Este material se compõe de exercícios de Lógica relacionadas as disciplinas de Fundamentos de Matemática e Matemática Discreta..

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1 This is page i Printer: Opaque this 1 Lógica Este material se compõe de exercícios de Lógica relacionadas as disciplinas de Fundamentos de Matemática e Matemática Discreta Tabela Verdade 1. (FM-2003) O conectivo étalquep t t e p c c, onde p é uma proposição qualquer, t é uma tautologia e c é uma contradição. (a) Construa a tabela verdade de p q, para quaisquer proposições p e q. (b) O conectivo é comutativo? (c) Verifique se i) p p p ii) (p q) (p q q p). 2. (MD-2002) Determine, através de uma tabela-verdade, os valoresverdade da proposição (p q) r. Usando as proposições simples p, q, r, dê um exemplo de proposição equivalente à proposição dada. 3. (MD-2002) Construa a tabela-verdade da proposição abaixo e conclua, justificando, que ela é equivalente à proposição (q r p). (q r) (r p) (q p) 1.2 Método Dedutivo 1. (MD-2002) Verifique se as inferências abaixo são válidas (nesse caso apresente uma demonstração) ou inválidas (nesse caso apresente um contra-exemplo): q p q q p p 2. (MD-2002) Verifique se as inferências abaixo são válidas (nesse caso apresente uma demonstração) ou inválidas (nesse caso apresente um contra-exemplo): q r r p r q r r p

2 ii 1. Lógica 3. (FM-2003) Mostre que o seguinte argumento é válido: H 1 : A (B C) H 2 : C (D E) H 3 :( B D) F H 4 : F T : A 4. (FM-2003) Mostre que o seguinte argumento é válido: P (Q R),Q S, P U, (R X),S (X Y ), U ` Y, onde P, Q, R, S, U, X e Y são proposições quaisquer. 5. (FM-2003) Verifique se a proposição (p q) ( r p) q r é uma tautologia. Caso o seja, demonstre pelo método dedutivo e caso não seja apresente os valores lógicos de p, q e r que impedem de ser. 6. (MD-2001) Demonstre, justificando cada passo, a inferência p q r p r q. 7. (FM-2002) Mostre que (p q) r [(p r) (q r)], utilizando o método dedutivo. 8. (MD-2000) Valide o argumento A J = G, J = G, J B ` A = B. 9. Prove que os seguintes argumentos são válidos: a) T, T = Q, Q = S ` S. b) S Q, T = Q, T = R ` R. c) A = B, B = C, C ` A. d) A = C, C = M, M R, R ` A. e) P = Q, R = Q, ( P S) ` R S. f) P Q = R S, R S ` P = Q. g) P Q, R Q ` P = R. 10. (MD-1997)Compare os argumentos abaixo. Quais são válidos? Expliqueedêexemplos: P Q P Q P Q P Q

3 1. Lógica iii 1.3 Quantificadores 1. (FM-2003) Considerando N como universo de discurso e a proposição responda: ( x)( y)(q(x, y) p(x)) (a) Qual a negação da proposição acima? (b) Se p(x) :"x épar"eq(x, y) :"x =2y", qual o valor lógico da proposição do item (a)? 2. (FM-2003) Considere a seguinte proposição: ( x)( p(x)) [( x)( y)(q(x, y))]. (a) Apresente a sua negação. (b) Encontre o valor lógico da proposição obtida no item a), considereando o universo de discurso {1, 2, 3, 4}, asproposiçõesp(x) : x<5 e q(x, y) :x 2 +2y< (MD-2002) Escreva a negação da proposição abaixo e determine o valor-verdade da proposição obtida: ( x)( y)(p(x, y) q(x)), onde, no universo dos números inteiros, q(x) éopredicado"x épar" e p(x, y) éopredicado"x =2y". 4. (MD-2002) Escreva a negação da proposição abaixo: ( x)( y)(q(x, y) p(x)). Sabendo que, no universo dos números inteiros, p(x) é o predicado "x épar"eq(x, y) éopredicado"x =2y", determine o valor-verdade da proposição obtida. 5. Escreva (em português, não em linguagem lógica) a negação de cada sentença abaixo: (a) Todonúmerointeiroéumnúmeroreal. (b) Existe um número real que não é inteiro. (c) Alguns naturais são primos. (d) Nem todos os naturais são primos. (e) Todas as casas são feitas de tijolos. (f) Nenhum natural é primo. (g) Todo carro é ou branco ou preto.

4 iv 1. Lógica (h) Alguns carros são brancos por fora e pretos por dentro. (i) Existe um número natural que é par ou um quadrado perfeito. (j) Todo natural é ímpar ou um quadrado perfeito. 6. No universo dos números inteiros, considere o predicado s(x) : x 3 = x. Qual das seguintes proposições são verdadeiras (justifique): (a) s(o) (b) s( 1) (c) s(1) (d) ( x)(s(x)) (e) ( x)(s(x)) (f) (!x)(s(x)) 7. Considere o mesmo predicado s do exercício anterior, agora no universo {0, 1}, e determine os valores-verdade das seguintes proposições: (a) ( x)(s(x)) (b) (!x)(s(x)) (c) ( x)(s(x)) 8. No universo dos números inteiros Z, determine o valor-verdade de cada proposição abaixo (justifique a resposta): (a) ( x)( y)(x = y)] (b) ( x)( y)(xy = yx) (c) ( x)( y)(xy =1) (d) ( x)( y)(xy = x) (e) ( x)( y)(xy = y) (f) ( x)( y)( z)(xy = z) (g) ( x)( y)( z)(xy = z) 9. No universo dos números naturais N, escreva(usando quantificadores e, se necessário, conectivos lógicos) os seguintes predicados (siga o exemplo do item (a)): (a) p(n): n é par. (solução: ( k)(n =2k)) (b) i(n): n éímpar. (c) d(n, m): n divide m. (d) r(n): n éprimo(used(n, m) para indicar a propriedade do item anterior).

5 1. Lógica v (e) q(n): n é um quadrado perfeito (isto é, n é o quadrado de um número natural). 10. Expresse a negação de cada predicado do exercício anterior. 11. Usando os predicados p, i, d, r, q do exercício acima (sem descrevê-los novamente), conectivos lógicos e quantificadores, expresse cada uma das proposições abaixo (siga o primeiro exemplo): (a) Todo natural é par ou ímpar. (solução: ( n)(p(n) i(n))) (b) Se um quadrado perfeito é par, então ele é divisível por 4. (c) Sóexisteumnúmeroprimopar. (d) Se um primo divide o produto de dois números, então ele divide um dos dois números. (e) Há números primos pares, mas não há quadrados perfeitos primos. (f) Alguns números são divisíveis por 3 mas não por Ainda considerando os predicados p, i, d, r, q sobre N, determine os valores-verdade das seguintes proposições abaixo: (a) ( n)([p(n) i(n +1)]) (b) ( n)(r(n) d(3,n)) (c) ( n)(r(n) (d(n, 2) d(2,n)) (d) ( n)( m)((m 6= 1) q(m) d(m, n)) (e) ( n)( m)(q(m) d(n, m)) (f) ( n)( m)[((n = m 2 ) p(m)) q(m) p(n)] (g) ( n)(q(n) q(n +1)) 13. (MD-1997)Para cada das sentenças abaixo, determine valor verdade e faça as respectivas negações sem usar o conectivo. a) y x[2x = y] (universo: inteiros) b) x[(x 6= 1) (x 2 >x+1)] (universo: 1,2,3,...) 14. (MD-1997)Esceva em notação lógica o enuncido : Todo número natural é soma de 3 quadrados. Qual seu valor verdade( universo naturais: 0, 1, 2, 3,...? E qual a sua negacão( sem usarr o conectivo ).

6 vi 1. Lógica 1.4 Indução Finita 1. (MD-2001) Enuncie o Princípio de Indução Finita. 2. Mostre, utilizando indução finita, que as seguintes proposições são verdadeiras. (a) (FM-2002) n. (n +1)= n 3 (n +1). (n +2), n N. (b) (MD-1997) n = 3n(n+1) 2, n N. (c) (MD-1997) n = 3n+1 1 2, n N. (d) (MD-1997) 7 divide 2 3n 1, n N. (e) (MD-2001) n 3 = n2 4 (n +1)2, n N. (f) (MD-2001) n = n(n+1) 2, n N. (g) (FM-2003) 24 divide 5 2n 1, n N. (h) (FM-2003) n 2 > 2n +1,paratodonúmeron>n 0 pertencente aos Naturais, determinando o valor de n 0.