica de Predicados Correção dos Exercícios
2 Conteúdo Correção Exercícios Tradução Lógica - Português (Rosen 55) Tradução Português Lógica(Rosen 56)
3 Exercícios Rosen 58 1) Transcreva as proposições para o português, em que o domínio para cada variável consista nos números reais. a) x y (x<y) b) x y(((x 0) ^ (y 0)) (xy 0)) c) x y z (xy=z)
4 Exercícios Rosen (59) 9) Considere L(x,y) como a proposição x ama y, em que o domínio para x e y são todas as pessoas do mundo. Use quantificadores para expressar cada proposição abaixo. a) Todos amam Jerry
5 Exercícios Rosen (59) 9) Considere L(x,y) como a proposição x ama y, em que o domínio para x e y são todas as pessoas do mundo. Use quantificadores para expressar cada proposição abaixo. a) Todos amam Jerry y
6 Exercícios Rosen (59) 9) Considere L(x,y) como a proposição x ama y, em que o domínio para x e y são todas as pessoas do mundo. Use quantificadores para expressar cada proposição abaixo. a) Todos amam Jerry x L(x,Jerry) y
7 Exercícios Rosen (59) 9) Considere L(x,y) como a proposição x ama y, em que o domínio para x e y são todas as pessoas do mundo. Use quantificadores para expressar cada proposição abaixo. b) Todas as pessoas amam alguém?????
8 Exercícios Rosen (59) 9) Considere L(x,y) como a proposição x ama y, em que o domínio para x e y são todas as pessoas do mundo. Use quantificadores para expressar cada proposição abaixo. b) Todas as pessoas amam alguém x y L(x,y)
9 Exercícios Rosen (59) 9) Considere L(x,y) como a proposição x ama y, em que o domínio para x e y são todas as pessoas do mundo. Use quantificadores para expressar cada proposição abaixo. c) Há alguém que é amado por todos??????
10 Exercícios Rosen (59) 9) Considere L(x,y) como a proposição x ama y, em que o domínio para x e y são todas as pessoas do mundo. Use quantificadores para expressar cada proposição abaixo. c) Há alguém que é amado por todos y x L(x,y)
11 Rosen (59) 9. Considere L(x,y) como a proposição x ama y, em que o domínio para x e y são todas as pessoas do mundo. Use quantificadores para expressar cada proposição abaixo. d) Ninguém ama todos
12 Rosen (59) 9. Considere L(x,y) como a proposição x ama y, em que o domínio para x e y são todas as pessoas do mundo. Use quantificadores para expressar cada proposição abaixo. d) Ninguém ama todos Existe alguém que ama todo mundo x y L(x,y) Se isso não for verdade então Ninguém ama todos
13 Rosen (59) 9. Considere L(x,y) como a proposição x ama y, em que o domínio para x e y são todas as pessoas do mundo. Use quantificadores para expressar cada proposição abaixo. d) Ninguém ama todos ~ x y L(x,y) Existe alguém que ama todo mundo x y L(x,y) Se isso não for verdade então Ninguém ama todos
14 Rosen (59) 9. Considere L(x,y) como a proposição x ama y, em que o domínio para x e y são todas as pessoas do mundo. Use quantificadores para expressar cada proposição abaixo. d) Ninguém ama todos ~ x y L(x,y) e) Há alguém a quem Lídia não ama Reescrevendo: Lidia não ama alguém: y ~L(Lidia,y)
15 Rosen (59) 9. Considere L(x,y) como a proposição x ama y, em que o domínio para x e y são todas as pessoas do mundo. Use quantificadores para expressar cada proposição abaixo. d) Ninguém ama todos ~ x y L(x,y) e) Há alguém a quem Lídia não ama y ~L(Lidia,y) f) Há alguém a quem ninguém ama Reescrevendo: Há alguém a quem todos não amam y x ~L(x,y)
16 Exercícios Rosen (59) 9) Considere L(x,y) como a proposição x ama y, em que o domínio para x e y são todas as pessoas do mundo. Use quantificadores para expressar cada proposição abaixo. i) Todos amam a si próprio????
17 Exercícios Rosen (59) 9) Considere L(x,y) como a proposição x ama y, em que o domínio para x e y são todas as pessoas do mundo. Use quantificadores para expressar cada proposição abaixo. i) Todos amam a si próprio x L(x,x)
18 Exercícios Rosen (59) 11) Considere S(x) como o predicado x é um estudante, F(x) o predicado x é um membro da faculdade e A(x,y) o predicado x fez uma pergunta a y, em que o domínio são todas pessoas associadas a sua escola. Use quantificadores para expressar cada proposição a seguir. a) Lois fez uma pergunta ao professor Michaels
19 Exercícios Rosen (59) 11) S(x) = x é um estudante F(x) = x é um membro da faculdade A(x,y) = x fez uma pergunta a y Domínio {todas pessoas da sua escola} a) Lois fez uma pergunta ao professor Michaels A(x,y) Quem é?
20 Exercícios Rosen (59) 11) S(x) = x é um estudante F(x) = x é um membro da faculdade A(x,y) = x fez uma pergunta a y Domínio {todas pessoas da sua escola} a) Lois fez uma pergunta ao professor Michaels A(Lois,professor Michaels)
21 Exercícios Rosen (59) 11) S(x) = x é um estudante F(x) = x é um membro da faculdade A(x,y) = x fez uma pergunta a y Domínio {todas pessoas da sua escola} b) Todo estudante fez uma pergunta ao professor Gross A(x,y) Quem é?
22 Exercícios Rosen (59) 11) S(x) = x é um estudante F(x) = x é um membro da faculdade A(x,y) = x fez uma pergunta a y Domínio {todas pessoas da sua escola} b) Todo estudante fez uma pergunta ao professor Gross A(x,professor Gross) Quem é?
23 Exercícios Rosen (59) 11) S(x) = x é um estudante F(x) = x é um membro da faculdade A(x,y) = x fez uma pergunta a y Domínio {todas pessoas da sua escola} b) Todo estudante fez uma pergunta ao professor Gross A(x,professor Gross) Teremos que restringir o domínio...
24 Exercícios Rosen (59) 11) S(x) = x é um estudante F(x) = x é um membro da faculdade A(x,y) = x fez uma pergunta a y Domínio {todas pessoas da sua escola} b) Todo estudante fez uma pergunta ao professor Gross x(s(x) A(x,professor Gross)) Universal = Condicional!!!!
25 Exercícios Rosen (61) 26) Considere Q(x,y) como a proposição x+y = x-y. Se o domínio das duas variáveis forem todos os números inteiros, quais são os valores verdade? a) Q(1,1) =???
26 Exercícios Rosen (61) 26) Q(x,y) = x+y = x-y Domínio = Z a) Q(1,1) = Falso b) Q(2,0) =????
27 Exercícios Rosen (61) 26) Q(x,y) = x+y = x-y Domínio = Z a) Q(1,1) = Falso b) Q(2,0) = Verdade c) yq(1,y) =?????
28 Exercícios Rosen (61) 26) Q(x,y) = x+y = x-y Domínio = Z a) Q(1,1) = Falso b) Q(2,0) = Verdade c) yq(1,y) = Falso d) xq(x,2) =????
29 Exercícios Rosen (61) 26) Q(x,y) = x+y = x-y Domínio = Z a) Q(1,1) = Falso b) Q(2,0) = Verdade c) yq(1,y) = Falso d) xq(x,2) = Falso e) x yq(x,y) =????
30 Exercícios Rosen (61) 26) Q(x,y) = x+y = x-y Domínio = Z a) Q(1,1) = Falso b) Q(2,0) = Verdade c) yq(1,y) = Falso d) xq(x,2) = Falso e) x yq(x,y) = Verdade, letra b) f ) x yq(x,y) =????
31 Exercícios Rosen (61) 26) Q(x,y) = x+y = x-y Domínio = Z a) Q(1,1) = Falso b) Q(2,0) = Verdade c) yq(1,y) = Falso d) xq(x,2) = Falso e) x yq(x,y) = Verdade, letra b) f ) x yq(x,y) = Verdade. Qual? g) y xq(x,y) =????
32 Exercícios Rosen (61) 26) Q(x,y) = x+y = x-y Domínio = Z a) Q(1,1) = Falso b) Q(2,0) = Verdade c) yq(1,y) = Falso d) xq(x,2) = Falso e) x yq(x,y) = Verdade, letra b) f ) x yq(x,y) = Verdade. Qual? g) y xq(x,y) = Verdade. Qual?
33 Exercícios Rosen (61) 26) Q(x,y) = x+y = x-y Domínio = Z a) Q(1,1) = Falso h) y xq(x,y) = F b) Q(2,0) = Verdade i) x yq(x,y) =??? c) yq(1,y) = Falso d) xq(x,2) = Falso e) x yq(x,y) = Verdade, letra b) f ) x yq(x,y) = Verdade. Qual? g) y xq(x,y) = Verdade. Qual?
34 Exercícios Rosen (61) 26) Q(x,y) = x+y = x-y Domínio = Z a) Q(1,1) = Falso h) y xq(x,y) = F b) Q(2,0) = Verdade i) x yq(x,y) = F c) yq(1,y) = Falso d) xq(x,2) = Falso e) x yq(x,y) = Verdade, letra b) f ) x yq(x,y) = Verdade. Qual? g) y xq(x,y) = Verdade. Qual?
35 Rosen (61) 30) Reescrever cada uma das proposições para que as negações apareçam apenas inseridas nos predicados (ou seja, nenhuma negação esteja do lado de fora de um quantificador ou de uma expressão que envolva conectivos lógicos). Aplicação direta das leis de De Morgan
36 O que foi visto até agora... Predicado Proposição Quantificadores Conjuntos Quantificadores com restrição Operações Lógicas com predicados Quantificadores Agrupados Negando Quantificadores Equivalências Lógicas Tradução
37 Regras de Inferências Regras de Inferências para sentença quantificadas: Instanciação Universal Generalização Universal Instanciação Existencial Generalização Existencial
38 Instanciação Universal Premissa: xp(x) é verdade Conclusão: P(a) é verdade, onde a é um elemento qualquer do domínio.
39 Instanciação Universal Premissa 1: Todo homem é mortal Premissa 2: Sócrates é homem Logo...
40 Instanciação Universal Premissa 1: Todo homem é mortal Premissa 2: Sócrates é homem Logo... Sócrates é mortal
41 Generalização Universal Premissa: P(a) é verdade para um a qualquer Conclusão: xp(x) é verdade Pode ocasionar raciocínios incorretos.
42 Instanciação Existencial Premissa: xp(x) é verdade Conclusão: P(a) é verdade, onde a é um elemento selecionado do domínio.
43 Generalização Existencial Premissa: P(a) é verdade para um a especifico. Conclusão: xp(x) é verdade
44 Provando Argumentos P1: Todos os alunos da classe de Fundamentos 1 estão no curso de Computação. D(x) = x está na classe de Fundamentos 1 C(x) = x está no curso de Computação Domínio = {pessoas da universidade} Traduzindo...
45 Provando Argumentos P1: Todos os alunos da classe de Fundamentos 1 estão no curso de Computação. D(x) = x está na classe de Fundamentos 1 C(x) = x está no curso de Computação Domínio = {pessoas da universidade} Traduzindo x(d(x) C(x))
46 Provando Argumentos P1: x(d(x) C(x)) P2: Diego é um aluno da classe de Fundamentos 1. D(x) = x está na classe de Fundamentos 1 C(x) = x está no curso de Computação Domínio = {pessoas da universidade} Traduzindo...
47 Provando Argumentos P1: x(d(x) C(x)) P2: Diego é um aluno da classe de Fundamentos 1. D(x) = x está na classe de Fundamentos 1 C(x) = x está no curso de Computação Domínio = {pessoas da universidade} Traduzindo D(Diego)
48 Provando Argumentos P1: x(d(x) C(x)) P2: D(Diego). Aplicar Instanciação Universal em P1...
49 Provando Argumentos P1: x(d(x) C(x)) P2: D(Diego). 3: D(Diego) C(Diego) Aplicar Modus Ponens em P2 e 3.
50 Provando Argumentos P1: x(d(x) C(x)) P2: D(Diego). 3: D(Diego) C(Diego) 4: C(Diego) Concluímos que... D(x) = x está na classe de Fundamentos 1 C(x) = x está no curso de Computação
51 Provando Argumentos P1: x(d(x) C(x)) P2: D(Diego). 3: D(Diego) C(Diego) 4: C(Diego) Concluímos que: Diego está no curso de computação
52 Provando Argumentos P1: x(d(x) C(x)) P2: D(Diego). 3: D(Diego) C(Diego) 4: C(Diego) Modus Ponens Universal Concluímos que: Diego está no curso de computação
53 Exercício Um estudante desta classe não tem lido o livro. Todos nesta classe fizeram a prova 1 Logo, alguém fez a prova 1 sem ter lido o livro. Mostre que o argumento é válido.
54 Exercício Um estudante desta classe não tem lido o livro. Todos nesta classe fizeram a prova 1 Logo, alguém fez a prova 1 sem ter lido o livro. Domínio = {todas as pessoas} C(x) = x é estudante desta classe B(x) = x tem lido o livro P(x) = x fez a prova 1 Traduzindo a Premissa 1
55 Exercício x(c(x) ^ ~B(x)) Todos nesta classe fizeram a prova 1 Logo, alguém fez a prova 1 sem ter lido o livro. Domínio = {todas as pessoas} C(x) = x é estudante desta classe B(x) = x tem lido o livro P(x) = x fez a prova 1
56 Exercício x(c(x) ^ ~B(x)) Todos nesta classe fizeram a prova 1 Logo, alguém fez a prova 1 sem ter lido o livro. Domínio = {todas as pessoas} C(x) = x é estudante desta classe B(x) = x tem lido o livro P(x) = x fez a prova 1 Traduzindo a Premissa 2
57 Exercício x(c(x) ^ ~B(x)) x(c(x) P(x)) Logo, alguém fez a prova 1 sem ter lido o livro. Domínio = {todas as pessoas} C(x) = x é estudante desta classe B(x) = x tem lido o livro P(x) = x fez a prova 1
58 Exercício x(c(x) ^ ~B(x)) x(c(x) P(x)) Logo, alguém fez a prova 1 sem ter lido o livro. Domínio = {todas as pessoas} C(x) = x é estudante desta classe B(x) = x tem lido o livro P(x) = x fez a prova 1 Traduzindo a Conclusão
59 Exercício x(c(x) ^ ~B(x)) x(c(x) P(x)) Logo, x(p(x)^~b(x)) Domínio = {todas as pessoas} C(x) = x é estudante desta classe B(x) = x tem lido o livro P(x) = x fez a prova 1
60 Exercício x(c(x) ^ ~B(x)) x(c(x) P(x)) Logo, x(p(x)^~b(x)) Provando... 1) x(c(x) ^ ~B(x)) 2) x(c(x) P(x)) 3)?????? 1 Instanciação Existencial
61 Exercício x(c(x) ^ ~B(x)) x(c(x) P(x)) Logo, x(p(x)^~b(x)) Provando... 1) x(c(x) ^ ~B(x)) 2) x(c(x) P(x)) 3) C(a) ^ ~B(a) 1 Instanciação Existencial
62 Exercício x(c(x) ^ ~B(x)) x(c(x) P(x)) Logo, x(p(x)^~b(x)) Provando... 1) x(c(x) ^ ~B(x)) 2) x(c(x) P(x)) 3) C(a) ^ ~B(a) 1 Instanciação Existencial 4)??? 3 Simplificação
63 Exercício x(c(x) ^ ~B(x)) x(c(x) P(x)) Logo, x(p(x)^~b(x)) Provando... 1) x(c(x) ^ ~B(x)) 2) x(c(x) P(x)) 3) C(a) ^ ~B(a) 1 Instanciação Existencial 4) C(a) 3 Simplificação
64 Exercício x(c(x) ^ ~B(x)) x(c(x) P(x)) Logo, x(p(x)^~b(x)) Provando... 1) x(c(x) ^ ~B(x)) 2) x(c(x) P(x)) 3) C(a) ^ ~B(a) 1 Instanciação Existencial 4) C(a) 3 Simplificação 5)???? 3 Simplificação
65 Exercício x(c(x) ^ ~B(x)) x(c(x) P(x)) Logo, x(p(x)^~b(x)) Provando... 1) x(c(x) ^ ~B(x)) 2) x(c(x) P(x)) 3) C(a) ^ ~B(a) 1 Instanciação Existencial 4) C(a) 3 Simplificação 5) ~B(a) 3 Simplificação
66 Exercício Logo, x(p(x)^~b(x)) Provando... 1) x(c(x) ^ ~B(x)) 2) x(c(x) P(x)) 3) C(a) ^ ~B(a) 1 Instanciação Existencial 4) C(a) 3 Simplificação 5) ~B(a) 3 Simplificação 6)??? 2 Instanciação Universal
67 Exercício Logo, x(p(x)^~b(x)) Provando... 1) x(c(x) ^ ~B(x)) 2) x(c(x) P(x)) 3) C(a) ^ ~B(a) 1 Instanciação Existencial 4) C(a) 3 Simplificação 5) ~B(a) 3 Simplificação 6) C(a) P(a) 2 Instanciação Universal
68 Exercício Logo, x(p(x)^~b(x)) Provando... 1) x(c(x) ^ ~B(x)) 2) x(c(x) P(x)) 3) C(a) ^ ~B(a) 1 Instanciação Existencial 4) C(a) 3 Simplificação 5) ~B(a) 3 Simplificação 6) C(a) P(a) 2 Instanciação Universal 7)??? 4,6 Modus Ponens
69 Exercício Logo, x(p(x)^~b(x)) Provando... 1) x(c(x) ^ ~B(x)) 2) x(c(x) P(x)) 3) C(a) ^ ~B(a) 1 Instanciação Existencial 4) C(a) 3 Simplificação 5) ~B(a) 3 Simplificação 6) C(a) P(a) 2 Instanciação Universal 7) P(a) 4,6 Modus Ponens
70 Exercício Provando... 1) x(c(x) ^ ~B(x)) 2) x(c(x) P(x)) 3) C(a) ^ ~B(a) 1 Instanciação Existencial 4) C(a) 3 Simplificação 5) ~B(a) 3 Simplificação 6) C(a) P(a) 2 Instanciação Universal 7) P(a) 4,6 Modus Ponens 8)???? 5,7 Conjunção
71 Exercício Provando... 1) x(c(x) ^ ~B(x)) 2) x(c(x) P(x)) 3) C(a) ^ ~B(a) 1 Instanciação Existencial 4) C(a) 3 Simplificação 5) ~B(a) 3 Simplificação 6) C(a) P(a) 2 Instanciação Universal 7) P(a) 4,6 Modus Ponens 8) P(a) ^ ~B(a) 5,7 Conjunção
72 Exercício 1) x(c(x) ^ ~B(x)) 2) x(c(x) P(x)) 3) C(a) ^ ~B(a) 1 Instanciação Existencial 4) C(a) 3 Simplificação 5) ~B(a) 3 Simplificação 6) C(a) P(a) 2 Instanciação Universal 7) P(a) 4,6 Modus Ponens 8) P(a) ^ ~B(a) 5,7 Conjunção 9)??? 8 General. Existencial
73 Exercício 1) x(c(x) ^ ~B(x)) 2) x(c(x) P(x)) 3) C(a) ^ ~B(a) 1 Instanciação Existencial 4) C(a) 3 Simplificação 5) ~B(a) 3 Simplificação 6) C(a) P(a) 2 Instanciação Universal 7) P(a) 4,6 Modus Ponens 8) P(a) ^ ~B(a) 5,7 Conjunção 9) x(p(x) ^ ~B(x)) 8 General. Existencial
74 Exercício 1) x(c(x) ^ ~B(x)) 2) x(c(x) P(x)) 3) C(a) ^ ~B(a) 1 Instanciação Existencial 4) C(a) 3 Simplificação 5) ~B(a) 3 Simplificação 6) C(a) P(a) 2 Instanciação Universal 7) P(a) Onde 4,6 Modus queríamos Ponens chegar 8) P(a) ^ ~B(a) 5,7 Conjunção 9) x(p(x) ^ ~B(x)) 8 General. Existencial
75 Perguntas????
76 Exercícios para a mente. Rosen pg 73 Exercício 16
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