Faculdade de Economia Universidade Nova de Lisboa TÓPICOS DE CORRECÇÃO DO EXAME DE CÁLCULO I. Ano Lectivo o Semestre

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1 Faculdade de Economia Universidade Nova de Lisboa TÓPICOS DE CORRECÇÃO DO EXAME DE CÁLCULO I Ano Lectivo o Semestre Exame Final em 24 de Janeiro de 28 Versão B Duração: 2 horas e 3 minutos Não é permitido usar máquinas de calcular nem telemóveis Não tenha o seu telemóvel consigo Não se tiram dúvidas Simpli que os cálculos ao máximo Justi que sempre as suas respostas Pode usar o verso das folhas de resposta Os rascunhos devem estar bem identi cados Não pode desagrafar as folhas do teste ATENÇÃO: NÃO SE ESQUEÇA DE ESCREVER O SEU NÚMERO EM TODAS AS FOLHAS

2 N o : Nome:. Comente num máximo de 5 linhas as seguintes proposições: (a) ( valor) Se o conjunto dos termos de uma sucessão não tiver pontos de acumulação, a sucessão não tem limite. (b) ( valor) Se uma função real de variável real tiver limite nito em x = a e estiver de nida em x = a mas com um valor diferente do limite, então a função tem derivada em x = a mas essa derivadão é nita. RESOLUÇÃO: a. Falso. Se ter limite implicasse a existência de pontos de acumulação, então a não existência de pontos de acumulação implicaria ão existência de limite. Mas tal não é verdade. Por exemplo, as sucessões de termo geral u n = ( ) 2n e w n = 4 não têm pontos de acumulação mas têm limite, e 4 respectivamente. b. Falso. Nas condições apresentadas, a função não poderá ter derivado ponto x = a: Sendo os limites laterais iguais, e não sendo a função contínua em x = a, as derivadas laterais não poderão ser iguais! Observemos os seguintes dois exemplos: ( ( jxj se x 6= x se x 6= f(x) = g(x) = se x = 2 se x = Trata-se de duas funções com limite nito em x = limf(x) = e lim g(x) =, x! x! mas não contínuas nesse ponto. Necessariamente, têm derivadas lateriais in nitas e diferentes. Nem o caso de existência de derivadas lateriais in nitas e iguais pode ser considerado. 2

3 N o : Nome: 2. Considere a função: f(x) = x 2 ln x (a) (,5 valores) Determine o domínio de f. Indique se o conjunto é aberto, fechado e limitado. (b) (,5 valores) Determine lim f(2 + e n ): (c) (,5 valores) Escreva a fórmula de Taylor, com resto de ordem 3 (ou seja, após o uso da terceira derivado polinómio de Taylor), da função f em torno do ponto de abcissa. (d) (,5 valores) Use a alínea anterior para mostrar que: f(x) < (x ) (x )2 + 3 (x )3 ; 8x 2 Rn fg er (e) ( valor) Determine f(x)dx: (f) ( valor) Determine, pela de nição, f (2): RESOLUÇÃO: a. D f = fx 2 R : x > g = ]; +[ int(d f ) = ]; +[ fr(d f ) = fg ader(d f ) = D f = [; +[ O domínio da função f(x) é um conjunto aberto porque int(d f ) = D f. Não é fechado porque _ D f 6= D f : Não é um conjunto limitado porque apesar de ser minorado, por exemplo por 2; não é majorado. h i b. lim f (2 + e n ) = lim (2 + e n ) 2 ln (2 + e n ) = lim e : lim ln (2 + e n ) = n 4 ln 2 3

4 c. Pela fórmula de Taylor: f(x) = f() + f ()(x ) + f (x )2 () + f (x )3 () + R 2! 3! 3 f(x) = f() + f ()(x ) + f (x )2 () < c < x: 2! + f () Fazendo os seguintes cálculos auxiliares, temos: f() = f (x) = 2x ln x + x f () = f (x) = 2 ln x + 3 f () = 3 f (x) = 2 x f () = 2 f iv (x) = 2 x 2 f iv (c) = 2 c 2 (x )3 + f iv (x )4 (c), para 3! 4! (x )2 (x )3 Assim, f(x) = + (x ) , f(x) = (x ) (x )2 + (x )3 3 (x ) 4 2c 2 2 (x ) 4, c 2 4! d. Como R 3 = (x )4 2c 2 <, para x 2 D f n fg e < c < x; o desenvolvimento pela fórmula de Taylor sobrestima o valor de f(x), logo conclui-se que f(x) < (x ) (x )2 + (x )3 3 : e. er er f(x)dx = (x 2 ln x) dx Aplicando a regra de primitivação por partes, escolha-se u = x 2 e v = ln x: er h i e er h i er (x 2 x ln x) dx = 3 ln x x 3 dx = e 3 ln e ln x 2 dx = e3 3 3 x h 3 x 3 3 i e = 2e3 + 9 f. f (2) = lim h 4 lim h! f(2+h) f(2) h! h ln(2+h) ln 2 h = lim (2+h)2 ln(2+h) 22 ln 2 = lim h! h i + 4 ln(2 + h) + h ln(2 + h) = 4 ln(2+h)+4h ln(2+h)+h2 ln(2+h) 4 ln 2 = h! h 4

5 (o primeiro parêntese dá uma prenda: é, após o limite, a derivada do logaritmo no ponto 2; para ajudar vamos escrevê-la como (ln 2) ) = 4(ln 2) + lim [4 ln(2 + h) + h ln(2 + h)] = ln 2 = ln 2 h! 2 5

6 N o : Nome: 3. Considere a função de nida por. f(x; y) = p x 2 y (a) ( valor) Determine o domínio de f e represente-o gra camente. (b) ( valor) Considere o conjunto A = D f \ f(x; y) 2 R 2 : x 2 Zg :Represente-o gra camente e determine o seu interior, fronteira e derivado. (c) ( valor) Determine as derivadas parciais de primeira ordem de f: (d) ( valor) Se g(x) = f(x; ), determine os extremos da função g: RESOLUÇÃO: a. D f = f(x; y) 2 R 2 : x 2 y g D f = f(x; y) 2 R 2 : y x 2 g b. A = D f \ f(x; y) 2 R 2 : x 2 Zg A = f(x; y) 2 R 2 : x 2 Z ^ y 2 ] ; f(x)]g 6

7 int(a) = fr(a) = A der(a) = A = A c. Derivada parcial de primeira ordem de f em ordem a x: = 2 x2 y) 2 x ( 2x) = x 2 y Derivada parcial de primeira ordem de f em ordem a y: = 2 x2 y) 2 ( ) = 2 x 2 y d. A função g(x) = f(x; ) = p x 2 é contínuo seu domínio [ ; = x p x 2 ; não há pontos no intervalo ] ; [ em que não exista derivada, logo se existirem extremos, estes serão os valores de x 2 ] ; [ : g (x) = : g (x) =, f (x; ) =, p x 2 =, x = ^ p x 2 6=, x = ^ x 6=, x = A derivada de g(x) anula-se num único ponto, em x = : Vamos agora averiguar se este ponto é extremo da função. derivada da função à esquerda e à direita de x = : Para tal, estudemos o sinal da primeira lim x! g (x) = lim x! x p x 2 = + p = + > lim g (x) = lim p x x! + x! + x 2 = p = < Como o sinal da primeira derivada de g(x) muda de sinal em x = ; podemos concluir que g() = é extremo (e que não se trata de um ponto de in exão). 7

8 É máximo porque a derivada é positiva (função crescente) à esquerda de x = e negativa (função decrescente) à direita de x = : Em relação aos restantes pontos do domínio, conclui-se que há um mínimo,, para os minimizantes e :Note que a função g é estritamente crescente quando x < e estritamente decrescente quando x > : 8

9 N o : Nome: 4. É dada a sucessão ( ) de nida por = 2 p 2n + : (a) (,5 valores) Mostre que -8 é termo da sucessão. (b) (,5 valores) A sucessão tem alguns termos nulos? (c) (,5 valores) Determine o maior termo da sucessão. (d) (,5 valores) A sucessão é limitada? (e) (,5 valores) Usando o teorema das sucessões enquadradas, prove que lim sin n = : RESOLUÇÃO: a. Para que 8 seja termo da sucessão, tem de existir pelo menos um valor de n 2 N : = 8: 8 = 2 p 2n +, 9 = p 2n + ) 8 = 2n +, n = 4 Veri cação: 8 = 2 p 2 4 +, 8 = 8 b. Seguindo a lógica da alínea anterior: = 2 p 2n +, 5 = p 2n + ) 25 = 2n +, n = 2 Veri cação: = 2 p 2 2 +, = c. Estudemos, em primeiro lugar, a monotonia da sucessão : + = 2 p 2n p 2n + = 2 p 2n p 2n + < pois 2n + 3 > 2n + ; 8n 2 N: 9

10 Como a diferença entre quaisquer dois termos consecutivos da sucessão é negativa, a sucessão é estritamente monótona decrescente e o maior termo corresponde ao primeiro: a = 2 p 2 + = 2 p 3 d. Sendo a sucessão estritamente monótona decrescente, terá como majorante o primeiro termo da sucessão, ou seja, 2 p 3: O respectivo minorante será, se existir e for nito, o limite da sucessão. lim = lim 2 p 2n + = 2 p 2 (+) + = = Assim se conclui que a sucessão é propriamente divergente e assim sendo não será minorada. A sucessão não é limitada. e. Pretende-se mostrar que lim sin n = através do teorema das sucessões enquadradas. Sendo a sucessão sin n uma sucessão limitada entre - e, podemos enquadrar ossa sucessão da seguinte forma: sin n Assim sendo, lim lim sin n = lim sin n lim, lim sin n, lim sin n ) A sucessão sin n é um in nitésimo, tal como queriamos provar!

11 N o : Nome: 5. Considere a seguinte expressão implícita que relaciona as variáveis x e y: (x 2) ln y + y ln (x 2) = Admita que esta função de ne y como função de x no ponto de abcissa x = 3, isto é, que existe localmente y = f (3) : (a) (,5 valores) Calcule y = f (3) : (b) ( valor) Calcule f (3): (c) ( valor) Admitindo que também existe uma função x = g(y) na vizinhança do ponto y com que trabalhou em a) e b), poderá g ter nesse ponto um extremo? RESOLUÇÃO: a. Para calcular f(3), podemos substituir directamente x por 3 na expressão dada: (3 2) ln y + y ln (3 2) =, ln y = ) y =. Logo f(3) = : b. Para calcular f (3) usemos a regra da derivada forma implícita expressão que nos é dada: ((x 2) ln y + y ln (x 2)) x = () y x, ln y + (x 2) + y y ln (x 2) + y = x 2, y ( (x 2) + ln (x 2)) = ln y y y, y = Logo f (3) = ln y+ y x 2, f (x) = y (x 2)+ln(x 2) ln y, f (3) = (3 2)+ln(3 2), x 2 ln y+ y x 2 (x 2)+ln(x 2) c. Para que g possa ter um extremo no ponto y =, é necessário que a sua derivada se anule nesse ponto. Uma vez que g(y) é a função inversa de f(x), podemos usar a derivada da função inversa para calcular g ( ). Temos então: g (y ) = f (x ), com y = f(x ). Logo:

12 g ( ) = f (3), g ( ) =, g ( ) =. Como a derivada de g não se anula em y = extremo de g., esse ponto não poderá ser um 2

13 N o : Nome: 6. (2 valores) Considere a sucessão U n = R x n dx (a) (,25 valores) Encontre a expressão geral da abcissa h de que fala o teorema da média (ou teorema da piscina agitada ou teorema do balde aos tombos). Deve chegar a que h é uma sucessão que designará por W n : (b) (,25 valores) Sem fazer cálculos, diga porque motivo W n é limitada. (c) (,5 q valores) Calcule lim W n (Nota: Se não resolveu a alínea a) use W n = n n+ n! ): RESOLUÇÃO: a. De acordo com o Teorema da Média, 9h 2 [a; b] tal que Neste caso temos: R h i x n dx = x n+ n+ Logo W n = n+ n. br f(x)dx = (b a a)f(h). = n+. Logo n+ = ( )h n, n+ = h n, h = n n+. b. Ainda de acordo com o Teorema da Média, h 2 [; ]. Como W n = h; 8n 2 N, W n é limitada entre e (é minorada e majorada). c. Para o cálculo do limite W n = n n+ lim n+ = n q n+ podemos aplicar um dos critérios adequados a casos destes. Sendo U n = n+, então lim U n+ U n = lim A título pedagógico oferecemos a resolução à velha maneira: n = lim e ln( n+ n ) = lim e n 2 n ln(+ n) ln(n) n = lim e n 2 ln(+ n) n e ln e = n+2 n+ =. = lim e n ln( n n+ n) = lim e n ln( n n+ ) n ln(n) = lim e n ln(n) n = e lim( n 2 ) ln lim((+ n) n ) lim( ln(n) n ) = q No caso da opção W n = n n+; o critério acima invocado, leva a: lim U n+ n! lim (n+)+ (n+)! n+ n! = lim n+2 Logo, lim n q n+ n! =. n! (n+)n! n+ = lim n+2 (n+) 2 = 3 U n = n+ ln( n ) ln(n) n =

14 N o : Nome: 7. A função Gama, G, é de nida por G(x) = + R t x e t dt O domínio desta função é R + : NOTA: ISTO NÃO É UM INTEGRAL PARAMÉTRICO. (a) (,5 valores) Calcule G(). (b) (,5 valores) Mostre que G(x + ) = xg(x); 8x > : RESOLUÇÃO: Note que neste interessante exercício a variável de integração é t; o x funciona como uma letra. a. G() = + R b. G(x + ) = e t dt = lim b!+ [ + R t x e t dt e t ] b = lim b!+ e b ( e ) = + = Aplicando a regra de primitivação por partes, lembrando sempre que a variável de integração é t, escolha-se u = e t e v = t x ; u = e t e v = xt x : + R t x e t dt = lim [ e t t x ] b + R xt x ( e t )dt = lim [ e t t x ] b + +x R t x e t dt = b!+ b!+ = lim b!+ [ e t t x ] b + xg(x): O primeiro limite é o seguinte: lim ( b!+ e b b x +) = lim b!+ lim [ b!+ e t t x ] b = lim ( e b b x ) ( e x ) = b!+ b x e b : Este limite é facilmente calculado pela aplicação sucessiva da Regra de Cauchy. É, no entanto, óbvio que a exponencial cresce mais depressa que a potência, pelo que se aceita que o aluno diga que este limite é. Donde en m, G(x + ) = xg(x). 4