Matemática B - ONG em Ação

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1 Matemática B - ONG em Ação Gustavo Henrique Silva Sarturi Bacharelado em Matemática Industrial - UFPR gustavo.sarturi@ufpr.br Operações Aritméticas e Algébricas Elementares. Conjuntos Numéricos Os conjuntos numéricos é algo de extrema importância na Matemática, é uma das partes mais fundamentais da Matemática e com notórias aplicações em todas em grande parte das áreas de estudo da Matemática. Atualmente, os conjuntos englobam os Naturais, Inteiros, Racionais, Irracionais, Reais e Complexos, que são denotados respectivamente por N, Z, Q, I, R e C. À princípio, iremos trabalhar até o corpo dos Reais (seja lá o que for corpo, no momento). Vamos ilustrar como são tais conjuntos citados. Naturais N: {,,,,5, } Inteiros Z: {,,,,0,,,, } Racionais Q: { p q p,q Z e q 0} Irracionais I : É o subconjunto dos números reais que não podem ser obtidos através da divisão de dois números inteiros. Reais R : Engloba todos os subconjuntos anteriores. Complexos C : Engloba todos os subconjuntos anteriores e os números imaginários,i,, i. A ênfase neles será dada brevemente. Operações Aritméticas: Definição.. Dados dois números racionais r = m n e s = p q, definimos:. r + s = m n + p q = mq + np nq. r s = m n p q = mp nq

2 Observação.. Para o conjunto dos reais, sejam a,b,c R, são válidos as seguintes operações:. a + b = b + a (Associatividade da adição);. a + (b + c) = (a + b) + c (Comutatividade da adição);. a + 0 = a (Existência do Elemento Neutro da Adição);. ( a) R a + ( a) = 0 (Elemento Simétrico) 5. a (b c) = (a b) c (Associatividade do produto); 6. a b = b a (Comutatividade do produto); 7. a = a (Existência do Elemento Neutro do Produto); 8. a R a a = (Elemento Inverso); 9. a (b + c) = ab + ac (Distribuitividade);. Potências e Radiciação.. Potenciação Definição.. Seja a,n R definimos potência de base a e expoente n o número a n ta que: { a 0 =, a R a n = a n Γ a Decorre imediatamente da definição que: Sendo n N e n temos no entanto que a n é o produto de n fatores iguais a a, no caso: Propriedades : a m a n = a m+n am a n = a m n, a 0 (a b) n = a n b n com b 0 ou n 0 ( a b )n = an b n, b 0 (a m ) n = a m n a n = a n a = a a a a (n vezes) Definição.. Dado um número real a, não nulo, e um número n natural, define-se a potência a n pela relação: a n = a n

3 .. Radiciação Dados um número real a 0 e um número natural n, n, é demonstrável que existe sempre um número real positivo ou nulo b tal que b n = a. Ao número b chamaremos de raíz enérsima aritmética de a e indicamos pelo símbolo n a, onde a é o radicando e n é o índice (ou radical). Assim, temos a seguinte definição: Definição.. A Potência de Expoente Racional de a R + e p q como potência de base a e expoente p q pela relação: Q com p Z e q N, define-se a m n = n a m Uma observação muito importantíssima, 6 = 6 e não ±6, porém, ± 6 = ±6, pois note que o radical não é o culpado pelo sinal que antecede. Isso é muito importante por definimos a 0. Propriedades Decorre imediatamente da definição e propriedades da potenciação que, se a R +, b R +, m Z, n N e p N,temos: n a m = n p a m p para a 0 ou m 0 n a b = n a n b n a b = n a n b para b 0 ( n a) m = n a m para a 0 ou m 0 p n a = p n a. Exercícios. Utilizando as propriedades apresentadas, mostre que a 0 =, a R.. Calcule ( ) (b) ( ) (c) (d) 7 ( ) ( ) (g) ( ) (h) ( )0 (i) (j) ( ) (k) ( ) 0 (l) ( ) (m) 0 7 (n) ( ) 0 (o) 5 0 (p) ( ) 08. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F) cada uma das sentenças abaixo: 5 5 = 5 6 (b) 6 = (c) = 6 (d) ( + ) = + (h) 5 = (5 ) = 5 6 ( ) 6 = 6 (g) 7 5 = ( ) (k) π + π = (i) (5 ) = (l) = 5 8 (j) (π + ) = π (m) ( ) 6 = 6. Simplifique as expressões, supondo a b 0 (a b ) (a b ) (b) (a b ) (a b )

4 (c) (d) [(a b ) ] ( a b a b ) 5 (a b ) (a b ) (a b ) (a b ) (a b ) (a b ) 5. Se a e b são números reais, então, em que condições (a + b) = a + b? 6. Determine o menor número inteiro positivo x para que 90 x = M, em que M é um número inteiro. 7. Simplifique os radicais: 6 (b) 576 (c) (d) 7 79 (g) (h) 96 (i) 65 (j) 8 (k) 8 (l) 7 (m) 5 8. Simplifique as expressões: (b) (c) (d) (g) a ab + b a b + a b ab ab 9. Simplifique: 8x (b) 5x y (c) x y 5 (d) 8x 0. Reduza ao mesmo índice:, e 5 (b), 5 e 5 (c),,, 6 5 (d),, 5,, 5 5, 6 5 [-50] Efetue as operações indicadas com as raízes: : : : :

5 5. 6. : : : 9. : ( ). ( + ) (5 ). (5 ) 5. ( 5 0 5) 6. ( ) : 5 7. (6 + ) (5 ) 8. ( + 5) (7 5) 9. ( + ) ( ) 0. ( + ) (5 ). ( + ) (5 ). ( ). ( 5). ( 5 7) ( 5 + 7) 5. ( + ) 6. ( 8 8 : 7. ( + 8) : Funções Polinomiais do e grau. Construa o gráfico cartesiao das funções de R em R. y = x (b) y = x + (c) y = x + (d) y = x y = x y = x + (g) y = x + (h) y = x. Resolva analitcamente e graficamente o sistema de equações: (b) { x + y = 5 x y = { x y = x + y = (d) { x 5y = 9 7x + y = 0 { x + 5y = 6x + 7y = { x + y = x + y = (c) { x y = x + y = 8 (g) { x + 5y = 0 x y = 0. Resolva os sistemas de equações:

6 6 { x y + x+y = x y x+y = { x+y+ x y+ = 5 x+y+ + x y+ =. Obtenha a equação da reta que passa pelos pontos: (,) e (,5) (b) (,-) e (-,) (c) (,-) e (,-) (d) (,) e (,) Mais exercícios serão atualizados em breve... Referências