Departamento de Matemática da Universidade de Aveiro Matemática Discreta. A prova consta de 4 questões cada uma cotada com 5 valores.

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1 Departamento de Matemática da Universidade de Aveiro Matemática Discreta Exame Final ( 2 a Chamada: 22/0/2007 Licenciatura em Matemática (8220 Mest. Int. Eng. Computadores e Telemática (8240 Informações e Instruções para os Estudantes: Duração da prova: 2h 0m. A prova consta de 4 questões cada uma cotada com 5 valores. Não serão corrigidas respostas escritas a lápis. Use esferográfica de cor azul ou preta. Não é permitido o uso de qualquer calculadora. Nas respostas, as expressões aritméticas podem ser deixadas numa forma do tipo 45. ( Justifique todas as respostas. Não efectue os cálculos finais mas explique todas as notações que utilizar e expressões que deixar por calcular (por exemplo, na expressão do ponto anterior, ( 2 significa combinações simples de 2 elementos a. Escreva de forma clara e concisa. O curso compõe-se de quatro grandes áreas: Lógica, Combinatória, Recorrência e funções geradoras e Teoria de grafos. Avaliação de Competências:. Conhecimento dos conceitos fundamentais e ferramentas da Matemática Discreta; 2. Aplicação da Lógica ao reconhecimento de raciocínios (ou deduções válidos e estratégias de Demonstração de Teoremas;. Capacidade de resolver problemas não conhecidos (variações de problemas/exemplos abordados nas aulas com as ferramentas matemáticas adquiridas no curso; 4. Conhecimento do modo como a matemática discreta se relaciona com outras áreas.. (a Mostre que para quaisquer conjuntos A, B e C se tem A (B C = (A B (A C. Será que também, para quaisquer conjuntos A, B e C se tem Justifique. A (B C = (A B (A C? (b Defina tautologia e verifique se a fórmula [(P Q ( P R] (Q R é uma tautologia. (c Considere o seguinte texto, que se refere a uma cadeira arbitrária do Departamento de Matemática: Se uma cadeira é fácil, alguns estudantes são felizes. Se uma cadeira tem exame, nenhum estudante é feliz. i. Exprima estas frases em lógica de primeira ordem. ii. Prove, usando o Princípio de Resolução, que se uma cadeira tem exame então ela não é fácil.

2 R: (a(*elementar* A (B C = A (B C ( definição = A (B C ( Leis de De Morgan = (A B (A C ( prop. distributiva da rel. à = (A B (A C ( definição 2 a Parte. Não. Basta mostrar um contra-exemplo. Tome-se A = {, 2}, B = {, } e C = {2, 4}. (b(*elementar* Uma fórmula composta é uma tautologia se tem valor lógico verdade para todas as interpretações das proposições atómicas que a compõe [C.f. Texto de Apoio Noções de Lógica Matemática, pg.4 ]. A tabela de verdade da fbf dada mostra que é uma tautologia. P Q R P Q P R (P Q ( P R Q R T T T T T T T T T F T F F T T F T T T T T T F F T F F F F T T T T T T F T F T T T T F F T F T F T F F F F T F F (b(*semelhante AO QUE SE FEZ NAS AULAS fácil*considerando que o C é o universo das cadeiras do D.M. e E o universo dos estudantes da UA. Sendo x: cadeira; y: estudante; Facil (x: cadeira x é fácil ; Feliz (y: estudante y é feliz ; Exame (x: cadeira x tem exame. a F x y(f acil(x F eliz(y F 2 x y(exame(x F eliz(y b Obtém-se, na forma standart de SKolem: F F 2 x( F acil(x F eliz(f(x x y( Exame(x F eliz(y Donde saem as Cláusulas: C : F acil(x F eliz(f(x C 2 : Exame(x F eliz(y META G: x(exame(x F acil(x x( Exame(x F acil(x G : x(exame(x F acil(x Donde saem as Cláusulas: M : Exame(g(x M 2 : F acil(g(x Tem-se C : F acil(x Exame(x ( de C, C 2, δ = { f(x y } C 7 : F acil(x ( de C, M, δ = { g(x x } C 8 : ( de C 7, M 2, δ = { g(x x }

3 Como F F 2 G é inconsistente, já que F F 2 G pode concluir-se que como se queria demonstrar. F, F 2 G 2. No Departmento de Ciências de Computação, existem professores. Seis deles preferem usar o Sistema Operativo Windows (Windows users, e os outros 7 preferem usar o Sistema Operativo UNIX (UNIX users. As questões seguintes referem-se a este grupo professores. (a De quantas maneiras podemos seleccionar um grupo de Windows users e 4 UNIX users? (b De quantas maneiras podemos seleccionar um grupo de 4 pessoas que inclua pelo menos um UNIX user? (c De quantas maneiras podemos seleccionar um grupo que contenha ambos os tipos de professores? (d De quantas maneiras podemos seleccionar um grupo de modo que o João (um dos Windows users e a Joana (uma das UNIX users não pertençam juntos ao grupo? R: (a (*ELEMENTAR* C(, 5 =!/(5!8! maneiras diferentes. (b (*ELEMENTAR*C(, C(7, 4 =!/(!! 7!/(4!! maneiras diferentes. (c (*FÁCIL* Calcular o número de todos os grupos possíveis de 4 pessoas e subtraír número de todos os grupos de 4 pessoas que não tenham UNIX users : C(, 4 C(, 4 =!/(9!4!!(4!2! maneiras diferentes. (d Solução mais fácil: calcular o número de todos os grupos possíveis e subtraír número de todos os grupos que contem o João e a Joana (os grupos incluem o João e a Joana mais qualquer subconjunto de professores : 2 2 = = 4 maneiras diferentes. Se pensarmos que o grupo vazio também pode ser contado (uma vez que não contém os dois elementos referidos, teremos 44 maneiras diferentes (para efeitos de classificação, ambas as respostas são consideradas correctas. (a Escreva a função geradora ordinária a 0 + a x + a 2 x 2 + como uma função racional para a sucessão dos números naturais a n = n. (b Mostre que a função racional f(x = x(x+ ( x por a n = n 2. (c Seja (a n n definida por a 0 = 0, a = α, e a n = a n 2 n 2 para n 2. é a função geradora da sucessão definida Obtenha a função geradora ordinária desta sucessão como soma de funções racionais. Use as respostas das questões anteriores. (d Obtenha uma fórmula fechada para a sucessão dada na alínea anterior. R: (a (*FÁCIL* Basta derivar x Obtém-se ( x 2 k= kxk. (b x k=0 xk e multiplicar ambos os membros por x. (*FÁCIL SE RESOLVER A ANTERIOR* Derivar de novo a expressão obtida, multiplicar por x e simplificar.

4 (c (*MÉTODO USADO NAS AULAS* Directamente: f(x = a 0 + a + f(x = = αx + a n x n (2a n 2 n 2 x n = αx + a n 2 x n n 2 x n = αx + x 2 a n 2 x n 2 n 2 x n x = (α + x + x 2 f(x (α + x x x 2 ( x 4 x(x + ( x (d (*MÉTODO USADO NAS AULAS* Como x 2 vem f(x = (α + x 2n+ { ( (α + 2+n O coeficiente de x n é a n = n ( 2+n n k=0 x2k e ( x 4 k=0 ( + n n se n é ímpar se n é par x n+. ( 4+k k x k, Outro Processo (*semelhante a uma questão da LEE#*: Raízes características: e -. Sol eq. homogénea: a n = A + B( n com A, B constantes a determinar. Uma sol. particular é do tipo :a (2 n = A n + A 2 n 2 + A n ( é raíz caracteristica. Substituíndo na equação dada, resulta um sistema (triangular cuja solução é A = 4/, A 2 =, A = /. Logo a (2 n = 4/n n 2 n, donde a n = A + B( n n(n + 2(n + 4 Usam-se as condições iniciais para determinar A e B: A = B = α/2. (Note que se obtem a mesma solução por qualquer dos processos usados! Verifique. 4. Considere a seguinte planta de uma casa (a Represente-a por um grafo G cujos vértices são as divisões da casa e os vértices estão ligados por uma aresta se e só se existe uma porta de ligação entre as duas divisões correspondentes. (b Determine um subgrafo induzido completo com um número máximo de vértices.

5 (c Suponha que cada aresta do grafo G tem um peso que é igual à soma das etiquetas dos seus vértices extremos. Determine um caminho mais curto de para 5. Indique o algoritmo que aplicou e apresente todos os passos resultantes da aplicação deste algoritmo. NOTA: Se não respondeu a (4a, considere o grafo dado a seguir para responder às restantes questões. 4 G 5 2 R:(a(*ELEMENTAR* (b O Grafo completo K 4 com vértices {, 2,, 4}. (c Trata-se de aplicar o agoritmo de Dijkstra. (Complete a resolução. Use se precisar: x k=0 xk ( x n k=0 ( n+k k x k -FIM-