1.1 Propriedades Básicas
|
|
|
- Geovane di Castro Carrilho
- 9 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 1.1 Propriedades Básicas 1. Classi que as a rmações em verdadeiras ou falsas, justi cando cada resposta. (a) Se x < 2, então x 2 < 4: (b) Se x 2 < 4, então x < 2: (c) Se 0 x 2, então x 2 4: (d) Se x < 2, então x 3: (e) Se x = 3, então x 3: (f) Se jxj > 2, então x > 2: 2. Se p é um número ímpar, então p 2 também o é. Como consequência deduz-se que se p 2 é par, então p também é par. 3. O número p 2 não é racional. 4. Se p é um número inteiro, tal que p 2 é divisível por 3, mostre que p também o é. Use este fato para mostrar que o número p 3 não é racional. 5. O conjunto Q é fechado para soma e produto. (a) Mostre que a soma e o produto de dois números racionais é um número racional. (b) Dê exemplo de dois números irracionais x e y, tais que x + y e x y sejam racionais. 6. Sejam r um número racional e x um irracional. (a) Mostre que x + r é irracional. (b) Se r 6= 0, mostre que o produto x r é irracional. 7. Sejam x e y dois números irracionais, de tal forma que x 2 y 2 seja um racional não nulo. Mostre que os números x y e x + y são irracionais. Por exemplo, p 3 + p 2 e p p 3 2 são irracionais. 8. Reduza os números x = 5; 2121 : : : e y = 0; : : : à forma de fração ordinária. 9. Estude o sinal de cada uma das expressões abaixo. (a) x 1 (b) (2x + 1) (x 2) (c) 2 3x x 2 x + 2 (d) x (x 1) (2x + 3) (e) (2x 1) x (f) x x (g) x 6 x (h) x x 2 4
2 2 CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL MARIVALDO P. MATOS 1.2 Valor Absoluto & Desigualdades 1. Resolva as desigualdades. (a) x 2 4 > 0 (b) x (c) x 2 4 (d) x 2 > 1 (e) (x a) 2 < r 2 ; r 0: 2. Resolva as equações. (a) jxj = 2 (b) jx + 1j = 3 (c)j2x 1j = 1 (d) jx 2j = 1 q (e) j2x + 3j = 0 (f) jxj = 2x + 1 (g) j1 2xj = j3x + 5j (h) (x 4) 2 = 1 q q (i) (x 1) 2 = 5 (j) (2 x) 2 = 4 (k) x q 1 5x = 4 (l) x = ( 4) 2 3. As desigualdades abaixo envolvem produtos e quocientes e podem ser resolvidas por meio do estudo do sinal, como no Exercício 9 da Seção 1.1. (a) (4x + 7) 20 (2x + 8) < 0 (b) x (2x 1) (x + 1) > 0 (c) 3p x (d) 2x 1 x 3 > 5 x 2x 1 3x 2 (e) 3 (f) (2x 1) (x + 3) < 0 (g) < 0 (h) 2x 3 x x 0 (d) x2 9 x + 1 < 0 (j) (2x 1) x Resolva as Desigualdades. x 3 x > 5 (i) x2 4 x > 0: (a) x 2 3x + 2 < 0 (b) x 2 + x (c) 3x 2 + x 2 > 0 (d) 4x 2 4x (e) x > 0 (f) x 2 + x + 1 > 0 (g) x 2 5x (h) x (i) (x 2) (x + 3) (1 x) > 0 (j) x < 3x x 2 3 (k) x (x + 4) 2 (x 2) 4 < 0 (l) x 2 4 x 2 3x Dê o conjunto solução de cada uma das inequações modulares abaixo. (a) jxj 1 (b) j2x 1j < 3 (c) jxj > 3 (d) j3x + 3j 1=3 (e) 2x 2 1 < 1 (f) j3x 1j < 2 (g) jx + 3j 1 (h) j2x 1j < x (i) jx + 1j < j2x 1j (j) jx 2j jx 5j > x (k) (x 1) 3 < 1 (l) jx 1j + jx + 3j < j4xj 6. Duas desigualdades são ditas equivalentes, se possuem o mesmo conjunto de soluções. Com base nesta de nição, classi que os pares de desigualdades abaixo. (a) p x 1 < p 2 x e x 2 < 1 x: (b) x 2 > 1 e x 1 > 0: 7. Resolva os sistemas de inequações. (a) ( 8x 2 < x 1 2x 2 x 1 (b) ( 4x 2 4x 3 < 0 1=x 2 1
3 COMPLEMENTOS 1 NÚMEROS REAIS 3 8. Mostre que: (a) x + 1 2; 8 x > 0: x (b) Não existem números reais x e y, tais que 1 x + 1 y = 1 x + y : RESPOSTAS & SUGESTÕES 1.1 EXERCÍCIOS ::::::::::::: ::: & ::::::::::::::::::: COMPLEMENTOS :::: 1. Uma sentença falsa pode ser justi cada com um contra-exemplo, o qual consiste de dados que atendem à hipótese, mas, não à tese. Por exemplo, se a sentença x < 2 {z } hipótese ) x 2 < 4 {z } tese fosse verdadeira, ela seria válida em qualquer valor atribuído à variável x. Note que para x = 3 a hipótese é atendida, mas a tese não. Por outro lado, uma sentença verdadeira deve ser justi cada usando conceitos e/ou regras, sem particularizar os dados. Por exemplo, a sentença x 2 < 4 {z } hipótese ) x < 2 {z } tese é verdadeira. De fato: x 2 < 4 ) p x 2 < p 4 ) jxj < 2, 2 < x < 2 e, em particular, conclui-se que x < 2, que é a tese. (a) F (b) V (c) V (d) V (e) V (f) F. 2. Se p é ímpar, então existe um inteiro k, tal que p = 2k + 1. Logo, p 2 = (2k + 1) 2 = 2m + 1; onde m = 2k 2 + 2k; e, portanto, p 2 é um número ímpar. 3. DEMONSTRAÇÃO POR ABSURDO Uma Demonstração por Absurdo consiste em negar a Tese e chegar a uma contradição da Hipótese. Isso nada mais é do que a equivalência das sentenças [P ] ) [Q] e [ Q] ) [ P ] (1.1)
4 4 CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL MARIVALDO P. MATOS (em (1.1) Q indica a negativa da a rmação Q) Para provar que p 2 não é um número racional, raciocinemos por absurdo. Se p 2 fosse racional, ele se escreveria sob a forma irredutível p 2 = p=q, sendo p e q inteiros e q 6= 0: Assim, 2 = p2 q 2, p2 = 2q 2 : (1.2) De (1.2) segue que p e q são números pares, contradizendo a irredutibilidade da fração p q : 4. Mais uma vez usaremos a Demonstração por Absurdo. Se p não fosse divisível por 3, então o resto da divisão de p por 3 seria um inteiro r 6= 0, isto é, p = 3k + r e, por conseguinte, teríamos p 2 = 3 3k 2 + 2kr + r 2 = 3m + r 2 (1.3) Segue de (1.3) que o resto da divisão de p 2 por 3 não é zero, contradizendo a divisibilidade de p 2 por 3, que é a hipótese da sentença a ser provada. 5. Sejam r = p=q e s = m=n dois números racionais. (a) Temos: np + mq i. r + s = é racional (quociente de dois inteiros) e nq ii. r s = mp nq é racional. (b) Considere os irracionais x = p 2 e y = p 2. Então, x + y = 0 e x y = 2 são ambos racionais. 6. Seja r = p=q um número racional qualquer. (a) Se x + r fosse racional, então existiriam inteiros m e n; n 6= 0, tais que x + r = m=n. Assim, x + r = m n ) x = m n p q = mq np nq de onde deduzimos que x é racional (quociente de dois inteiros), contradizendo a hipótese. (b) Se o produto x r fosse racional, então x r = m n ) x = mq np e daí resultaria x racional, contradizendo a hipótese. 7. Por hipótese, x e y são irracionais e x 2 y 2 é um racional não nulo, de modo que podemos escrever (x y) (x + y) = p q : (1.4)
5 COMPLEMENTOS 1 NÚMEROS REAIS 5 Se, por exemplo, x y fosse racional, segue de (1.4) que x + y também seria racional e, portanto, x = 1 2 [(x y) + (x + y)] seria racional, contradizendo a hipótese. 8. x = 516=99 e y = 21486=99900: 9. Como ilustração, veja na Figura abaixo como se obtém o sinal da expressão (x 1) (x 2) : Vemos que a expressão (x 1) (x 2) é positiva se x < 1 ou x > 2 e é negativa se 1 < x < 2: positiva negativa zero inde nida (a) ( 1; 1) [ (2; +1) (1; 2) f1g x = 2 (b) ( 1; 1=2) [ (2; +1) ( 1=2; 2) f 1=2; 2g (c) ( 2; 2=3) ( 1; 2) [ (2=3; +1) f2=3g x = 2 (d) ( 3=2; 0) [ (1; 1) ( 1; 3=2) [ (0; 1) f0; 1; 3=2g (e) (1=2; +1) ( 1; 1=2) f1=2g (f) (0; +1) ( 1; 0) f0g 1.2 EXERCÍCIOS ::::::::::::: ::: & ::::::::::::::::::: COMPLEMENTOS :::: 1. (a) x 2 > 4, jxj > 2, x > 2 ou x < 2: (b) x 2 1, jxj 1, 1 x 1: (c) x 2 4, jxj 2, 2 x 2: (d) x > 1 ou x < 1: (e) (x a) 2 < r 2 ) jx aj < r, a r < x < a + r: 2. Decorre da de nição de Valor Absoluto que jj = a, = a: Esta é a propriedade a ser usada. (a) x = 2 (b) x = 2 ou x = 4 (c) x = 0 ou x = 1 (d)? (e) x = 3=2 (f) x = 1=3 (g) x = 4=5 ou x = 6 (h)? (i) x = 6 ou x = 4 (j) x = 2 ou x = 6 (k) x = 4=21 ou x = 4=19 (l) x = 4
6 6 CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL MARIVALDO P. MATOS 3. Expressemos as respostas na forma de intervalo. (a) Na expressão (4x + 7) 20 (2x + 8) vemos que o primeiro fator é positiva e a expressão será negativa quando 2x 8 < 0, isto é, x < 4. (b) 1 < x < 0 ou x > 1=2. Na forma de intervalo, temos ( 1; 0) [ (1=2; +1) : (c) [ 1; 1] : (d) (3; 14=3) : (e) ( 3; 1=2) : (f) ( 1; 3=2) [ (9=5; +1) : (g) ( 1; 1=2) : (h) ( 1; 2=3] [ (2; +1) : 4. No estudo do sinal do trinômio do segundo grau ax 2 + bx + c; a 6= 0, ressaltamos alguns fatos: Se o discriminante = b 2 4ac for negativo, então o trinômio terá o mesmo sinal do coe ciente a, seja qual for o valor que se atribua a x: Se > 0, então o trinômio terá duas raízes reais e distintas x 1 e x 2 e o sinal será o mesmo do coe ciente a, se o x não estiver entre as raízes x 1 e x 2 ; ele terá sinal contrário ao de a, se o x estiver entre as raízes Se = 0, o trinômio terá uma única raiz real x 0 e o sinal coincide com sinal de a, se x 6= x 0. Na gura abaixo ilustramos algumas situações. (a) x 2 3x + 2 < 0; = 1 > 0: As raízes são x 1 = 2 e x 2 = 1 e o trinômio será < 0 quando 1 < x < 2: O conjunto solução é S = (1; 2) ou S = fx 2 R : 1 < x < 2g : Veja a ilustração na gura abaixo.
7 COMPLEMENTOS 1 NÚMEROS REAIS 7 (b) x 2 + x + 1 0; = 3 < 0: Conjunto solução S =? (conjunto vazio). (c) 3x 2 + x 2 > 0; = 25 > 0: Conjunto solução S = ( 1; 1) [ (2=3; +1) : (d) 4x 2 4x + 1 0; = 0: Conjunto solução S = f1=2g (conjunto unitário). (e) x > 0; = 12 < 0: Conjunto solução S = R ou S = ( 1; +1). (f) x 2 + x + 1 > 0; = 3 < 0: Conjunto solução S = R ou S = ( 1; +1). (g) x 2 5x + 6 0; = 1 > 0: Conjunto solução S = ( 1; 2] [ [3; +1). (h) x ; = 20 < 0: Conjunto solução S =? (conjunto vazio). (i) (x 2) (x + 3) (1 x) > 0: Para começar, veja a ilustração na gura abaixo. O conjunto solução é S = ( 1; 3) [ (1; 2). (j) A desigualdade proposta é equivalente a 2x 2 3x + 4 < 0; onde temos a = 2 e = 23 < 0: O trinômio será sempre positivo (tem o mesmo sinal de ) O conjunto solução S =?: (k) O termo (x + 4) 2 (x 2) 4 é não negativo, exceto quando x = 2. O sinal de x (x + 4) 2 (x 2) 4 depende tão somente do sinal de x: Assim, x (x + 4) 2 (x 2) 4 < 0, x < 0 e o conjunto solução é S = ( 1; 0) : (l) Veja na gura os sinais dos trinômios x 2 4 e x 2 3x + 2 e deduza que o conjunto solução é S = [ 2; 1] [ f2g : 5. (a) S = [ 1; 1] ou S = fx 2 R : 1 x 1g : (b) S = ( 1; 2) ou S = fx 2 R : 1 < x < 2g :
8 8 CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL MARIVALDO P. MATOS (c) S = ( 1; 3) [ (3; +1) ou S = fx 2 R : x < 3 ou x > 3g : (d) S = [ 10=9; 8=9] ou S = fx 2 R : 10=9 x 8=9g : (e) S = ( 1; 0) [ (0; 1) ou S = fx 2 R : 1 < x < 1 e x 6= 0g : (f) S =? (conjunto vazio). (g) S = ( 1; 4] [ [ 2; +1) ou S = fx 2 R : x 4 ou x 2g : (h) S = (1=3; 1) ou S = fx 2 R : 1=3 < x < 1g : (i) S = ( 1; 0) [ (2; +1) ou S = fx 2 R : x < 0 ou x > 2g : (j) S = ( 1; 3) ou S = fx 2 R : x < 3g : (k) S = (0; 2) ou S = fx 2 R : 0 < x < 2g : (l) S = ( 1; 1) [ (1; +1) ou S = fx 2 R : x < 1 ou x > 1g : 6. (a) não equivalentes (b) equivalentes (a) S = [ 2 ; 1 7 ) ou S = fx 2 R : 1=2 < x < 1=7g : 1 (b) S = [ 2 ; 0) [ (0; 1] ou S = fx 2 R : 1=2 x < 0 ou 0 < x 1g : 8. (a) Basta observar que se x > 0, então x + 1 x 2, x2 2x e esta última desigualdade é válida seja qual for o valor real que se atribua a x: (b) Se existissem tais números x e y satisfazendo 1 x + 1 y = 1 x + y teríamos x 2 + xy + y 2 = 0 (1.5) e, olhando (1.5) como uma equação do segundo grau em x, vemos que = 3y 2 < 0 e a equação não tem solução.
3.1 Limite & Continuidade
3. FUNÇÕES CONTÍNUAS ANÁLISE NO CORPO R - 2018.1 3.1 Limite & Continuidade 1. Mostre que a função valor absoluto f (x) = jxj é contínua em qualquer ponto x 2 R: 2. A função de Dirichlet ' : R! R é de nida
4.1 Preliminares. 1. Em cada caso, use a de nição para calcular f 0 (x) : (a) f (x) = x 3 ; x 2 R (b) f (x) = 1=x; x 6= 0 (c) f (x) = 1= p x; x > 0:
4. FUNÇÕES DERIVÁVEIS ANÁLISE NO CORPO R - 208. 4. Preinares. Em cada caso, use a de nição para calcular f 0 (x) : (a) f (x) = x 3 ; x 2 R (b) f (x) = =x; x 6= 0 (c) f (x) = = p x; x > 0: 2. Mostre que
1.1 Domínios & Regiões
1. CAMPOS ESCALARES CÁLCULO 2-2018.2 1.1 Domínios & Regiões 1. Esboce o conjunto R do plano R 2 dada abaixo e determine sua fronteira. Classi que R em: aberto, fechado, itado, compacto, ou conexo. (a)
A = B, isto é, todo elemento de A é também um elemento de B e todo elemento de B é também um elemento de A, ou usando o item anterior, A B e B A.
Capítulo 1 Números Reais 1.1 Conjuntos Numéricos Um conjunto é uma coleção de elementos. A relação básica entre um objeto e o conjunto é a relação de pertinência: quando um objeto x é um dos elementos
1 0 para todo x, multiplicando-se os dois membros por. 2x 1 0 x 1 2. b a x. ba 2. e b 2 c
CAPÍTULO 1 Exercícios 1..n) Como x 0 para todo x, o sinal de x(x ) é o mesmo que o de x; logo, x(x ) 0 para x 0; x(x ) 0 para x 0; x(x ) 0 para x 0.. n) Como x 1 1 0 para todo x, multiplicando-se os dois
1. Dê o domínio e esboce o grá co de cada uma das funções abaixo. (a) f (x) = 3x (b) g (x) = x (c) h (x) = x + 1 (d) f (x) = 1 3 x + 5 1
2.1 Domínio e Imagem 1. Dê o domínio e esboce o grá co de cada uma das funções abaixo. (a) f (x) = 3x (b) g (x) = x (c) h (x) = x + 1 (d) f (x) = 1 3 x + 5 1 3 (e) g (x) 2x (f) g (x) = jx 1j x, se x 2
Universidade Federal do Espírito Santo Prova de Álgebra II Prof. Lúcio Fassarella DMA/CEUNES/UFES Data: 07/05/2015
Universidade Federal do Espírito Santo Prova de Álgebra II Prof. Lúcio Fassarella DMA/CEUNES/UFES Data: 07/05/2015 Aluno: Matrícula. Nota: : :.Observações: I A prova tem duração de 100 min; não é permitido
Humberto José Bortolossi [01] (a) (1.0) Escreva infinitos números racionais que pertençam ao intervalo
![Humberto José Bortolossi [01] (a) (1.0) Escreva infinitos números racionais que pertençam ao intervalo](/thumbs/95/124039018.jpg "Humberto José Bortolossi [01] (a) (1.0) Escreva infinitos números racionais que pertençam ao intervalo")
PRIMEIRA VERIFICAÇÃO DE APRENDIZAGEM Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi http://www.professores.uff.br/hjbortol/ Nome legível: Assinatura: [0] (a) (.0) Escreva infinitos números racionais que pertençam
Capítulo 1 Números Reais
Departamento de Matemática Disciplina MAT154 - Cálculo 1 Capítulo 1 Números Reais Conjuntos Numéricos Conjunto dos naturais: N = {1,, 3, 4,... } Conjunto dos inteiros: Z = {..., 3,, 1, 0, 1,, 3,... } {
Errata da lista 1: Na página 4 (respostas), a resposta da letra e da questão 13 é {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17} (faltou o número 17)
Errata da lista 1: Na página 4 (respostas), a resposta da letra e da questão 13 é {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17} (faltou o número 17) Lista 1 - Bases Matemáticas Elementos de Lógica e Linguagem Matemática 1
Universidade Federal de Santa Maria Departamento de Matemática Curso de Verão Lista 1. Números Naturais
Universidade Federal de Santa Maria Departamento de Matemática Curso de Verão 01 Lista 1 Números Naturais 1. Demonstre por indução as seguintes fórmulas: (a) (b) n (j 1) = n (soma dos n primeiros ímpares).
Unidade I MATEMÁTICA. Prof. Celso Ribeiro Campos
Unidade I MATEMÁTICA Prof. Celso Ribeiro Campos Números reais Três noções básicas são consideradas primitivas, isto é, são aceitas sem a necessidade de definição. São elas: a) Conjunto. b) Elemento. c)
PROFMAT P1 MA
PROFMAT P1 MA 11 011 Questão 1. Um pequeno barco a vela, com 7 tripulantes, deve atravessar o oceano em 4 dias. Seu suprimento de água potável permite a cada pessoa dispor de 3,5 litros de água por dia
Diagonal mais curta. Como d = mx e l = nx, teríamos: l 1 = d l = mx nx = (m n)x = n 1 x. d 1 = a:d + b:l = amx + bnx = (am + bn)x = m 1 x
Diagonal mais curta Seja P um polígono regular de lados ( > 6), d a medida da sua diagonal mais curta e l a medida do seu lado. Supondo que d e l são comensuráveis, temos d mx e l nx, onde m e n são inteiros
Lista 1 - Bases Matemáticas
Lista 1 - Bases Matemáticas Elementos de Lógica e Linguagem Matemática Parte I 1 Atribua valores verdades as seguintes proposições: a) 5 é primo e 4 é ímpar. b) 5 é primo ou 4 é ímpar. c) (Não é verdade
Definição 3.1: Seja x um número real. O módulo de x, denotado por x, é definido como: { x se x 0 x se x < 0
Capítulo 3 Módulo e Função Módular A função modular é uma função que apresenta o módulo na sua lei de formação. No entanto, antes de falarmos sobre funções modulares devemos definir o conceito de módulo,
Lista 2 - Bases Matemáticas
Lista 2 - Bases Matemáticas (Última versão: 14/6/2017-21:00) Elementos de Lógica e Linguagem Matemática Parte I 1 Atribua valores verdades as seguintes proposições: a) 5 é primo e 4 é ímpar. b) 5 é primo
APOSTILA DE MATEMÁTICA BÁSICA Potenciação Radiciação Fatoração Logaritmos Equações Polinômios Trigonometria
APOSTILA DE MATEMÁTICA BÁSICA Potenciação Radiciação Fatoração Logaritmos Equações Polinômios Trigonometria O que é preciso saber (passo a passo) Seja: Potenciação O expoente nos diz quantas vezes à base
Bases Matemáticas. Como o Conhecimento Matemático é Construído. Aula 2 Métodos de Demonstração. Rodrigo Hausen. Definições Axiomas.
1 Bases Matemáticas Aula 2 Métodos de Demonstração Rodrigo Hausen v. 2012-9-21 1/15 Como o Conhecimento Matemático é Construído 2 Definições Axiomas Demonstrações Teoremas Demonstração: prova de que um
Funções potência da forma f (x) =x n, com n N
Folha 1 Matemática Básica Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Funções potência da forma f (x) =x n, com n N Parte 08 Parte 8 Matemática Básica 1
Cálculo Diferencial e Integral Química Notas de Aula
Cálculo Diferencial e Integral Química Notas de Aula João Roberto Gerônimo 1 1 Professor Associado do Departamento de Matemática da UEM. E-mail: [email protected]. ÍNDICE 1. INTRODUÇÃO Esta notas de aula
obs: i) Salvo menção em contrário, anel = anel comutativo com unidade. ii) O conjunto dos naturais inclui o zero.
Lista 1 - Teoria de Anéis - 2013 Professor: Marcelo M.S. Alves Data: 03/09/2013 obs: i) Salvo menção em contrário, anel = anel comutativo com unidade. ii) O conjunto dos naturais inclui o zero. 1. Os conjuntos
Equação do Segundo Grau
Equação do Segundo Grau Denomina-se equação do 2 grau, qualquer sentença matemática que possa ser reduzida à forma ax 2 + bx + c = 0, onde x é a incógnita e a, b e c são números reais, com a 0. a, b e
01. D e m o n s t r a r q u e s e. 02. Mostre que se a 1 a2
Série Professor(a) Aluno(a) Rumo ao ITA Marcelo Mendes Sede Turma Turno Data N / / Ensino Pré-Universitário TC Matemática Revisão de Álgebra OSG.: 85/0 Exercícios de Fixação 0. Encontre os valores das
AV1 - MA UMA SOLUÇÃO. d b =. 3q 2 = 2p 2,
AV1 - MA 11-01 Questão 1. Prove que se a, b, c e d são números racionais tais que a + b 3 = c + d 3 então a = c e b = d. A igualdade a + b 3 = c + d 3 implica que (a c) = (d b) 3. Suponha que tenhamos
1. Em cada caso, obtenha a equação e esboce o grá co da circunferência.
3. AS CÔNICAS CÁLCULO VETORIAL - 2017.2 3.1 A circunferência 1. Em cada caso, obtenha a equação e esboce o grá co da circunferência. (a) Centro C ( 2; 1) e raio r = 5: (b) Passa pelos pontos A (5; 1) ;
1 Conjuntos, Números e Demonstrações
1 Conjuntos, Números e Demonstrações Definição 1. Um conjunto é qualquer coleção bem especificada de elementos. Para qualquer conjunto A, escrevemos a A para indicar que a é um elemento de A e a / A para
Soluções dos Exercícios do Capítulo 2
A MATEMÁTICA DO ENSINO MÉDIO Volume 1 Soluções dos Exercícios do Capítulo 2 2.1. Seja X = {n N; a + n Y }. Como a Y, segue-se que a + 1 Y, portanto 1 X. Além disso n X a + n Y (a + n) + 1 Y n + 1 X. Logo
Matemática E Extensivo V. 6
Etensivo V. 6 Eercícios ) a) P() é sempre igual à soma dos coeficientes de P(). b) P() é sempre igual ao termo independente de P(). c) P() é a raiz de P(), pois P() =. ) D a) P() = ³ + 7. ² 7. P() = +
m 1 Grupo A é 3, então ( P + Q R) Como o maior expoente da variável x do polinômio P + Q R Analogamente ao item a, (PQ) = 3.
Grupo A. Seja x o grau do divisor, então p x + q x p q. Sendo r o grau do resto, então r
FICHA DE TRABALHO N.º 4 MATEMÁTICA A - 10.º ANO POLINÓMIOS
FICHA DE TRABALHO N.º 4 MATEMÁTICA A - 10.º ANO POLINÓMIOS Conhece a Matemática e dominarás o Mundo. Galileu Galilei GRUPO I ITENS DE ESCOLHA MÚLTIPLA 1. Na figura está representado um paralelepípedo ABCDEFGH.
Ficha de trabalho Decomposição e resolução de equações e inequações polinomiais
Ficha de trabalho Decomposição e resolução de equações e inequações polinomiais 1. Verifique, recorrendo ao algoritmo da divisão, que: 6 4 0x 54x + 3x + é divisível por x 1.. De um modo geral, que relação
Cálculo Diferencial e Integral I
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Lino Marcos da Silva Atividade 1 - Números Reais Objetivos De um modo geral, o objetivo dessa atividade é fomentar o estudo de conceitos relacionados aos números
IST-MA-2010/11-1 o SEMESTRE
IST-MA-200/- o SEMESTRE EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA I FICHA : NÚMEROS REAIS Números racionais e irracionais Por N designa-se o conjunto dos números naturais ; 2; 3; 4; ::: Nele encontram-se de nidas as conhecidas
TEMA 2 PROPRIEDADES DE ORDEM NO CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS
TEMA 2 PROPRIEDADES DE ORDEM NO CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS O conjunto dos números reais,, que possui as seguintes propriedades:, possui uma relação menor ou igual, denotada por O1: Propriedade Reflexiva:
Primeira Lista de Exercícios
Primeira Lista de Exercícios disciplina: Introdução à Teoria dos Números (ITN) curso: Licenciatura em Matemática professores: Marnei L. Mandler, Viviane M. Beuter Primeiro semestre de 2012 1. Determine
1.1 Números Complexos
. O PLANO COMPLEXO VARIÁVEL COMPLEXA - 07.. Números Comlexos. Em cada caso, reduza a exressão à forma a + ib; a; b R: (a) ( i) + (3 + 4i) (b) ( + i) i (3 + 4i) (c) ( + i) ( + i) (d) ( i) (e) ( i) 3 + i
Matemática A - 10 o Ano
Matemática A - 10 o Ano Resolução da Ficha de Trabalho Álgebra - Divisão Inteira de Polinómios Grupo I 1. Considerando os polinómios p e b no enunciado temos que o termo de maior grau de p b é a nx n b
MA14 - Unidade 1 Divisibilidade Semana de 08/08 a 14/08
MA14 - Unidade 1 Divisibilidade Semana de 08/08 a 14/08 Neste curso, consideraremos o conjunto dos números naturais como sendo o conjunto N = {0, 1, 2, 3,... }, denotando por N o conjunto N \ {0}. Como
Matemática A - 10 o Ano Ficha de Trabalho
Matemática A - 10 o Ano Ficha de Trabalho Álgebra - Divisão Inteira de Polinómios Grupo I 1. Tendo em conta que n N; a n, a n 1,..., a 1, a 0 R e a n 0; b n, b n 1,..., b 1, b 0 R e b n 0, considere os
MATEMÁTICA DISCRETA ARITMÉTICA RACIONAL (2/6) Carlos Luz. EST Setúbal / IPS Abril 2012
MATEMÁTICA DISCRETA ARITMÉTICA RACIONAL (2/6) Carlos Luz EST Setúbal / IPS 16 22 Abril 2012 Carlos Luz (EST Setúbal / IPS) Aritmética Racional (2/6) 16 22 Abril 2012 1 / 15 Divisão Inteira Teorema Sendo
POLINÔMIOS 1. INTRODUÇÃO Uma função é dita polinomial quando ela é expressa da seguinte forma:
POLINÔMIOS 1. INTRODUÇÃO Uma função é dita polinomial quando ela é expressa da seguinte forma: n P(x) a a x a x... a x, onde 0 1 n Atenção! o P(0) a 0 o P(1) a a a... a 0 1 n a 0,a 1,a,...,a n :coeficientes
CÁLCULO I. 1 Número Reais. Objetivos da Aula
CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida EMENTA: Conceitos introdutórios de limite, limites trigonométricos, funções contínuas, derivada e aplicações. Noções introdutórias sobre a integral
2 a Edição do Curso de Difusão Pré-Cálculo aos alunos de. Patricia Araripe e Pollyane Vieira. 15 de fevereiro de 2019
Função do 2 o grau: Equação e Inequação 2 a Edição do Curso de Difusão Pré-Cálculo aos alunos de graduação da ESALQ Patricia Araripe e Pollyane Vieira 15 de fevereiro de 2019 Definição (1) (Função) Dados
Conjuntos Numéricos. É o conjunto no qual se encontram os elementos de todos os conjuntos estudados.
Conjuntos Numéricos INTRODUÇÃO Conjuntos: São agrupamentos de elementos com algumas características comuns. Ex.: Conjunto de casas, conjunto de alunos, conjunto de números. Alguns termos: Pertinência Igualdade
1.1 Domínios e Regiões
1.1 Domínios e Regiões 1.1A Esboce o conjunto R do plano R 2 dada abaixo e determine sua fronteira. Classi que R em: aberto, fechado, itado, compacto, ou conexo. (a) R = (x; y) 2 R 2 ; jxj 1; 0 y (b) R
Funções - Terceira Lista de Exercícios
Funções - Terceira Lista de Exercícios Módulo - Números Reais. Expresse cada número como decimal: a) 7 b) c) 9 0 5 5 e) 3 7 0 f) 4 g) 8 7 d) 7 8 h) 56 4. Expresse cada número decimal como uma fração na
Elementos de Matemática Finita
Elementos de Matemática Finita Exercícios Resolvidos - Princípio de Indução; Algoritmo de Euclides 1. Seja ( n) k n! k!(n k)! o coeficiente binomial, para n k 0. Por convenção, assumimos que, para outros
Módulo de Equações do Segundo Grau. Equações do Segundo Grau: Resultados Básicos. Nono Ano
Módulo de Equações do Segundo Grau Equações do Segundo Grau: Resultados Básicos. Nono Ano Equações do o grau: Resultados Básicos. 1 Exercícios Introdutórios Exercício 1. A equação ax + bx + c = 0, com
Semana 3 MCTB J Donadelli. 1 Técnicas de provas. Demonstração indireta de implicação. indireta de. Demonstração por vacuidade e trivial
Semana 3 por de por de 1 indireta por de por de Teoremas resultados importantes, Os rótulos por de por de Teoremas resultados importantes, Os rótulos Proposições um pouco menos importantes, por de por
Funções - Primeira Lista de Exercícios
Funções - Primeira Lista de Exercícios Vers~ao de 0/03/00 Recomendações Não é necessário o uso de teoremas ou resultados complicados nas resoluções. Basta que você tente desenvolver suas idéias. Faltando
DISCIPLINA: MATEMÁTICA DISCRETA I PROFESSOR: GISLAN SILVEIRA SANTOS CURSO: SISTEMAS DE INFORMAÇÃO SEMESTRE: TURNO: NOTURNO
DISCIPLINA: MATEMÁTICA DISCRETA I PROFESSOR: GISLAN SILVEIRA SANTOS CURSO: SISTEMAS DE INFORMAÇÃO SEMESTRE: 2018-2 TURNO: NOTURNO ALUNO a): 1ª Lista de Exercícios - Introdução à Lógica Matemática, Teoria
MATEMÁTICA BÁSICA SUMÁRIO
MATEMÁTICA BÁSICA SUMÁRIO 1 Operações com frações 2 Divisão de frações 3 Operações com números relativos 4 Resolução de equações do 1º grau (1º tipo) 5 Resolução de equações do 1º grau (2º tipo) 6 Resolução
Questões escritas. volume 1
Questões escritas volume 0. Se b é ímpar, então ele é da forma b k +, k d N, ou seja, a + (k + ) + k + k + + k + k ( + k + k ), de forma que a é par, pois + k + k d N. 0. Fazendo a Divisão Euclidiana de
Matemática I. 1 Propriedades dos números reais
Matemática I 1 Propriedades dos números reais O conjunto R dos números reais satisfaz algumas propriedades fundamentais: dados quaisquer x, y R, estão definidos a soma x + y e produto xy e tem-se 1 x +
Minicurso de nivelamento de pré-cálculo:
Minicurso de nivelamento de pré-cálculo: 07. Quarta-feira Resolva os eercícios abaio, tomando bastante cuidado na maneira de escrever a resolução dos mesmos. Não use a calculadora, a idéia é que você treine
GABARITO. 01) a) c) VERDADEIRA P (x) nunca terá grau zero, pelo fato de possuir um termo independente de valor ( 2).
01) a) P (1) = 1 + 7 1 17 1 P (1) = 1 + 7 17 P (1) = 11 P (1) é sempre igual a soma dos coeficientes de P (x) b) P (0) = 0 + 7 0 17 0 P (0) = 0 + 0 0 P (0) = P (0) é sempre igual ao termo independente
Polinômios de Legendre
Seção 5: continuação do método de resolução por séries de potências Na Seção foi exposto informalmente, através de exemplos, o método de resolução de equações diferenciais ordinárias por séries de potências.
Projeto Jovem Nota 10 Polinômios Lista C Professor Marco Costa
1 1. (Fuvest 97) Suponha que o polinômio do 3 grau P(x) = x + x + mx + n, onde m e n são números reais, seja divisível por x - 1. a) Determine n em função de m. b) Determine m para que P(x) admita raiz
é uma proposição verdadeira. tal que: 2 n N k, Φ(n) = Φ(n + 1) é uma proposição verdadeira. com n N k, tal que:
Matemática Discreta 2008/09 Vítor Hugo Fernandes Departamento de Matemática FCT/UNL Axioma (Princípio da Boa Ordenação dos Números Naturais) O conjunto parcialmente (totalmente) ordenado (N, ), em que
Números Reais. Víctor Arturo Martínez León b + c ad + bc. b c
Números Reais Víctor Arturo Martínez León ([email protected]) 1 Os números racionais Os números racionais são os números da forma a, sendo a e b inteiros e b 0; o conjunto b dos números racionais
INE5403 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA DISCRETA
INE5403 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA DISCRETA PARA A COMPUTAÇÃO PROF. DANIEL S. FREITAS UFSC - CTC - INE Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.1/81 1 - LÓGICA E MÉTODOS DE PROVA 1.1) Lógica Proposicional
Roteiro da segunda aula presencial - ME
PIF Enumerabilidade Teoria dos Números Congruência Matemática Elementar Departamento de Matemática Universidade Federal da Paraíba 29 de outubro de 2014 PIF Enumerabilidade Teoria dos Números Congruência
parciais primeira parte
MÓDULO - AULA 3 Aula 3 Técnicas de integração frações parciais primeira parte Objetivo Aprender a técnica de integração conhecida como frações parciais. Introdução A técnica que você aprenderá agora lhe
CURSO DE MATEMÁTICA. Conjuntos dos números naturais, inteiros, racionais e irracionais. (propriedades e operações) Josimar Padilha
CURSO DE MATEMÁTICA Conjuntos dos números naturais, inteiros, racionais e irracionais. (propriedades e operações) Josimar Padilha Qual a importância de conhecer os CONJUNTOS NUMÉRICOS? Meu querido aluno,
MA21: Resolução de Problemas - gabarito da primeira prova
MA21: Resolução de Problemas - gabarito da primeira prova Problema 1 (2 pontos) Prove que a maior área dentre todos os retângulos de perímetro 1 é atingida por um quadrado. Dificuldade: MUITO FÁCIL Sejam
2.1A Dê o domínio e esboce o grá co de cada uma das funções abaixo. (a) f (x) = 3x (b) g (x) = x (c) h (x) = x + 1 (d) f (x) = 1 3 x + 5 1
2.1 Domínio e Imagem 2.1A Dê o domínio e esboce o grá co de cada uma das funções abaio. (a) f () = 3 (b) g () = (c) h () = (d) f () = 1 3 + 5 1 3 (e) g () 2 (f) g () = jj 8 8
POLINÔMIOS. Nível Básico
POLINÔMIOS Nível Básico. (Eear 07) Considere P(x) x bx cx, tal que P() e P() 6. Assim, os valores de b e c são, respectivamente, a) e b) e c) e d) e. (Epcar (Afa) 05) Considere o polinômio a) x 0 não é
Funções da forma x elevado a menos n
Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Funções da forma x elevado a menos n Parte 5 Parte 5 Pré-Cálculo 1 Parte 5 Pré-Cálculo 2 Funções
1.1 Construção Axiomática do Corpo R
1.1 Construção Axiomática do Corpo R Devido à sua importância fundamental, faremos aqui breves referências a algumas idéias que conduziram à construção dos números reais. Dentre as várias formas de construção
Primeira prova de Álgebra II - 30/09/2010 Prof. - Juliana Coelho
Primeira prova de Álgebra II - 0/09/2010 Prof. - Juliana Coelho JUSTIFIQUE SUAS RESPOSTAS! Questões contendo só a resposta, sem desenvolvimento ou justificativa serão desconsideradas! QUESTÃO 1 (2,0 pts)
x é igual a: 07. (Colégio Naval) No conjunto R dos números reais, qual será o 01. (PUC) O valor de m, de modo que a equação
0. (PUC) O valor de m, de modo que a equação 5 m m 0 b) c) d) 0. Quantos valores de satisfazem a equação a) b) c) d) 5 e) 0 Prof. Paulo Cesar Costa tenha uma das raízes igual a, é: ( ). 07. (Colégio Naval)
UFAL IM ANÁLISE REAL LISTA 1 CORPOS E NÚMEROS REAIS
UFAL IM 013. ANÁLISE REAL LISTA 1 CORPOS E NÚMEROS REAIS 1-1 Seja K um corpo. (a) Se a, b K, então ( 1)a = a e ( a)( b) = ab. (b) Se a 0 e b 0 em K, então ab 0, (ab) 1 = b 1 a 1 e (a/b) 1 = b a. (c) Se
1 Congruências e aritmética modular
1 Congruências e aritmética modular Vamos considerar alguns exemplos de problemas sobre números inteiros como motivação para o que se segue. 1. O que podemos dizer sobre a imagem da função f : Z Z, f(x)
Matemática Básica. Fração geratriz e Sistema de numeração 1) 0, = ) 2, =
Erivaldo UDESC Matemática Básica Fração geratriz e Sistema de numeração 1) 0,353535... = 35 99 2) 2,1343434... = 2134 21 99 0 Decimal (Indo-Arábico): 2107 = 2.10 3 + 1.10 2 + 0.10 1 + 7.10 0 Número de
1 Números Reais (Soluções)
Números Reais (Soluções). a) x2 4 b) x c) x d) x e) x f) 2 x+2 g) 2 x(x+2) h) x i) x 2 4 j) x(x + ) + x k) log(x) l) 2 log ( x 2 + x 2). 2. a) x = x 2 b) 2 x c) x d) x 0 x = e) x = 4 x = 2 f) x = x = 2
1. Dê o domínio e esboce o grá co de cada uma das funções abaixo. (a) f (x) = 3x (b) g (x) = x (c) h (x) = x + 1 (d) f (x) = 1 3 x + 5 1.
2.1 Domínio e Imagem EXERCÍCIOS & COMPLEMENTOS 1.1 1. Dê o domínio e esboce o grá co de cada uma das funções abaixo. (a) f (x) = 3x (b) g (x) = x (c) h (x) = x + 1 (d) f (x) = 1 3 x + 5 1 3 (e) g (x) 2x
Matemática I Capítulo 11 Função Modular
Nome: Nº Curso: Mecânica Integrado Disciplina: Matemática I 1 Ano Prof. Leonardo Data: / /016 Matemática I Capítulo 11 Função Modular 11.1 - Módulo O módulo, ou valor absoluto, de um número real x representado
XIX Semana Olímpica de Matemática. Nível 3. Polinômios em Z[x] Matheus Secco
![XIX Semana Olímpica de Matemática. Nível 3. Polinômios em Z[x] Matheus Secco](/thumbs/50/26696000.jpg "XIX Semana Olímpica de Matemática. Nível 3. Polinômios em Z[x] Matheus Secco")
XIX Semana Olímpica de Matemática Nível 3 Polinômios em Z[x] Matheus Secco O projeto da XIX Semana Olímpica de Matemática foi patrocinado por: Polinômios em Z[x] N3 Professor Matheus Secco 1 Ferramentas
a = bq + r e 0 r < b.
1 Aritmética dos Inteiros 1.1 Lema da Divisão e o Algoritmo de Euclides Recorde-se que a, o módulo ou valor absoluto de a, designa a se a N a = a se a / N Dados a, b Z denotamos por a b : a divide b ou
Polos Olímpicos de Treinamento. Aula 7. Curso de Teoria dos Números - Nível 2. Aula de Revisão e Aprofundamento. Prof.
Polos Olímpicos de Treinamento Curso de Teoria dos Números - Nível 2 Prof. Samuel Feitosa Aula 7 Aula de Revisão e Aprofundamento Observação 1. É recomendável que o professor instigue seus alunos a pensarem
1.2 Axioma do Supremo
1.2 Axioma do Supremo EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1. Verifique que se n N é ímpar, então n 2 é também ímpar. O que pode concluir de n N sabendo que n 2 é par? RESOLUÇÃO Seja n N ímpar, com n = 2k+1, para algum
Função polinomial. Pré-Cálculo. Função polinomial. Função polinomial: exemplos. Humberto José Bortolossi. Parte 6. Definição
Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Função polinomial Parte 6 Parte 6 Pré-Cálculo 1 Parte 6 Pré-Cálculo 2 Função polinomial Função polinomial:
1. O que podemos dizer sobre a imagem da função. f : Z Z, f(x) = x 2 + x + 1?
1 Congruências e aritmética modular Vamos considerar alguns exemplos de problemas sobre números inteiros como motivação para o que se segue. 1. O que podemos dizer sobre a imagem da função f : Z Z, f(x)
5.1 Máximos e Mínimos
5. Máximos e Mínimos 5.A Se f (x) = x + 4, encontre o número c que satisfaz a conclusão do TVM (Teorema do x Valor Médio) no intervalo [; 8] : 5.B Seja f (x) = jx j : Mostre que não existe um número c
Universidade Federal de Goiás Campus Catalão Departamento de Matemática Disciplina: Fundamentos de Análise
Universidade Federal de Goiás Campus Catalão Departamento de Matemática Disciplina: Fundamentos de Análise Professor: André Luiz Galdino Gabarito da 1 a Lista de Exercícios 1. Prove que para todo x 0 IR
Slides de apoio: Fundamentos
Pré-Cálculo ECT2101 Slides de apoio: Fundamentos Prof. Ronaldo Carlotto Batista 23 de fevereiro de 2017 Conjuntos Um conjunto é coleção de objetos, chamados de elememtos do conjunto. Nomeraremos conjuntos
Aula 5 Aula 6 Aula 7. Ana Carolina Boero. Página:
E-mail: [email protected] Página: http://professor.ufabc.edu.br/~ana.boero Sala 512-2 - Bloco A - Campus Santo André Números naturais Como somos apresentados aos números? Num primeiro momento, aprendemos
Análise I Solução da 1ª Lista de Exercícios
FUNDAÇÃO EDUCACIONAL SERRA DOS ÓRGÃOS CENTRO UNIVERSITÁRIO SERRA DOS ÓRGÃOS Centro de Ciências e Tecnologia Curso de Graduação em Matemática Análise I 0- Solução da ª Lista de Eercícios. ATENÇÃO: O enunciado
Lista de Exercícios Nº 02 Tecnologia em Mecatrônica Prof.: Carlos Bezerra
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO (Ufba 96) Na(s) questão(ões) a seguir escreva nos parenteses a soma dos itens corretos. 1. Sendo m = x + 1, n = x - x, p = x - 1, pode-se afirmar: (01) m = n. p (02) m + n
Integração por frações parciais - Parte 1
Universidade de Brasília Departamento de Matemática Cálculo Integração por frações parciais - Parte Neste pequeno texto vamos desenvolver algumas ideias para integrar funções racionais, isto é, funções
Cálculo Algébrico. a) 4m + m = e) x + x = b) 7x x = f) 9a 9a = c) 8a 4 6a 4 = g) 3ab 9ab = d) xy 10xy = h) 7cd 2 5cd 2 =
Cálculo Algébrico Efetue as operações com monômios abaixo: 1ª parte: Adição e Subtração 1. Efetue: a) 4m + m e) x + x b) 7x x f) 9a 9a c) 8a 4 6a 4 g) ab 9ab d) xy 10xy h) 7cd 5cd. Reduza dos termos semelhantes:
Introdução à Teoria dos Números - Notas 4 Tópicos Adicionais II
1 Introdução à Teoria dos Números - Notas 4 Tópicos Adicionais II 1 O Anel dos Inteiros Módulo n Consideremos um número natural n 2 fixado Para cada número inteiro a definimos a = {x Z; x a mod n} Como