UNIVERSIDADE DO ALGARVE ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA

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1 UNIVERSIDADE DO ALGARVE ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL REGIME NOCTURNO - º SEMESTRE - º ANO - 7 / 8 ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA º FREQUÊNCIA de Janeiro de 8 Duração: h min Sugestão: Justifique convenientemente TODOS os cálculos efectuados através de indicações concisas Questão [5 valores] Considere o conjunto V { v v v } onde v () v ( ) ) [] Verifique se o conjunto V é linearmente independente ) [] Verifique se o conjunto V gera ) [5] Justifique se V forma uma base para e v ( ) de Questão [ valores] Determine o subespaço vectorial associado ao sistema homogéneo justificando qual a dimensão do subespaço encontrado? Diga + Questão [55 valores] Considere a matri real A ) [] Determine os valores próprios da matri A ) [5] Tendo em conta os valores próprios encontrados diga justificando se A admite inversa Qual o valor do determinante de A? ) [] Indique os vectores próprios associados a Diga justificando qual dimensão do subespaço próprio associado a este valor próprio? Questão [ valores] Considere em os pontos A ( ) B ( ) C ( ) e o plano α : + y ) [] Verifique que os três pontos não são colineares Utiliando o produto eterno indique a área do triângulo cujos vértices são os pontos dados ) [5] Verifique se o plano ABC é paralelo ao plano α ) [] Determine o ponto do plano α mais próimo do ponto A Qual a distância de α a A? ) [5] Determine o ponto da recta AB mais próimo da origem 5) [5] Determine o volume da pirâmide de base triangular cujos vértices são a origem e os pontos de intersecção do plano α com os eios 6) [5] Determine os pontos da recta CO que distam unidades do plano α /

2 Possível resolução da ª frequência (nocturno) de ALGA de Janeiro de 8 Questão [5 valores] Considere o conjunto V { v v v } onde v () v ( ) ) [] Verifique se o conjunto V é linearmente independente e v ( ) de Resolução: Como os vectores do conjunto V formam uma matri A ( ) basta estudar o valor de A Como A V é um conjunto linearmente independente OU devemos estudar o sistema homogéneo AX (que tem solução trivial se A ) k v + k v + k v k ( ) + k ( ) + k ( ) ( ) k + k k k ( k + k k k + kk + k + k ) () k + k k k k k + + k logo o conjunto V é linearmente independente ) [] Verifique se o conjunto V gera Resolução: Devemos determinar se um vector arbitrário u ( u u u ) de pode ser epresso como uma combinação linear dos vectores v v e v isto é u k v + kv + kv Epressando esta equação em termos das suas componentes vem ( u u u ) k () + k () + k ( ) ( u u u ) ( k + k k k + k k + k + k ) k + k k u k + k u k + k + k u O problema redu-se então a determinar se este sistema é possível e determinado para todos os valores de u u e u isto acontece sse o determinante da matri dos coeficientes A for diferente de ero Como o determinante da matri do sistema é A os vectores v v e v geram Para se saber a forma da combinação linear temos que resolver o sistema anterior em ordem às variáveis k k e k Condensando a matri ampliada do sistema vem u u u A u u + u u u u 5 u u u u + u O sistema original é equivalente a L L + L L L L + ( L L + L ) /7

3 Possível resolução da ª frequência (nocturno) de ALGA de Janeiro de 8 u + u u k k + k k u k + k k u u 5u + u k + k u k k u u k k + k + k u k u u + u u u + u k estas são as epressões de k k e k na combinação linear u kv + kv + kv Por eemplo para u () vem k k e k como ( u u u ) ( k + k k k + kk + k + k ) então u () ( + ) ) [5] Justifique se V forma uma base para Resolução: Um conjunto V é uma base para o espaço vectorial E sse: V for um conjunto linearmente independente; V geral E Contudo como é um espaço vectorial de dimensão e V é um subconjunto de eactamente vectores então V é uma base de independente se V gerar Donde se conclui que o conjunto V forma uma base para com ou se for um conjunto linearmente pois por eemplo é um conjunto LI Questão [ valores] Determine o subespaço vectorial associado ao sistema homogéneo justificando qual a dimensão do subespaço encontrado? Diga + Resolução: A solução do sistema é um subespaço de Condensando a matri do sistema donde Assim o espaço solução do sistema é S {( ) : } o subespaço vectorial associado ao sistema homogéneo /7

4 Possível resolução da ª frequência (nocturno) de ALGA de Janeiro de 8 Para determinar a dimensão do subespaço vamos determinar uma base para este subespaço para isso temos que encontrar um conjunto de vectores linearmente independente que gera S Qualquer vector de S pode ser escrito como combinação linear de vectores de S (um vector para cada parâmetro e cada vector depende apenas de um parâmetro) ou seja (epressão geral das soluções do sistema) ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) Assim o conjunto B { v v } com v ( ) conjunto é linearmente independente pois e v ( ) gera S Para além disso este ( ) + ( ) () ( ) () Portanto v e v formam uma base B { v v } para S A dimensão do subespaço é pois as bases tem vectores Questão [55 valores] Considere a matri real A ) [] Determine os valores próprios da matri A Resolução: Para calcular os valores próprios da matri A temos que resolver o sistema A I ( ) ( )(( )( )( ) ( )) ( )(( )[( )( ) ] Os valores próprios são ) [5] Tendo em conta os valores próprios encontrados diga justificando se A admite inversa Qual o valor do determinante de A? Resolução: Como eiste a matri não admite inversa A i i /7

5 Possível resolução da ª frequência (nocturno) de ALGA de Janeiro de 8 ) [] Indique os vectores próprios associados a Diga justificando qual dimensão do subespaço próprio associado a este valor próprio? Resolução: Para vem donde ( A I) X X Os vectores próprios associados a são os vectores do tipo [ ] T [ ] X com \ {} O subespaço próprio é E {[ ] T } e uma base é X [ ] (porquê?) A dimensão do subespaço é porque a base tem um vector T { } T Questão [ valores] Considere em os pontos A ( ) B ( ) C ( ) e o plano α : + y ) [] Verifique que os três pontos não são colineares Utiliando o produto eterno indique a área do triângulo cujos vértices são os pontos dados Resolução: Por eemplo como A os três pontos não são colineares OU como os vectores u AB B A ( ) ( ) ( ) e v AC C A ( ) ( ) ( ) não são escalares múltiplos (são linearmente independentes) os pontos não são colineares A área do triângulo é A u v onde u AB () e v AC ( ) como e e e u v 8e + e + 6e 8e 9e 8e e + e e ( ) vem A u v /7

6 Possível resolução da ª frequência (nocturno) de ALGA de Janeiro de 8 ) [] Verifique se o plano ABC é paralelo ao plano α Resolução: Podemos determinar a equação do plano ABC pois vimos na alínea anterior que os pontos A B e C não são colineares (definem um plano na alínea anterior calculámos a área de um triângulo formado pelos três pontos) A equação geral do plano é obtida resolvendo a equação y y + y + + y y y y 8( + ) + ( y + ) ( + ) 8( y + ) ( + ) + ( y + ) + y + OU um plano pode ser definido por um ponto e por um vector normal os vectores LI u AB ( ) e v AC ( ) são vectores directores do plano e da alínea anterior u v ( ) n Considerando o ponto C ( ) a equação do plano ABC é a( ) + b( y y ) + c( ) + ( y ) ( ) + y + A equação do plano definido pelos pontos A B e C é β : + y + Queremos verificar se este plano é paralelo ao plano α : + y Multiplicando esta equação vem α : + y + Como a b e c são proporcionais nas duas equações e os d s são diferentes concluímos que os planos são paralelos ) [] Determine o ponto do plano α mais próimo do ponto A Qual a distância de α a A? Resolução: O ponto do plano α mais próimo do ponto A ( ) é o ponto de intersecção de α : + y com uma recta r perpendicular a α que passa no ponto A ( ) Um vector normal a α é n ( ) que é director de r (pois o plano é perpendicular à recta) assim a equação vectorial da recta é r : ( y ) ( ) + ( ) O ponto de intersecção da recta com o plano é dado por y + y + y + y + y ( ) ( ) ou seja o ponto de α mais próimo de A () é o ponto P ( ) 5/7

7 Possível resolução da ª frequência (nocturno) de ALGA de Janeiro de 8 ( α ) ( ) + + uma ve P A ( ) ( ) ( ) 8 8 A distância pedida é d P P A ( ) ( ) ( ) 6 8 que OU a distância do ponto A ao plano α : + y é a + by + c + d ( ) + ( ) + + d( P α) a + b + c + + ( ) ( ) pois n ( a b c) ( ) e A y ( ) ( ) Portanto para calcular a distância pedida não seria necessário determinar o ponto do plano α mais próimo do ponto A ) [] Determine o ponto da recta AB mais próimo da origem Resolução: O ponto da recta AB mais próimo da origem é o ponto de intersecção da recta perpendicular a AB que passa na origem Sendo A ( ) e B ( ) a equação da recta AB é AB : ( y ) A + AB ( ) + () Queremos o ponto desta recta mais próimo da origem () Os pontos da recta AB são da forma P ( y ) ( + + ) a recta perpendicular a AB que passa na origem deve estar na relação OP v onde OP é um vector director da recta que passa na origem e v é um vector director da recta AB Assim OP v ( + + )( ) O ponto pretendido é ( y ) ( + + ) ( + + ) ( ) A distância deste ponto à origem é d( P O) ( ) ( ) ( ) ( ) OP que é precisamente a distância da recta AB à origem AO v ( ) ( ) (6 ) 7 d( O AB) v ( ) ( ) 7 6/7

8 Possível resolução da ª frequência (nocturno) de ALGA de Janeiro de 8 5) [] Determine o volume da pirâmide de base triangular cujos vértices são a origem e os pontos de intersecção do plano α com os eios Resolução: A origem é o ponto () as intersecções com os eios são P ( ) Py ( 6 ) e P ( ) respectivamente Precisamos três vectores para calcular o volume que é dado pelo produto misto Por eemplo P P y ( 6 ) ( ) ( 6 ) P P ( ) ( ) ( ) e e ( ) 6 V ( e P Py P P ) abs ) [5] Determine os pontos da recta CO que distam unidades do plano α Resolução: A distância dos pontos da recta ao plano é obtida através da fórmula d( P α) a + by + c + d a + b + c Sendo α : + y temos n ( a b c) ( ) e queremos a + by + c + d + y + d( P ) + y + α a + b + c ( ) + + ( ) Falta conhecer as coordenadas ( y ) dos pontos da recta que verificam a relação d( r α ) Como C ( ) e O () a recta CO tem equação r : ( y ) ( ) e as suas coordenadas estão na relação r : ( y ) () y y ou seja as coordenadas dos pontos da recta são do tipo ( ) Portanto d( r α ) + y ( ) ( + ) Concluímos que os ponto da recta CO que distam unidades do plano α são ( + ) ( ( )) e ( ( + )) ( ) 7/7