Lógica de Predicados

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1 Lógica de Predicados Slides da disciplina Lógica para Computação ministrada pelo Prof. Celso Antônio Alves Kaestner, Dr. Eng. entre 2007 e Alterações feitas em 2009 pelo Prof. Adolfo Neto (adolfo@utfpr.edu.br) Versão original disponível em

2 Lógica de Predicados A Lógica de Predicados (ou lógica de 1ª ordem) é uma extensão da lógica proposicional que aumenta sua expressividade, permitindo que se façam afirmações sobre propriedades ou predicados inerentes a conjuntos de elementos individuais; Tipicamente as fórmulas envolvem os quantificadores para todo ( ) e existe ( ); Uma fórmula típica é: x(homem(x) mortal(x)). Obs.: para representar o mesmo em Lógica Proposicional seria necessário utilizar uma fórmula para cada indivíduo, por exemplo: (homem_joão mortal_joão), (homem_josé mortal_josé), etc. 16/09/09 Prof. Celso A A Kaestner 2

3 Mais exemplos de Fórmulas com Predicados Predicados unários: brasileiro(joão) Predicados binários: maior(3,4) matou(joão,maria) Predicados ternários: deu(maria,livro,joão)

4 Gottlob Frege

5 Lógica Predicativa A linguagem (sintaxe) da Lógica Predicativa L PRED é mais complexa que a da Lógica Proposicional; Para a definição de L PRED necessita-se de: Conjuntos de predicados: R i = { r i, 1 ri,... 2 ri n,...} onde o sobrescrito i indica a aridade do predicado (o seu nº de argumentos); Um conjunto de constantes: C = {c 1,c 2,...}; Conjuntos de funções: F i = { f i 1, fi 2,... fi n,...} onde o sobrescrito i também indica a aridade da função; Um conjunto de variáveis: V = {x 1,x 2,...}. 16/09/09 Prof. Celso A A Kaestner 5

6 Exemplos Predicados: R 1 ={homem 1,mortal 1,brasileiro 1,...} R 2 ={maior 2,matou 2,...} R 3 ={deu 3,...}... Constantes: C={maria,joão,livro,3,4,...}

7 Funções +(3,4) pai_de(joão) divisao(5.5,3.2) salario(joão)

8 Lógica de Predicados Para definir o que são fórmulas bemformadas na Lógica de Predicados precisaremos definir dois conceitos: Assinatura e Termos O conjunto de fórmulas bem-formadas será relativo a uma assinatura.

9 Lógica Predicativa Uma assinatura de L PRED é a uma tupla do tipo Σ = [R 1,R 2,..., R M,C,V,F 1,F 2,...,F N ] onde M e N são números naturais conhecidos. O conjunto dos termos de L PRED recursivamente por: Se x V então x T(Σ); Se c C então c T(Σ); é T(Σ) definido Se f F j e se t 1,...t j T(Σ) então f(t 1,...t j ) T(Σ). 16/09/09 Prof. Celso A A Kaestner 9

10 Lógica Predicativa O conjunto das fórmulas bem formadas (fbf) de L PRED é Fbf(Σ) definido recursivamente como sendo o menor conjunto que atenda ao seguinte: Se t 1,...t j T(Σ) e se r j R j então r j (t 1,...t j ) Fbf(Σ); Se t 1, t 2 T(Σ) então t 1 = t 2 Fbf(Σ); Estas fbf são chamadas de fórmulas atômicas; Se ϕ, ψ Fbf(Σ) então ϕ, ϕ ψ, ϕ ψ, ϕ ψ Fbf(Σ); Se ϕ Fbf(Σ) e se x V então x(ϕ) e x(ϕ) Fbf(Σ). 16/09/09 Prof. Celso A A Kaestner 10

11 Exemplos Assinaturas Termos Fórmulas bem-formadas Σ=[R 1 ={filho_unico},r 2 ={pai},c={joao,jose,1,...,120},v= {x,y},f 1 ={idade},f 2 ={soma}]

12 Representação de Conhecimento Representar frases em língua natural como fórmulas em lógica de predicados Há um conjunto de regras que podem ser utilizadas na tradução

13 Exercícios Resolvidos Escreva fórmulas para representar as frases abaixo: A média de a e b é igual a c Igual(media(a,b),c) - para lógicas sem igualdade media(a,b)=c Todo professor é funcionário x.(professor(x) Funcionario(x)) Alguns alunos são funcionários x.(aluno(x) Funcionario(x)) Se alguém matou Maria, este alguém também matou João x.(matou(x,maria) Matou(x,João)) Todo número primo maior do que 2 é ímpar x.( (Primo(x) Maior_que(x,2)) Impar(x) )

14 Exercícios Resolvidos Escreva fórmulas para representar as frases abaixo: A média de quaisquer dois números é maior ou igual do que um dos dois x y. ( Maior_igual(media(x,y),x) Maior_igual(media(x,y),y) ) Não é verdade que a soma de dois números pares seja um número ímpar!( x y.[ (Par(x) Par(y)) Impar(soma(x,y)) ]) Se um número é par, ele não é ímpar x.( Par(x) (!(Impar(x)) ) )

15 Exercícios Escreva fórmulas para representar as frases abaixo: O resultado da multiplicação de a por b é c Alguns políticos são ladrões Todo múltiplo de 4 é múltiplo de 2 A média de quaisquer três números é maior ou igual do que um dos três Se um número é divisível por outro, não igual a zero, então dizemos que ele é múltiplo desse outro Se uma pessoa é pai de outra que tem um filho, então aquela pessoa é avô deste último

16 LP Monádicos vs. LP Poliádicos Lógica de Predicados Monádicos: apenas predicados unários. Limitada A satisfazibilidade é decidível Lógica de Predicados Poliádicos Sem limite na aridade dos predicados A satisfazibilidade é indecidível

17 Fim da Primeira Parte Ver exercícios resolvidos de representação de conhecimento

18 Lógica Predicativa O conjunto das variáveis livres V LIVRES (ϕ) em uma fórmula ϕ é definido por: Se ϕ = r j (t 1,...t j ) com r j R j e os t i T(Σ) então todas as variáveis em ϕ pertencem a V LIVRES (ϕ); Se ϕ = (t 1 =t 2 ) com os t i T(Σ) então todas as variáveis em ϕ pertencem a V LIVRES (ϕ); Se ϕ= ψ então V LIVRES (ϕ)= V LIVRES (ψ); Se ϕ= ξ ψ, ξ ψ, ou ξ ψ então V LIVRES (ϕ)= V LIVRES (ξ) V LIVRES (ψ); Se ϕ= x(ψ) ou x(ψ) então V LIVRES (ϕ)= V LIVRES (ψ) {x}. Exemplo: Se ϕ = x (r(x) q(y) z (s(z,y))) então V LIVRES (ϕ) = { y }. 16/09/09 Prof. Celso A A Kaestner 18

19 Exemplos

20 Lógica Predicativa Uma fórmula ϕ tal que V LIVRES (ϕ) = φ (sem variáveis livres) é denominada uma sentença. Uma subfórmula de uma fórmula ϕ é uma subseqüência dos símbolos de ϕ que também pertence a Fbf(Σ). Exemplo: se ϕ = x (r(x) q(y) z (s(z,y))) então r(x) q(y) z (s(z,y)), r(x) q(y), z (s(z,y)), r(x) e q(y) são subfórmulas de ϕ. 16/09/09 Prof. Celso A A Kaestner 20

21 Exemplos: Lógica Predicativa 16/09/09 Prof. Celso A A Kaestner 21

22 Lógica Predicativa A semântica da Lógica Predicativa é definida sobre um par A(Σ)=[A, v A(Σ) ] denominado sistema algébrico da assinatura Σ, tal que: A é um conjunto denominado domínio (ou portador) do sistema algébrico; v A(Σ) é uma interpretação, que mapeia os elementos dos conjuntos em Σ em relações sobre A (para os predicados), em funções sobre A (para as funções) e em elementos de A (para as constantes). 16/09/09 Prof. Celso A A Kaestner 22

23 Lógica Predicativa Desta forma para uma interpretação v A(Σ) tem-se: Se r j R j então v A(Σ) (r j ) A j = A A... A (j vezes); Se f F j então existe uma função v A(Σ) (f j ): A j A; Se c C então v A(Σ) (c) A; Para um conjunto de variáveis X V existe ainda uma função γ : X A denominada interpretação das variáveis X em A. 16/09/09 Prof. Celso A A Kaestner 23

24 Lógica Predicativa O valor de um termo t T (Σ) em um sistema algébrico A(Σ) e para uma interpretação de variáveis γ é definido indutivamente por: Se t = x X então t A(Σ) [γ ] = γ (x); Se t = c C então t A(Σ) [γ ] = v A(Σ) (c); Se f F j, t 1,..., t j são termos e t=f(t 1,..., t j ) então t A(Σ) [γ ]= v A(Σ) (f j )(t 1 A(Σ) [γ ],..., t j A(Σ) [γ ]). 16/09/09 Prof. Celso A A Kaestner 24

25 Lógica Predicativa Finalmente é possível se definir quando uma fórmula ϕ é verdadeira para um sistema algébrico A(Σ) e uma interpretação de variáveis γ ; Denota-se por A(Σ) = ϕ[γ ]; Se ϕ = r j (t 1,...t j ) Fbf(Σ) então A(Σ) = ϕ[γ ] é equivalente a [t 1 A(Σ) [γ ],..., t j A(Σ) [γ ]] v A(Σ) (r j ); Se ϕ = (t 1 =t 2 ) com t 1, t 2 T(Σ) então A(Σ) = ϕ[γ ] é equivalente a t 1 A(Σ) [γ ] = t 2 A(Σ) [γ ]; Se ϕ= ψ e ψ Fbf(Σ) então A(Σ) = ϕ[γ ] se e somente se não for verdade que A(Σ) = ψ [γ ]; 16/09/09 Prof. Celso A A Kaestner 25

26 Lógica Predicativa Se ϕ = ξ ψ, com ξ, ψ Fbf(Σ) então A(Σ) = ϕ[γ ] se e somente se A(Σ) = ξ[γ ] e A(Σ) = ψ[γ ]; Se ϕ = ξ ψ, com ξ, ψ Fbf(Σ) então A(Σ) = ϕ[γ ] se e somente se A(Σ) = ξ[γ ] ou A(Σ) = ψ[γ ]; Se ϕ = ξ ψ, com ξ, ψ Fbf(Σ) então A(Σ) = ϕ[γ ] se e somente se quando A(Σ) = ψ[γ ] necessariamente também ocorre A(Σ) = ξ[γ ]; Se ϕ = x(ψ) com ψ Fbf(Σ) então A(Σ) = ϕ[γ ] se e somente se existir pelo menos uma interpretação de variáveis γ : X A que, restrita às variáveis de ϕ, seja tal que A(Σ) = ϕ[γ ]; Se ϕ = x(ψ) com ψ Fbf(Σ) então A(Σ) = ϕ[γ ] se e somente se para todas as interpretações de variáveis γ : X A, quando restritas às variáveis de ϕ, sejam tais que A(Σ) = ϕ[γ ]. 16/09/09 Prof. Celso A A Kaestner 26

27 Exemplos: Lógica Predicativa 16/09/09 Prof. Celso A A Kaestner 27

28 Lógica Predicativa Uma teoria Γ em L PRED é um conjunto de sentenças; Um sistema algébrico A(Σ) é um modelo para uma teoria Γ se A(Σ) = ϕ para toda ϕ Γ; Se Γ tiver ao menos um modelo diz-se que Γ é satisfazível; Se Γ não tiver modelos é dita insatisfazível. 16/09/09 Prof. Celso A A Kaestner 28

29 Substituição de variáveis: Lógica Predicativa Seja ϕ uma fórmula, x V LIVRES (ϕ) uma variável livre em ϕ e t T(Σ) um termo; Neste caso a variável x pode ser substituída pelo termo t em ϕ, gerando uma nova fórmula ϕ[x:=t]; Exemplo: se ϕ = x(r(x) s(x,y)), y V LIVRES (ϕ) e t=f(a,z) então ϕ[y:=f(a,z)] = x(r(x) s(x,f(a,z))). 16/09/09 Prof. Celso A A Kaestner 29

30 Lógica Predicativa Intuitivamente uma substituição gera um caso particular de uma fórmula; As substituições só podem ser feitas sobre as variáveis livres de ϕ, e de forma a não introduzir restrições na fórmula gerada que já não estivessem presentes na fórmula original; Várias substituições podem ser feitas simultaneamente, desde que não introduzam restrições. Exemplo: Se então ϕ = x(r(x) s(x,y) r(z)) y, z V LIVRES (ϕ) e t 1 =f(a,w), t 2 =b ϕ[y:=f(a,w), z:=b]= x(r(x) s(x,f(a,z)) r(b))) 16/09/09 Prof. Celso A A Kaestner 30

31 Lógica Predicativa Sistemas Dedutivos em Lógica Predicativa: 1. Método axiomático: ver item 4.5 pg. 128; 2. Dedução natural: ver item 4.4 pg. 122, e também a ferramenta JAPE; 3. Método dos tableaux analíticos: ver item 5.6 pg /09/09 Prof. Celso A A Kaestner 31

32 Lógica Predicativa Exemplo do método dos tableaux analíticos: 1. x(r(x) s(x)) - x r(x) x s(x) 2. T x(r(x) s(x)) de 1 3. F x r(x) x s(x) de 1 4. T x r(x) de 3 5. F x s(x) de 3 6. F s(a) de 5 7. T r(a) de 4 8. T r(a) s(a) de 2 1. F r(a) T s(a) de 8 X (7,9) X (6,9) 16/09/09 Prof. Celso A A Kaestner 32