2014/1S EP33D Matemática Discreta

Transcrição

1 014/1S EP33D Matemática Discreta Avaliação Substitutiva 01 Data: 1/05/014 Início: 13h00min Duração:,5 horas (3 aulas) INFORMAÇÕES: (i) a prova é individual; (ii) qualquer forma de consulta ou auxílio à consulta não autorizada acarretará no recolhimento imediato da prova e anulação da mesma; (iii) questões incompletas serão desconsideradas; (iv) o respeito à notação matemática e ao rigor científico, a interpretação das questões e a claridade na exposição fazem parte da avaliação; (v) formulários não são permitidos; Nome: GABARITO Nota: (Valor: 10,0) Problema 1. [1,5] (a) Determine se (p q) r e (p r) (q r) são equivalentes, fundamentando sua resposta. (b) Justifique por que a demonstração por contraposição da proposição condicional Se P, então Q. é válida. (a) Duas proposições P e Q são ditas equivalentes se P Q é uma tautologia. Verificamos, pois, se P:(p q) r e Q:(p r) (q r) são equivalentes analisando a tabela-verdade abaixo: p q r p q P:(p q) r p r q r Q:(p r) (q r) P Q V V V V V V V V V V V F V F F F F V V F V F V V V V V V F F F V F V F F F V V F V V V V V F V F F V V F F F F F V F V V V V V F F F F V V V V V Vê-se, claramente, pela última coluna que P Q não é uma tautologia. Portanto, P:(p q) r e Q:(p r) (q r) não são equivalentes. (b) A demonstração por contraposição de P Q se dá pela demonstração direta de Q P. Esta é uma estratégia de demonstração válida pois (P Q) ( Q P) é uma tautologia. Isto é, P Q Q P, como pode ser verificado pela última coluna da tabela-verdade abaixo: P Q P Q Q P Q P (P Q) ( Q P) V V V F F V V V F F V F F V F V V F V V V F F V V V V V 1

2 Problema. [1,5] Considere S(x) como o predicado x é um estudante, F(x) o predicado x é um membro da faculdade e A(x,y) o predicado x fez uma pergunta a y, em que os domínios são todas as pessoas associadas a uma certa instituição de ensino. Expresse as seguintes proposições utilizando, quando necessário, quantificadores: a) Lois fez uma pergunta ao professor Michaels. b) Todo estudante fez uma pergunta ao professor Gross. c) Todo membro da faculdade ou fez uma pergunta ao professor Miller ou foi questionado pelo professor Miller. d) Algum estudante não fez nenhuma pergunta a qualquer membro da faculdade. e) Há um membro da faculdade que nunca recebeu uma pergunta de um estudante. f) Há um membro da faculdade que fez uma pergunta a outro membro da faculdade. a) A(Lois, professor Michaels). b) x[s(x) A(x, professor Gross)]. c) y{f(y) [A(y, professor Miller) A(professor Miller, y)]}. d) x{s(x) y[f(y) A(x,y)]} e) y{f(y) x[s(x) A(x,y)]} f) x{f(x) y{[f(y) (x y)] A(x,y)}}

3 Problema 3. [1,0] Suponha que o domínio da função proposicional P(x,y) são os pares x e y em que x é 1 ou e y é 1, ou 3. Desenvolva as proposições abaixo usando disjunções e/ou conjunções: a) x yp(x, y) b) x yp(x, y) c) x yp(x, y) d) y xp(x, y) (a) A proposição afirma que P(x,y) é verdadeira para todo x e todo y. Assim, x yp(x,y) P(1,1) P(1,) P(1,3) P(,1) P(,) P(,3). Note que o termo à direita é verdadeiro apenas se todos os termos são verdadeiros. (b) A proposição afirma que P(x,y) é verdadeira para pelo menos um par de x e y. Assim, x yp(x,y) P(1,1) P(1,) P(1,3) P(,1) P(,) P(,3). Note que o termo à direita é verdadeiro se algum dos termos é verdadeiro. (c) A proposição afirma que existe um x tal que P(x,y) é verdadeira para todos os y. Assim, x yp(x,y) [P(1,1) P(1,) P(1,3)] [P(,1) P(,) P(,3)]. Note que cada proposição entre colchetes é verdadeiro somente se todos seus termos forem verdadeiros e a proposição completa é verdadeira se ao menos um dos termos entre colchetes for verdadeiro. (d) A proposição afirma que para todo y existe um x tal que P(x,y) é verdadeira. Assim, y xp(x,y) [P(1,1) P(,1)] [P(1,) P(,)] [P(1,3) P(,3)]. Note que a proposição acima é verdadeira apenas se todas as proposições entre colchetes forem verdadeiras e, cada uma dessas, é verdadeira se ao menos um de seus termos for verdadeiro. 3

4 Problema 4. [,0] Demonstre, utilizando a indução matemática, a inequação de Bernoulli, dada por 1+nh (1+h) n, em queh> 1 é um número real enéqualquer número inteiro não negativo. Justifique seus argumentos (indicando os passos base e indutivo e a hipótese indutiva). A demonstração por indução da desigualdade apresentada consiste na verificação do passo base, isto é, na demonstração por verificação direta de sua validade para n=0 (menor inteiro para qual a proposição deve ser válida), e na verificação do passo indutivo. Essa última é feita a partir da hipótese indutiva que a inequação é válida para algum inteiro n 0 e demonstrando-se que Passo base: 1+nh (1+h) n 1+(n+1)h (1+h) n h=1 1=(1+h) 0 Como 1 1 é verdadeiro, o passo base está completado. Passo indutivo: Assumindo a hipótese indutiva e somando-se h em ambos os lados da inequação, temos 1+nh+h (1+h) n +h 1+(n+1)h (1+h) n +h. Notemos agora que, para qualquer n 0, temos que e h 0 (1+h) n 1 h(1+h) n h 1<h<0 (1+h) n 1 h(1+h) n h. (observe que no último caso, a multiplicação por h inverte a inequação pois h é negativo). Assim, em todos os casos, Portanto, vemos que Pela transitividade da desigualdade, Logo, h h(1+h) n. 1+(n+1)h (1+h) n +h (1+h) n +h(1+h) n. 1+(n+1)h (1+h) n +h(1+h) n =(1+h)(1+h) n. 1+(n+1)h (1+h) n+1, completando o passo indutivo e, consequentemente, a demonstração. 4

5 Problema 5. [4,0] Demonstre as proposições condicionais abaixo, explicando seus passos. Em cada item, indique explicitamente a(s) técnica(s) de demonstração utilizada(s). a) Se você pegar 3 meias de uma gaveta, que contém apenas meias azuis e meias pretas, então você deve pegar ou um par de meias azuis ou um par de meias pretas. b) Se a e b são números reais, então as afirmações a é menor que b, a média de a e b é maior que a e a média de a e b é menor que b são equivalentes. c) Se x e y são números reais, então x+y x + y. d) Se m, n e p são números inteiros tal que m+n é par e n+p é par, então m+p é par. (a) Demonstração por contradição. Assuma que 3 meias foram retiradas da gaveta e nenhum par foi formado. Assim, no máximo, uma meia de cada cor foi retirada. Portanto, no máximo, apenas duas mais foram retiradas (pois existem apenas duas cores), contradizendo a hipótese de que 3 meias foram retiradas. Logo, se 3 meias foram retiradas, um par deve ser formado. (b) Sejam p, q e r as proposições p:a<b, q: a+b >a, r: a+b <b. A equivalência entre p, q e r pode ser demonstrada verificando-se que p q r p. Assim: p q, demonstração direta: q r, demonstração direta: p:a<b a+a<b+a a<a+b a< a+b :q q: a+b >a a+b r p, demonstração direta: + b >a+ b a +b a >a+ b a b> a+b :r r: a+b Como p q, q r e r p, temos que p q r. <b a+b<b a+b b<b b a<b:p. (c) A demonstração da desigualdade triangular se dá por demonstrações diretas por casos, lembrando que { x se x 0 x = x se x<0. i. Caso x 0 e y 0 (x+y) 0 Assim, x =x, y =y e x+y =(x+y)=x+y. Portanto, x+y=x+y x + y = x+y. 5

6 ii. Caso x<0 e y<0 (x+y)<0 Assim, x = x, y = y e x+y = (x+y)= x y. Portanto, x+y=x+y x y= x y ( x)+( y)= (x+y) x + y = x+y. iii. Caso x<0 e y 0 com x y (x+y) 0 Assim, x = x, y =y e x+y =x+y. Portanto, x<0 x<0 x< x x+y< x+y x+y < x + y. iv. Caso x<0 e y 0 com x >y (x+y)<0 Assim, x = x, y =y e x+y = (x+y)= x y. Portanto, y 0 y 0 y y x+y x y x + y x+y. Como os casos (iii) e (iv) são simétricos pela troca x por y, temos que x + y x+y em todos os casos. Portanto, a desigualdade triangular é válida para quaisquer reais x e y. (d) Demonstração direta. Da hipótese que m+n e n+p são pares, temos que existem k,l Z tais que Somando ambas as equações, temos m+n=k e n+p=l. m+n+n+p=k+l m+p+n=(k+l) m+p=(k+l n) m+p=t em que k+l n=t Z. Portanto, m+n é par. 6