IST-MA-2010/11-1 o SEMESTRE

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1 IST-MA-200/- o SEMESTRE EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA I FICHA : NÚMEROS REAIS Números racionais e irracionais Por N designa-se o conjunto dos números naturais ; 2; 3; 4; ::: Nele encontram-se de nidas as conhecidas operações de soma (ou adição), subtracção, multiplicação e divisão. Porém, como a subtracção de dois números naturais pode não ser um número natural, por esse motivo construiu-se o conjunto dos números inteiros, 3; 2; ; 0; ; 2; 3::: designado por Z; no qual aquele problema não se veri ca. Na verdade, a soma e a subtracção de dois números inteiros é sempre um número inteiro. A multiplicação de dois números naturais origina um número natural, o mesmo sucedendo com a multipicação de dois números inteiros. Contudo, isso não sucede no que respeita à divisão. Esse facto originou o conjunto dos números racionais que é designado por Q; dizendo-se que a é um número racional se e só se ele puder ser representado na forma fraccionária a = p q ; onde p 2 Z e q 2 Zn f0g : Esta representação do número a não é obviamente única. No caso de p e q serem primos entre si (isto é, de ser o único divisor comum de p e q) a fracção que representa a é dita na forma irredutível. Tem-se que N Z Q; e em Q foram estendidas as operações indicadas segundo as regras conhecidas, de modo a veri car-se que a soma, a subtracção e a multiplicação de dois números racionais origine um número racional e ainda que a divisão de um racional por um outro racional diferente de zero também resulte num racional. Uma outra representação dos racionais é possível recorrendo à forma decimal através da operação de divisão, pois ao fazer divisão de p por q obtém-se sempre uma dízima nita ou in nita periódica. Por exemplo, 22 = 4; e Coligidos por José M. Ferreira = 24; :::

2 É claro que potências de números racionais geram números racionais. Mas o mesmo não sucede no que respeita à operação inversa da potenciação: a radiciação. Por exemplo, p 2; p 3; p 5; etc. podem mostrar-se que não são números racionais, razão porque tomaram o nome de números irracionais. Este facto é, como iremos ver, consequência simples do seguinte teorema. Teorema. 2 Se r = p=q (fracção na forma irredutível) for uma raiz racional da equação polinomial de grau n com coe cientes inteiros, c n x n + c n x n + ::: + c x + c 0 = 0; então p é um divisor de c 0 e q um divisor de c n : Deste modo, com n; c 2 N; relativamente à equação x n c = 0; uma eventual raiz racional r = p=q (fracção na forma irredutível) será tal que q divide ; ou seja q = e por conseguinte a = p é um número inteiro divisor de c: Assim, por exemplo, p 2 como solução da equação polinomial x 2 2 = 0; se fosse racional seria um número inteiro que divide 2: Mas os únicos inteiros divisores de 2 são 2 e ; e nenhum deles satisfaz a equação. Logo p 2 é irracional. Mais geralmente, se c não é um quadrado perfeito, p c é um número irracional. Basta notar que a equação x 2 c = 0; apenas tem raízes inteiras quando c é um quadrado perfeito. Isto signi ca que p 2; p 3; p 5; p 6; p 7; p 8; p 0; p ; p 2; p 3; p 4; p 5; p 7; ::: são todos números irracionais. Analogamente, considerando a a equação cúbica os seguintes números x 3 c = 0; 3p 2; 3 p 3; 3p 4; 3p 5; 3p 6; 3p 7; 3p 9; 3p 0; 3p ; 3p 2; 3p 3; 3p 4; 3p 5; ::: são todos números irracionais. Voltando à equação geral x n c = 0; (n; c 2 N) podemos do mesmo modo concluir que np c ou é inteiro ou é irracional; no primeiro caso c terá de ser a n-ésima potência de um inteiro. São pois irracionais os números 4p 2; 5 p 3; 6p 4; ::: 2 Cf. Ivan Niven, Números: Racionais e irracionais, SBM. 2

3 Um outro teorema que permite gerar facilmente números irracionais é o seguinte. Teorema 2. Seja a um número irracional qualquer e r um número racional diferente de zero. Então r + a; r a; a r; r:a; r a ; a r ; a; a ; são números irracionais. Assim, por exemplo, são todos números irracionais. p 2 ; p 2; p 2; p 2 ; 2 3p 4 ; p Os números irracionais admitem igualmente uma representação decimal, agora necessariamente com a característica de dízima in nita não periódica. Por exemplo, é um número irracional. 0; ::: O conjunto R; constituído por todos os números racionais e irracionais, é chamado de conjunto dos números reais. Todas as operações acima mencionadas são possíveis em R: Um conceito com alguma relevância na área da geometria é o de proporção. Este conceito pode ser de nido do seguinte modo bastante simples: dados dois números reais positivos a e b; chamamos proporção de (a; b) ao valor p (a; b) = max (a; b) min (a; b) : São facilmente veri cadas as seguintes propriedades das proporções: i) p (a; b) = p (b; a) : ii) Com > 0; tem-se p (a; b) = p (a; b). iii) p (a; a 2 =b) = p (a; b) : iv) p (a 2 ; b 2 ) = (p (a; b)) 2 : No caso de termos a; b 2 Q; obtemos proporções racionais, também chamadas de proporções comensuráveis ou estáticas. Mas podem também obter-se facilmente proporções irracionais (incomensuráveis ou dinâmicas). Entre elas destaca-se por vários motivos a chamada proporção de ouro que é obtida do seguinte modo. Sejam a e b tais que a > b e a b = a + b a : Nestas condições a proporção p (a; b) = a=b vulgarmente representada 3 por ; é tal que = + : 3 Em honra de Fídias (em grego "&) que foi um célebre escultor da Grécia Antiga, eventualmente o primeiro a usar a proporção de ouro, usa-se a letra grega para representar esta proporção. 3

4 Assim, será a solução positiva da equação do segundo grau 2 = 0; ou seja, = + p 5 ; 2 também chamado de número de ouro, que é igualmente um número irracional.. Exercícios Exercício Indique um número racional que se encontre entre os seguintes números: 2; ::: 2; ::: : Exercício 2 Indique um número irracional que se encontre entre os seguintes números: 2; ::: 2; ::: : Exercício 3 Existe algum número irracional cuja representação decimal utilize apenas um dígito? E apenas dois dígitos? Exercício 4 Escreva sob a forma de fracção os seguintes números racionais: a = 0; 25; b = 0; (3); c = 0; 2(9); d = 2; 35(45): Exercício 5 Justi que que se a é um número irracional positivo então p a também é irracional. Exercício 6 Dê exemplos de: a) Dois números irracionais cuja soma seja racional. b) Dois números irracionais cuja soma seja irracional. c) Dois números irracionais cujo produto seja racional. d) Dois números irracionais cujo produto seja irracional. e) Dois números irracionais cujo quociente seja racional. f) Dois números irracionais cujo quociente seja irracional. Exercício 7 Qual o número máximo de raízes irracionais que podem ter as seguintes equações polinomiais? a) 3x 3 + 2x 2 3x 2 = 0: b) x 4 3x 2 5x + 9 = 0: c) 2x 4 x 2 3x + 5 = 0: d) x 3 3x 2 7x + 2 = 0: 4

5 Exercício 8 Justi que qe são irracionais os números seguintes: 5p 2 7p ; ; p 5 + p 7; p p e 3p 2 p 3: Exercício 9 O rectângulo B é construído com base no prolongamento da diagonal do rectângulo A, como se indica na gura. Mostre que se o rectângulo A tem a proporção de ouro o mesmo sucede com o rectângulo B. a A B c x b a Exercício 0 Na gura seguinte estão representados um triângulo [ABC] ; rectângulo em B; e duas circunferências de centro em A e D, respectivamente, de raios AC e DB: Sabendo que DB = AB; utilizando o teorema de Pitágoras, mostre que AC=CB é a proporção de 2 ouro. D A C B Exercício O triângulo isósceles [ABC] (triângulo de ouro) tem a particularidade de os ângulos adjacentes à base (BC) serem o dobro do ângulo oposto (de medida x): Seja BD a bissectriz do ângulo ]ABC (ver gura abixo). a) Determine x: b) Por semelhança de triângulos mostre que AD=DC é a proporção de ouro. A x D B C 5

6 2 Condições sobre os números reais Relativamente a um qualquer conjunto podem formar-se expressões proposicionais, também chamadas de condições ou propriedades sobre o conjunto indicado São expressões com uma ou mais variáveis que para cada concretização das variáveis originam proposições ou a rmações verdadeiras ou falsas. O universo de uma condição é um conjunto dado à priori. O domínio da condição é o subconjunto do universo onde são originadas proposições verdadeiras. Se o domínio for o universo a condição diz-se universal. Se o domínio for o cojunto vazio então diremos que a condição é impossível. Entre estas duas situações extremas a condição dir-se-á simplesmente possível. As operações acima mencionadas possuem propriedades já conhecidas que podem ser expressas por condições universais.. Em R são condições universais: x + y = y + x (comutatividade). (x + y) + z = x + (y + z) (associatividade). x + 0 = x (elemento neutro). x + ( x) = 0 (elemento simétrico) x:y = y:x (comutatividade). (x:y) :z = x: (y:z) (associatividade). x: (y + z) = x:y + x:z (distributividade). (x + y) 2 = x 2 + 2:x:y + y 2 : (x y) : (x + y) = x 2 y 2 : x m :x n = x m+n : (x m ) n = x m:n : x:0 = 0 (elemento absorvente). x: = x (elemento neutro). 2. Porém, apenas com domínio em Rn f0g se pode expressar a propriedade: x: x = (elemento inverso). 6

7 Sobre as condições também é possível realizarem-se operações como sejam a negação, a conjunção e a disjunção. A negação de uma condição C (x) é uma nova condição, designada por ~C (x) cujo domínio é o conjunto complementar (em relação ao universo) do domínio de C (x) : A conjunção de duas condições, C (x) e C 2 (x) é uma outra condição, representada por C (x) ^ C 2 (x) ; que é caracterizada por ter como domínio a intersecção dos domínios de C (x) e C 2 (x) : Analogamente, a disjunção de duas condições, C (x) e C 2 (x) é uma condição, representada por C (x) _ C 2 (x) ; que tem como domínio a união dos domínios de C (x) e C 2 (x) : 3. Dado y 2 R; também é uma condição universal em R: x = y _ x < y _ x > y (tricotomia da relação de ordem). Outras operações sobre condições podem ser consideradas. A quanti cação (universal e existencial) a implicação e a equivalência. Relativamente às operações de conjunção e disjunção, a diferença principal é que, ao contrário destas, aquelas operações entre condições não originam uma nova condição, mas sim uma proposição que pode ser verdadeira ou falsa. que Num mesmo universo, diremos que a condição C (x) implica a condição C 2 (x) ; sempre dom C (x) dom C 2 (x) ; ou seja, se a condição C (x) é veri cada então também a condição C 2 (x) o é. Analogamente, a condição C (x) é equivalente a condição C 2 (x) ; se dom C (x) = dom C 2 (x) ; ou seja, a condição C (x) é veri cada se e só se a condição C 2 (x) o for. 4. São implicações de condições em R: x > 0 ^ y > 0 ) x + y > 0: x > 0 ^ y > 0 ) x:y > 0: x < y ^ y < z ) x < z (transitividade). x < y ^ y z ) x < z (transitividade). x y ^ y z ) x z (transitividade). 5. São equivalências de condições em R: x + y = x + z, x = z (lei do corte da adição). x:y = 0, (x = 0 _ y = 0) (lei do ananulamento do produto). 7

8 (x 6= 0 ^ x:y = x:z), y = z (lei do corte da multiplicação). x + y < x + z, y < z: No que respeita a um qualquer subconjunto U de R; a relação de ordem dos reais permite-nos formular os conceitos de majorante e de minorante de U: Um número real M diz-se um majorante de U se 8x 2 U; x M: Nestas condições, U diz-se um conjunto majorado. Ao menor dos majorantes chamaremos supremo de U; o qual é designado por sup U: Se sup U 2 U; esse valor é o máximo de U; o qual passará a designar-se por max U: Analogamente, se existir m 2 R tal que 8x 2 U; m x; diremos que m é um minorante de U; caso em que U é dito um conjunto minorado. O maior dos minorantes é chamado de ín mo de U; o qual é representado por inf U: Se inf U 2 U; tal valor é o mínimo de U; o qual passaremos a representarar por min U: 2. Exercícios Exercício 2 Classi que em N e em R; cada uma das seguintes condições: a) x + = 0: b) x > 0: c) x 2 4 = 0: d) x < 0: e) x 2 + x x 2 : f) x 3p 2 = 3p 2x 3 : g) x p 2 = p 2x 2 : h) 6p 4x 2 = 3p 2x: Exercício 3 Ligue por um dos símbolos ) ou, as seguintes condições em R : a) jxj < 4; jxj < 5: b) x 2 ] ; [ ; jxj < : c) x = ; x 3 = : d) x + 2 = 0; x 2 = 4: e) x > 3; jxj > 3: Exercício 4 Traduza por expressões quanti cadas os enunciados seguintes e indique o seu valor lógico: a) Todos os quadrados de números reais são positivos ou nulos. b) Todo o número real tem outro que o excede em 2 unidades. c) Há pelo menos um número inteiro entre 3 e 4: d) Todos os números reais do intervalo [3; 5] são menores do que 5; 00: e) Há pelo menos um número natural entre 7; e 8; 00: f) A soma de um número racional com um número irracional é um número irracional. g) A soma de dois números irracionais é um número irracional. h) O produto de um número irracional por um número racional não inteiro é um número racional. i) A soma de dois racionais não inteiros não é um número inteiro. j) A soma de um número inteiro com um racional não inteiro é um número inteiro. 8

9 Exercício 5 Indique o valor lógico das seguintes expressões: a) 8x 2 R; x + > x: b) 9x 2 R : x 2 = x: c) 8y 2 R; y = =y: d) 9x 2 R : 3x + 5 = 0: e) 8x 2 R; x 2 6: f) 8a 2 R; 9 x 2 R : x 2 + a = 0: g) 9n 2 Z : 8x 2 R : x n = : h) 8x; y 2 Q : x < y; 9 z 2 Q : x < z < y: i) 8x; y 2 Q : x < y; 9 z 2 RnQ : x < z < y: Exercício 6 i) Mostre que: a) fx 2 R : x= (x 2) 0g = [0; 2[ : b) fx 2 R : ( x) = (2x + 3) > 0g = ] 3=2; [ : c) fx 2 R : x 2 2x 3 0g = ] ; ] [ [3; +[ : d) fx 2 R : 2 x x 2 > 0g = ] 2; [ : e) fx 2 R : 4 < x 2 < 9g = ] 3; 2[ [ ]2; 3[ : f) x 2 R : 9 (x ) 2 < 25 = ] 4; 2] [ ]4; 6] : g) fx 2 R : (x 2) = (x + 2) < (x + 3) = (x 3)g = ] 2; 0[ [ ]3; +[ : ii) Relativamente a cada conjunto de i) indique, caso existam, o supremo, o ín mo, o máximo e o mínimo. Exercício 7 Mostre as igualdades entre conjuntos formuladas a seguir e para cada conjunto indique, caso existam, o supremo, o ín mo, o máximo e o mínimo. a) fx 2 R : jx + 2j = 3g = f 5; g : b) fx 2 R : jx + 2j g = [ 3; ] : c) fx 2 R : j3 xj > 2g = ] ; ] [ ]5; +[ : d) fx 2 R : 2 < jxj < 3g = ] 3; 2[ [ ]2; 3[ : e) fx 2 R : 3 < jx j 5g = [ 4; 2[ [ ]4; 6] : f) fx 2 R : jxj = jx 2jg = fg : g) fx 2 R : jxj jx 2jg = ] ; ] : h) fx 2 R : 2 jxj = jx 3jg = f 3; g : i) fx 2 R : 2 jxj < jx 3jg = ] 3; [ : j) fx 2 R : jx 2 2j g = p 3; [ ; p 3 : k) fx 2 R : j3 2x + x 2 j = 5g = p p 3; + 3 : 9

10 l) fx 2 R : j3 2x + x 2 j < 5g = p p 3; + 3 : m) fx 2 R : jx (x 3)j = j 3xjg = ; 3 2 p 2; ; p 2 : n) fx 2 R : jx (x 3)j > j 3xjg = ] ; [ [ 3 2 p 2; [; p 2; + : 3 Condições de variável natural Uma propriedade ou condição de variável natural, P (n); será uma condição cujo universo é o conjunto dos números naturais N: Se P (n) for universal, ou seja se o seu domínio for N; ou ainda se 8n 2 N; P (n) é uma proposição verdadeira, diremos que P (n) é veri cada totalmente ou completamente. Há, porém, condições de variável natural que podem não ser veri cadas totalmente. Uma condição, P (n); que apesar de não ser veri cada totalmente, pode ser válida, digamos que a posteriori, ou seja, para valores de n superiores a certa ordem. Mais precisamente: 9p 2 N : n > p ) P (n) verdadeira. Numa situação deste tipo, diremos então que P (n) é veri cada posteriormente ou ulteriormente. É claro que uma condição válida totalmente é igualmente veri cada posteriormente. No entanto, este tipo de situação faz mais sentido quando pretendemos ter uma dada condição válida para valores de n su cientemente grandes, isto é, maiores que um certo número natural p; mesmo que não seja importante conhecer o valor exacto de p; mas apenas saber da sua existência. que Um outro tipo de validade de uma condição, P (n); ocorre quando é possível estabelecer 8p 2 N; 9n > p : P (n) é verdadeira, circunstância em que diremos que P (n) é veri cada frequentemente. Para as condições completas e a posteriori, assume grande relevância o chamado princípio de indução nita, na medida em que este princípio encerra um método de demonstração bastante usado para estabelecer a validade de algumas relações envolvendo os números naturais. Trata-se de um instrumento extremamente importante, que nos permite chegar à validade de uma condição para todos os naturais, pela análise da validade do caso n = e do que se passa de um número natural, n; para o seu sucessor n + : Teorema (princípio de indução nita). Seja S N; tal que: (a) 2 S; (b) k 2 S ) k + 2 S: Então S = N: Pode este princípio ser frequentemente usado na demonstração de proposições que requeiram a validade, para todos os números naturais, de uma propriedade ou condição, P (n): Neste sentido, podemos formular a seguinte versão do princípio de indução nita: Se: 0

11 ) P () é verdadeira; 2) P (k) ) P (k + ); então P (n) é verdadeira para todo o n 2 N: A ligação entre esta versão e a inicial é feita através do conjunto S = fn 2 N : P (n) é verdadeirag : Nesta conformidade, as hipóteses (a) e (b) correspondem exactamente a ) e 2). A implicação 2) tem verdadeiramente interesse no caso em que P (k) é verdadeira, caso em que P (k) é chamada de hipótese de indução. Nesta situação, a implicação 2) engloba a demonstração de que a veracidade da proposição P (k); implica a veracidade da proposição P (k + ): 3. Exercícios Exercício 8 Considere a relação de Fibonacci 4 e mostre que: f n+2 = f n+ + f n (n 2 N) a) A sequência, f n ; gerada a partir de f = e f 2 = é tal que f n = n totalmente. b) Se com x > 0 for f n = x n totalmente, então x é o número de ouro : Exercício 9 Mostre que: 3 < n + 0 3n < 6; totalmente. Exercício 20 Designe por n a soma dos n primeiros números naturais, por i n a soma dos n primeiros números ímpares e por p n a soma dos n primeiros números pares: n = + ::: + n; i n = ::: + (2n ) ; p n = ::: + 2n: a) Através do princípio de indução nita mostre que b) Determine p n : n = n(n + ) 2 e i n = n 2 ; totalmente. Exercício 2 Por indução nita mostre que a seguinte condição é válida totalmente: 333:::33 {z } n dígitos = 0n : 3 4 Leonardo Pisano, mais conhecido por Fibonacci (nome que deriva de lius Bonacci, o qual era o seu nome de família) n. em Pisa (Itália) no ano de 70, m. em Pisa em 250.

12 Exercício 22 Usando o princípio de indução nita, justi que que as seguintes relações numéricas são válidas totalmente: a) ::: + n 3 = n2 (n + ) 2 : 4 b) :2 + 2:3 + ::: + n:(n + ) = c) n < 2 n : n n + : Exercício 23 Considere as seguintes desigualdades: n 2 < 0; 0004; 3p n < 0; 0; 3p 2n < 0; : a) Mostre que nenhuma delas é veri cada totalmente... b)...mas todas são veri cadas posteriormente. Exercício 24 Mostre que nenhuma das seguintes relações é veri cada totalmente, mas ambas são veri cadas posteriormente: n + n 2 ]0; 998; ; 002[ ; 3n + n Sucessões de números reais 2 ]2; 999; 3; 00[ : Algumas características especí cas sobre sucessões de números reais, podem ser descritas com base neste tipo de validade de condições. Por exemplo, pode suceder que 9M 2 R : u n M; totalmente: Nestas circunstâncias, diremos que u n é uma sucessão majorada ou limitada superiormente. Analogamente, se 9m 2 R : u n m; totalmente, diremos que u n é uma sucessão minorada ou limitada inferiormente. Se u n for simultaneamente uma sucessão majorada e minorada, u n dir-se-á uma sucessão limitada; signi ca isto que ou de modo equivalente que 9m; M 2 R : m u n M; totalmente, 9K 2 ]0; +[ : ju n j K; totalmente. Uma outra característica importante de algumas sucessões, reside no modo como se desenvolvem. Nesse âmbito, uma sucessão, u n ; diz-se crescente se for veri cada a condição u n u n+ ; totalmente; 2

13 u n ; é dita estritamente crescente se u n < u n+ ; totalmente. Analogamente, diremos que u n é uma sucessão decrescente sempre que u u n+ ; totalmente, e estritamente decrescente se for u n > u n+ ; totalmente. Uma sucessão dir-se-á monótona se, indistintamente, tiver a propriedade de ser crescente ou decrescente. O termo estritamente monótona será usado para indicar que a sucessão ou é estritamente crescente ou é estritamente decrescente. Uma sucessão u n diz-se que tende para o número real `; que tem limite `; que converge para `; ou que é convergente para `; sempre que para cada número positivo "; for veri cada, posteriormente, a desigualdade ju n `j < ": Ou seja, se ou de modo equivalente, se ou ainda, se 8" > 0; ju n `j < "; posteriormente, 8" > 0; ` " < u n < ` + "; posteriormente, 8" > 0; u n 2 ]` "; ` + "[ ; posteriormente. Em tal situação o valor ` é chamado de limite da sucessão u n e escreveremos que u n! ` ou lim u n = `: Este conceito de convergência exprime que dado um " > 0 (tão pequeno quanto se queira), a distância de u n a ` é menor que "; posteriormente. Ou de maneira mais intuitiva, que u n se encontra arbitrariamente próximo de `; se n for su cientemente grande. Quando ` = 0; diremos que u n é um in nitésimo ou um in nitamente pequeno. São importantes, sob o ponto de vista de cálculo de limites, as características algébricas das sucessões convergentes. Nesse sentido é possível estabelecer as propriedades das sucessões convergentes, que a seguir se descrevem, onde a e b designam números reais. x n! a ^ y n! b ) x n + y n! a + b: x n! a ^ y n! b ) x n y n! a b: x n! a ^ y n! b 6= 0 ^ y n 6= 0; totalmente ) x n =y n! a=b: x n! a ) x p n! a p ; 8p 2 N: 3

14 Mas podemos estender esta implicação aos racionais positivos. x n 0; totalmente ^ x n! a ) x n! a ; 8 2 Q + : Analogamente, diz-se que u n tende para ; ou que tem limite ; sempre que 8L < 0; u n < L; posteriormente; escreveremos agora Facilmente se observa que u n! ; ou lim u n = : u n!, u n! +: Em qualquer dos casos, u n é chamada de in nitamente grande, respectivamente, positivo e negativo. Estes in nitamente grandes são sucessões divergentes, para as quais se atribui um limite in nito. Por essa razão são vulgarmente designadas por sucessões divergentes in nitas. As propriedades algébricas relativas às sucessões convergentes, mencionadas acima, podem perder sentido quando uma das sucessões x n ; y n ; é um in nitamente grande. No entanto, relativamente à adição, são ainda válidas as seguintes propriedades. e x n! + ^ y n é minorada ) x n + y n! +: x n! ^ y n é majorada ) x n + y n! : Como consequência: x n! + ^ y n! + ) x n + y n! +: x n! ^ y n! ) x n + y n! : a relação Adoptando as convenções a + (+) = +; a + ( ) = ; 8a 2 R; (+) + (+) = +; ( ) + ( ) = ; lim (x n + y n ) = lim x n + lim y n ; apenas perde signi cado quando lim x n e lim y n são ambos in nitos de sinais contrários, ou seja, quando se está perante o que é costume designar-se por uma indeterminação do tipo No que respeita ao produto temos: : 4

15 x n! + ^ y n a > 0; posteriormente ) x n y n! +: x n! + ^ y n a < 0; posteriormente ) x n y n! : Consequentemente: x n! + ^ y n! + ) x n y n! +: x n! + ^ y n! ) x n y n! : x n! ^ y n! ) x n y n! +: e a relação Isto signi ca que adoptando as convenções a (+) = +; a ( ) = ; se a > 0; a (+) = ; a ( ) = +; se a < 0; (+) (+) = +; ( ) ( ) = +; ( ) (+) = ; lim (x n y n ) = lim x n lim y n deixa apenas de ser válida quando um destes limites é zero e o outro ; ou seja, quando se tem uma situação do tipo 0 ; a qual é indeterminada. Quanto à divisão, observemos primeiramente que, através dela, os conceitos de in nitamente grande e de in nitésimo se relacionam entre si. Nesse sentido, diremos que uma sucessão u n é um in nitésimo positivo, e escrevemos u n! 0 + ; se u n! 0 e u n > 0; posteriormente. Analogamente, u n dir-se-á um in nitésimo negativo, e escrevemos u n! 0 ; se u n! 0 e u n < 0; posteriormente. Assim, supondo que u n é uma sucessão sem termos nulos, temos: u n! 0 + ) u n! +: u n! 0 ) u n! : Consequentemente: u n! 0 ) ju n j! +: Analogamente: 5

16 u n! + ) u n! 0 + : u n! ) u n! 0 : Consequentemente: ju n j! + ) u n! 0: Deste modo, à luz destas propriedades, a razão = não é uma indeterminação. Antes podemos tomá-la como sendo zero. Também grosso modo, podemos adoptar =0 como sendo ; sem sinal especí co mas com possibilidade de se apurar esse sinal. Deste modo, relações do tipo 0= e =0; poderão ser tomadas como sendo zero a primeira e a segunda. Resta-nos a indeterminação = que pode ser olhada como equivalente à indeterminação 0 ; se adoptarmos que = = 0 : Para o cálculo de limites, um outro critério simples mas importante é o que resulta da seguinte propriedade dos limites respeitante à relação de ordem em R: Teorema (das sucessões enquadradas). Com a; b 2 R [ f ; +g ; se u n! a e v n! b; u n v n ; posteriormente ) a b: Com base neste teorema facilmente se observa a validade das seguintes implicações: (i) u n! + ^ u n v n (posteriormente)) v n! +; (ii) v n! ^ u n v n ; (posteriormente)) u n! ; (iii) lim u n = lim v n = ` 2 R [ f ; +g ^ u n w n v n ; (posteriormente)) lim w n = `: 4. Exercícios Exercício 25 Considere a sucessão x n = 2n n + : a) Mostre que com " = 0; 005 é veri cada posteriormente a seguinte desigualdade: jx n 2j < ": b) Será a mesma desigualdade válida posteriormente para qualquer número " > 0?::: c)...se assim suceder que conclui desse facto? 6

17 Exercício 26 Através da de nição de limite, mostre que: ( ) n + n 2! : Exercício 27 Caso existam indique os limites das seguintes sucessões: a) cos(n) sen (n): b) cos(n) + ( ) n+ : c) ( ) n+ cos(n): d) cos (( ) n ) : Exercício 28 Determine os limites das sucessões seguintes: a) n+ n 0 + : b) : c) n n 8 =3 r : d) 9 + n n : Exercício 29 Mostre que são válidas posteriormente as desigualdades: 3p n > A; (2n 5) 5 > B; para A = e B = : Serão as mesmas desigualdades válidas posteriormente para A e B quaisquer? Se assim suceder, que conclui desse facto? Exercício 30 a) Indique o valor de lim n2 + 2n n 3 + n + 5 : b) Através da de nição de limite, justi que que: n 2 + 2n < n 3 + n + 5; posteriormente. Exercício 3 A sucessão c n encontra-se de nida através de: c = 2; c n+ = 2 c n : a) Usando o método de indução nita mostre que: b) Indique o valor de lim c n : c n = n + n ; totalmente. Exercício 32 Determine os limites das sucessões seguintes: a) p n 2 n : b) n p n 2 n : 7

18 Exercício 33 Se x n for um in nitésimo cujos termos são todos positivos determine os limites de: 3 a) x2 n + 3x n : b) 5x2 n xn : c) : x n x n x n Exercício 34 Se x n for uma sucessão convergente para ; cujos termos são todos diferentes de ; ; e 2; determine os limites de: a) 2x n : b) x n 2 x n x 2 n : c) x2 n + x n 2 : x n Exercício 35 Considere a sucessão de nida por: x n = n 2 + (n + ) 2 + :::: + (n + n) 2 : a) Indique os termos x ; x 2 e x 3 desta sucessão. b) Justi que através do critério das sucessões enquadradas que x n! 0: Exercício 36 Determine lim x n ; onde x n = p n2 + + p n :::: + p n2 + n + : 5 Séries de números reais Relativamente a uma sucessão, u n ; podemos formular a sucessão s n de nida do seguinte modo: cujo termo geral é descrito por s = u ; s 2 = u + u 2 ; s 3 = u + u 2 + u 3 ; s 4 = u + u 2 + u 3 + u 4 ; ::::::::::::::::::: s n = u + ::: + u n = nx u k : k= Se a sucessão s n chamada de sucessão das somas parciais for uma sucessão convergente s n! s (s 2 R); 8

19 podemos entender s como sendo a soma de todos os termos da sucessão u n ; dando-se deste modo signi cado a somas in nitas, ou seja, com uma in nidade de parcelas: u + u 2 + u 3 + ::: + u n + ::: = u n ; n= que vulgarmente tomam o nome de séries. Em tais circunstâncias diremos que u n é uma sucessão somável e de soma igual a s; ou que a série correspondente é uma série convergente que tem por soma s; escrevendo-se então u n = s: n= Em caso contrário, ou seja se s n for uma sucessão divergente, diremos que u n não é uma sucessão somável ou que a série correspondente é divergente. A este respeito pode-se facilmente estabelecer que: Se u n 9 0 então P n= u n é uma série divergente. Isto é, apenas os in nitésimos poderão ser sucessões somáveis. Por vezes é conveniente considerar também séries do tipo n=p u n em que p é um inteiro qualquer. As de nições e considerações feitas estendem-se facilmente a tais casos. A partir da respectiva sucessão das somas parciais, nem sempre é simples avaliar se uma dada série é convergente e determinar a sua soma. Dentre as séries cuja soma é calculável de modo elementar, consta a chamada série geométrica de razão r; isto é a série n=0 r n (r 2 R): A sucessão das somas parciais associada a esta série é dada explicitamente por s n = nx r k = rn+ r : k=0 Por outro lado, atendendo a que a sucessão r n+ é uma sucessão convergente se e só se jrj < ; e nestas circunstâncias o seu limite é zero temos que a série geométrica será convergente se e só se jrj < e em tais circunstâncias teremos n=0 r n = r : 9

20 Facilmente se observa que com c 6= 0; a série é convergente se só se (cu n ) ; n= n= for uma série convergente, tendo-se em termos da soma que n= u n (cu n ) = c u n : Na verdade, para tirar tal conclusão, basta ter em conta que a sucessão das somas parciais da primeira série é: n= cu + cu 2 + ::: + cu n = c (u + u 2 + ::: + u n ) : Esta observação leva-nos à obtenção da soma de uma série geométrica incompleta n=p r n (r 2 R; p 2 N): De facto, temos que r n = n=p X r p r n p = r p r n p ; n=p n=p sendo a última série uma série geométrica completa. Logo Quando temos uma série r n = r p n=p X n=0 n= r n = r p r : em que u n = x n + y n ; a sua soma pode obter-se por soma das duas séries u n n= x n e y n ; n= desde que estas sejam ambas convergentes. Daí que se obtenha em tais circunstâncias u n = x n + y n : n= n= n= 20

21 Um outro tipo de séries em que a partir da respectiva sucessão das somas parciais, se pode facilmente avaliar a sua convergência, e em tal circunstância calcular a respectiva soma, é-nos dado pelas chamadas séries de Mengoli. Tratam-se de séries n= u n em que a sucessão u n ; para cada n 2 N; é da forma (ou pode ser decomposta na forma) u n = a n a n+p onde p é um dado número natural. Assim, a série inicial é transformada na série (a n a n+p ) ; cuja sucessão das somas parciais, para n p; é dada por s n = a + ::: + a p a n+ ::: a n+p : n= Deste modo, uma série de Mengoli será convergente se e só se for convergente a sucessão sendo então a soma da série dada por z n = a n+ + ::: + a n+p ; (a n a n+p ) = a + ::: + a p lim z n : n= Em particular, quando a n! a (a 2 R) podemos concluir que a série é convergente e que a sua soma é dada por (a n a n+p ) = a + ::: + a p pa: n= 5. Exercícios Exercício 37 Seja v n a sucessão de nida por: a) Por indução, mostre que b) Calcule lim v n : v = ; v n+ = v n 3 + : v n = 3 + :: + + ; totalmente. n 3 2

22 Exercício 38 Calcule as somas das seguintes séries: a) 5 : b) X n n= n=0 3 : c) X 5n+ n= : n 2 2 n Exercício 39 Q ; Q 2 ; Q 3 ; :::; Q n ; ::: é uma sucessão de quadrados construída do seguinte modo: Q é um quadrado de lado ; Q 2 é o quadrado cujos vértices são os pontos médios dos lados de Q ; Q 3 é o quadrado que tem por vértices os pontos médios dos lados de Q 2 ; etc. Na gura abaixo estão esboçados três quadrados consecutivos desta sucessão. a) Designando por A (Q n ) a área de Q n ; mostre por indução que b) Calcule P n= A (Q n) : A (Q n ) = =2 n : Exercício 40 R n é uma sucessão de rectângulos de base e altura n 2 + 2n ; e P n uma sucessão de rectângulos de base e altura n n + 2 : a) Mostre que A (R n ) = 2 A (P n) : b) Calcule P n= A (R n) : Exercício 4 R n é uma sucessão de rectângulos de base = (2n ) e altura = (2n + 5) ; enquanto P n é uma sucessão de rectângulos de base e altura 2n 2n + 5 : a) Mostre que A (P n ) = 6 A (R n ) : b) Calcule P n= A (R n) : 22

23 6 Exercícios de revisão Exercício 42 Através do princípio de indução nita mostre a validade total da seguinte condição: ::: + 333:::33 {z } n parcelas Exercício 43 Considere as sucessões de termos gerais, e indique: a) As que são monótonas. b) As que são majoradas. c) As que são minoradas. d) As que são convergentes. = 0n+ 9n 0 : 27 u n = ( )n n 2 ; v n = ( + ( ) n ) n e w n = 2n+ 2 n + ; Exercício 44 Das sucessões de termos gerais a seguir indicadas, quais são as convergentes? a) 3n3 + 3n 2 + 2n 3 3 e) ( ) n nn+ n n + : : b) ( ) n 3n3 + 3n 2 + : c) 2n + 4 n : d) nn+ 2n n+ n n + : (sin n)n f) : g) cos(n!): h) n cos(n) 3 n 2n + : i) n(2 + cos(n)) + n( cos(n)) : Exercício 45 Caso existam, calcule os limites das seguintes sucessões: q a) n + p p n + n n: b) p p : c) p (n + )n n(n ) n2 + : d) (n2 + n) =3 : e) n + 2 =3 n + 4 : 8n + 2 f) n 2 + n 2n : g) n n : h) 200n n n 3 n + 6 4n + 5n 3 : i) 2 n + 2 n+ : j) 2n+ + 3 n 2 n + 3 n+ : k) Exercício 46 Seja u n dada por: (n + )! n! : l) n!(n + 2) u = ; u n+ = a) Por indução nita, mostre que u n = n! : b) u n é estritamente decrescente. Justi que. 23 cos(n) + cos(2n) : n u n n + :

24 Exercício 47 A sucessão x n encontra-se de nida através de: a) Mostre que: x = 2 ; x n+ = 2x n + x n : x n = b) x n é estritamente decrescente. Justi que. 2n 2 n + : Exercício 48 Seja x n = an 2 : +2n Indique o conjunto dos valores de reais a para os quais x n é: a) Convergente. b) Divergente, mas limitada. Exercício 49 Relativamente a cada uma das sucessões: v n = an an 2 + ; x n = an2 n n 2 + ; y n = + an + a 2n ; z n = an2 + n + (a + )n ; indique o conjunto dos valores reais de a para os quais cada uma delas é convergente. Exercício 50 Seja a n uma sucessão de números reais positivos tal que a =n n que a n! 0: Exercício 5 Calcule a soma das seguintes séries:! a <. Mostre a) n=2 p p n + n p : b) n 2 n=0 2 2n 2 3n : c) n=0 2 8n 2 8 : d) X n= 2 n 3 : 2 7 Respostas ) Por ex. 2; ) Por ex. 2; :::. 3) Não. Sim, por ex. 0; :::. 4) a = 25 = ; b = ; c = ) a) Por exemplo p p 2 e 2: 90 = 3 0 ; d = b) Por exemplo p 2 e p 2: c) Por exemplo p 2 e p 2: d) Por exemplo p 2 e p 3: e) Por exemplo 2 p 2 e p 2: 24 = 759:

25 f) Por exemplo p 6 e p 2: 7) a) Nenhuma raiz irracional. b) 4. c) 4. d) 2. ) a) x = =5 ou 36 o. 2) N R a) Im possível Possível! f g b) Universal Universal c) Possível! f2g Possível! f2g d) Impossível Impossível e) Universal Possível! [0; +[ f) Universal Universal g) Universal Possível! [0; +[ h) Universal Possível! [0; +[ 3) a) jxj < 4 ) jxj < 5: b) x 2 ] ; [, jxj < : c) x =, x 3 = : d) x = 2 ) x 2 = 4: e) x > 3 ) jxj > 3: 4) a) 8x 2 R; x 2 0; V. b) 8x 2 R; 9y 2 R : y = x + 2; V. c) 9x 2 Z : 3 < x < 4; V. d) 8x 2 [3; 5] ; x < 5; 00; V. e) 9x 2 N : x 2 [7; ; 8; 00[ ; V. f) 8x 2 Q; 8y 2 RnQ; x + y 2 RnQ; V. g) 8x; y 2 RnQ; x + y 2 RnQ; F. h) 8x 2 RnQ; 8y 2 QnZ; x:y 2 Q; F. i) 8x; y 2 QnZ; x + y =2 Z; F. j) 8x 2 Z; 8y 2 QnZ; x + y 2 Z; F. 5) a) V. b) V. c) F. d) V. e) F. f) F. g) V. h) V. i) V. 6) ii) a) inf = min = 0; sup = max : b) inf = min; sup = max : max : d) inf = min; sup = max : e) inf = min; sup = max : f) inf = min; sup = max = 6: g) inf = max : 7) a) inf = min = 5; sup = max = : b) inf = min = 3; sup = max = : 25

26 max : d) inf = min; sup = max : e) inf = min = 4; sup = max = 6: f) inf = min = sup = max = : min; sup = max = : h) inf = min = 3; sup = max = : i) inf = min; sup = max : j) inf = min = p 3; sup = max = p 3: p p k) inf = min = 3; sup = max = + 3: p p l) inf = min; sup = + max : m) inf = min = ; sup = max = p 3: max : 20) a) p n = n(n + ): 23) a) Nenhuma das desigualdades é veri cada para n = : b) n > 50; n > 0 6 ; n > 500: 24) Nenhuma das desigualdades é veri cada para n = ; n > 500; n > 4998: 25) a) n > 599: b) n > (3 ") =": c) x n! 2: 27) a) 0: b) 0: c) : d) : 28) a) =2: b) : c) =2: d) 3: 29) n > 30 9 ; n > 2: n > A 3 ; n > (B =5 + 5)=2: lim 3p n = lim (2n 5) 5 = +: 30) a) (n 2 + n + ) = (n 3 n )! 0: b) Faça " = : 3) c) c n! : 32) a) : b) 2: 33) a) 3: b) : c) : 34) a) : b) =2: c) 3: 35) a) x = 5 4 ; x 2 = 6 94 e x 3 = : b) =n 2 x n (n + ) =n 2 e x n! 0: 36) : 37) b) 3/2. 38) a) =4: b) 3 4 = (3 5 ) : c) 7: 39) b) 2. 40) b) 3/4. 26

27 4) b) 23/90. 43) a) w n (estritamente crescente). b) u n e w n : c) u n ; v n e w n : d) u n! 0 e w n! 2: u n e w n : 44) a) Convergente (para 3=2). b) Divergente (sem limite). c) Divergente (tem limite +). d) Divergente (com limite +). e) Divergente (sem limite) f) Convergente (para 0): g) Convergente (para ). h) Divergente (sem limite). i) Divergente (sem limite).. 45) a) =2: b) : c) : d) 0; e) =2: f) 2: g) 0: h) =5: i) =2: j) =3: k) : l) 0: 47) a) Use o método de indução. b) x n+ x n = x n ( x n ) > 0: 48 a) 4 < a 4: b) a = : 49 v n e x n são convergentes para todos os valores de a: y n e z n convergem se e só se a 6= : 50) Seja " > 0 tal que a+" < : Então a =n n < a+"; posteriormente. Sendo 0 < a n < (a + ") n ; posteriormente, e (a + ") n! 0; concluímos que a n! 0: 5) a) + p 2=2: b) 4=2: c) =8: d) 9=2: 27