Quantificadores, Predicados e Validade

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1 Quantificadores, Predicados e Validade

2 Quantificadores e Predicados Fbfs proposicionais tem uma possibilidade limitada de expressão. Exemplo: Para todo x, x > 0 Ela não pode ser simbolizada adequadamente usando-se apenas: letras de proposição, parênteses e conectivos lógicos. Ela contém dois conceitos novos: Quantificador e Predicado. 2

3 Quantificadores e Predicados São frases do tipo: para todo para cada Para algum Frases que dizem quantos objetos tem uma determinada propriedade 3

4 Quantificador Universal O quantificador universal é simbolizado como: Onde lê-se: para todo, ou para cada, ou para qualquer. Então, a sentença: Para todo x, x > 0 Pode ser simbolizada por: ( x) (x > 0) 4

5 Quantificadores e Predicados ( x) (x > 0) Como deve-se utilizar os parênteses: Primeiro par: deve possuir o quantificador e sua variável declarada; Segundo par: frase onde o quantificador age. A frase x > 0 descreve uma propriedade da variável x. Uma propriedade também pode ser denominada predicado. Quando não sabe-se qual o predicado de x, pode-se utilizar: ( x) P(x) Onde P(x) é utilizado para representar o predicado não explicitado que a variável x possa ter 5

6 Quantificadores e Predicados O valor lógico (verdadeiro ou falso) da expressão ( x) (x > 0) depende do conjunto de objetos que estamos nos referindo. Esse conjunto de objetos é chamado de: domínio de interpretação, ou conjunto universo. O valor lógico de ( x) (x > 0), por exemplo: Seria verdadeiro se o conjunto universo fosse o conjunto dos números inteiros positivos; Seria falso se o conjunto universo fosse o conjunto com todos os números inteiros; 6

7 Exercícios Interpretação: conjunto universo e significado de P(x) Qual o valor lógico da expressão ( x) P(x) em cada uma das interpretações à seguir? a) P(x) é a propriedade que x é amarelo e o conjunto universo é o conjunto de todos os botões-de-ouro. b) P(x) é a propriedade que x é amarelo e o conjunto universo é o conjunto de todas as flores. c) P(x) é a propriedade que x é uma planta e o conjunto universo é o conjunto de todas as flores. d) P(x) é a propriedade que x é positivo ou negativo e o conjunto universo é o conjunto de todos os inteiros. 7

8 Quantificador existencial O quantificador existencial é simbolizado como: Onde lê-se: existe, ou há pelo menos um, ou existe algum, ou para algum. Assim, a expressão: ( x)(x > 0) pode ser lida: existe um x tal que x é maior que zero. Seu valor lógico também depende da interpretação. Nesse caso, Se o domínio de interpretação (conjunto universo) contiver um número positivo, a sentença é verdadeira. Caso contrário, é falsa. 8

9 Exercícios Interpretação: conjunto universo e significado de P(x) Qual o valor lógico da expressão ( x)p(x) em cada uma das interpretações abaixo? P(x) é a propriedade que x é amarelo e o conjunto universo é o conjunto de todas as flores. P(x) é a propriedade que x é possui asas e o conjunto universo é o conjunto de todos os carros. 9

10 Exercícios Interpretação: conjunto universo e significado de P(x) Dê uma interpretação para a qual ( x)p(x) tem o valor verdadeiro. Dê uma interpretação para a qual ( x)p(x) tem o valor falso. É possível encontrar uma interpretação na qual, ao mesmo tempo, ( x)p(x) seja verdadeiro e ( x)p(x) seja falso? É possível encontrar uma interpretação na qual, ao mesmo tempo, ( x)p(x) seja falso e ( x)p(x) seja verdadeiro? 10

11 Predicados Os predicados podem ter mais de uma única variável. Podendo ser: unários: envolvendo propriedades de uma variável; binários: envolvendo propriedades de duas variáveis; ternários: envolvendo propriedades de três variáveis; n-ários: envolvendo propriedades de n variáveis. 11

12 Predicados A expressão com predicado binário abaixo: Pode ser lida como: ( x)( y)q(x,y) Para todo x existe um y tal que Q(x,y) Um exemplo: Se o conjunto universo são números inteiros e Q(x,y) é a propriedade x > y Diz-se que para todo inteiro, existe um inteiro maior, então, o valor lógico é verdadeiro. 12

13 Predicados Atenção!! Com a mesma interpretação, mas ao inverter a expressão para: Diz que: ( y)( x)q(x,y) existe um número inteiro que é maior do que qualquer outro inteiro, ou seja, com valor lógico falso Isso mostra que a ordem dos quantificadores é importante. 13

14 Interpretação Uma interpretação para uma expressão envolvendo predicados consiste em: Uma coleção de objetos, chamada de conjunto universo ou domínio da interpretação, que precisa incluir pelo menos um objeto. A especificação de uma propriedade dos objetos no domínio para cada predicado na expressão. A atribuição de um objeto particular no conjunto universo para cada símbolo constante na expressão. 14

15 FBFs predicadas Expressões podem ser formadas combinandose predicados com quantificadores ( e ); símbolos de agrupamento (parênteses e colchetes); e conectivos lógicos (,,, ). Fórmulas Bem Formadas contendo predicados e quantificadores são chamadas de fbfs predicadas 15

16 FBFs predicadas Exemplos: P(x) Q(y); ( x) [P(x) Q(x)]; ( x) ( ( x) [P(x,y) Q(x,y)] R(x) ); ( x)s(x) ( x)t(y). Os símbolos de agrupamento indicam o escopo de um quantificador. 16

17 Exercícios FBF: ( x) ( y) [ S(x,y) L(y,c) ] Conjunto universo: Todos as cidades do Brasil. S(x,y) é a propriedade: x e y estão no mesmo estado. L(y,z) é a propriedade: o nome da cidade y começa com a mesma letra da cidade z. c é uma constante, onde é atribuído o valor de Caratinga. Questões: Qual é o escopo de ( y)? Qual é o escopo de ( x)? Qual o valor lógico da fbf apresentada? 17

18 Exercícios 1. Encontre o valor lógico da fbf ( x)( A(x) ( y)[b(x,y) C(y)] ) Com a interpretação: Conjunto universo: conjunto de inteiros; A(x) significa: x > 0; B(x,y) significa: x > y; C(x) significa: x <= Crie outra interpretação para dar um valor lógico oposto ao encontrado. 18