Introdução à Lógica de Predicados

Transcrição

1 Introdução à Lógica de Predicados Matemática Discreta I Rodrigo Ribeiro Departamento de Ciências Exatas e Aplicadas Universidade de Federal de Ouro Preto 10 de dezembro de 2012

2 Motivação (I) Considere o seguinte argumento: Todo homem é mortal. Sócrates é um homem. Logo, Sócrates é mortal. Após pensar um pouco... Vemos claramente que este argumento é válido. Portanto, vamos representá-lo usando a lógica proposicional.

3 Motivação (II) Porém ao tentar representar... Percebemos que não existe nenhum conectivo! Isto é, que o argumento é formado apenas por proposições atômicas. Sendo assim, temos que o argumento seria representado como: Fórm. Prop. A B C Todo homem é mortal Sócrates é um homem Sócrates é mortal

4 Motivação (III) O sequente correspondente ao argumento é: A, B C Mas... É fácil notar que não é possível deduzir C a partir de A e B. Mas o argumento parecia correto...

5 Motivação (IV) O Problema é que... A lógica proposicional não é capaz de representar armações contendo "todos", "para todos", "alguns", "somente um"... Tais armativas ocorrem com frequência em matemática: Todo número par é divisível por 2. Todo número inteiro maior que 1 ou é primo ou produto de primos.

6 Lógica de Predicados (I) A Linguagem da Lógica de Predicados A lógica de predicados consiste da lógica proposicional aumentada com quanticadores, predicados e variáveis. Todas as regras de dedução natural e raciocínio algébrico que vimos, continuam sendo válidas para a lógica de predicados.

7 Lógica de Predicados (II) Predicados Um predicado é uma armação de que um objeto x possui uma determinada propriedade. Tais armativas devem ser verdadeiras ou falsas. Armativas podem envolver elementos de um conjunto ou variáveis que podem assumir valores deste conjunto. Exemplos: 5 é um número par. x > y. José gosta de Maria.

8 Lógica de Predicados (III) Universo de Discurso Damos o nome de Universo de Discurso ao conjunto que é referido por uma fórmula da lógica de predicados Exemplo: A armativa: "Todo número par é divisível por 2". Possui como universo de discurso o conjunto dos números inteiros.

9 Lógica de Predicados (IV) Mais sobre Predicados Normalmente representamos predicados de maneira concisa. Exemplos: José gosta de Maria. Podemos representar este fato por: gosta(josé, Maria). Onde gosta é um predicado de dois parâmetros, onde cada um destes é um elemento de um conjunto que contém pessoas. x é um adolescente. Podemos representar este fato por adolescente(x).

10 Lógica de Predicados (V) Mais sobre Predicados Exemplos: par(2) f (x, 2, g(y)) Predicados que não possuem parâmetros são variáveis proposicionais.

11 Lógica de Predicados (VI) Quanticadores A lógica de predicados possui dois quanticadores: Quanticador universal: representado pelo símbolo Quanticador existencial: representado pelo símbolo

12 Lógica de Predicados (VII) Quanticador Universal Se F (x) é uma fórmula da lógica de predicados, contendo a variável x, então x.f (x) é uma fórmula da lógica de predicados. O signicado de x.f (x) é: Para todo elemento x pertencente ao universo de discurso, a fórmula F (x) deve ser verdadeira.

13 Lógica de Predicados (VIII) Exemplos Considere como universo de discurso o conjunto dos números naturais (N). n.n 0: esta fórmula é verdadeira. Considere agora, como universo de discurso o conjunto de todos os seres humanos. x.gosta(x, Maria)

14 Lógica de Predicados (IX) Quanticador Existencial Se F (x) é uma fórmula da lógica de predicados, contendo a variável x, então x.f (x) é uma fórmula da lógica de predicados. O signicado de x.f (x) é: Existe pelo menos um elemento x pertencente ao universo de discurso, que faça a fórmula F (x) ser verdadeira.

15 Lógica de Predicados (X) Exemplos Considere como universo de discurso o conjunto dos números naturais (N). n.n 0: esta fórmula é falsa. Considere agora, como universo de discurso o conjunto de todos os seres humanos. x.gosta(x, Maria)

16 Lógica de Predicados (XI) Signicado dos Quanticadores Seja U = {u 1, u 2,..., u n }, um universo de discurso tal que U = n n. Então o signicado de x.p(x) é: p(u 1 ) p(u 2 )... p(u n ) E o signicado de x.p(x) é: p(u 1 ) p(u 2 )... p(u n )

17 Lógica de Predicados (XII) Exemplos Considere U = {2, 3, 4} e par(x) e impar(x) dois predicados sobre U. Então as fórmulas x.par(x) impar(x) e x. impar(x) x < 1 podem ser expandidas como: (par(2) impar(2)) (par(3) impar(3)) (par(4) impar(4)) ( impar(2) 2 < 1) ( impar(3) 3 < 1) ( impar(4) 4 < 1)

18 Lógica de Predicados (XIII) Escopo de Quanticadores Para entender o conceito de escopo de quanticadores é necessário conhecer os conceitos de variáveis livres e ligadas.

19 Lógica de Predicados (XIV) Variáveis livres e ligadas Uma variável é dita ser livre em uma fórmula se esta não possui nenhum quanticador. Exemplo: x. y.p(x, y, z). Nesta fórmula z é uma variável livre. Uma variável é dita ser ligada se esta está associada a um quanticador. Exemplo: x. y.p(x, y, z). Nesta fórmula as variáveis x e y são ligadas.

20 Lógica de Predicados (XV) Escopo de um Quanticador Seja α uma fórmula qualquer da lógica de predicados. Então o escopo de na fórmula x.α é toda a fórmula α. Toda ocorrência de x em α será ligada ao quanticador. A denição de escopo para o quanticador é idêntica.

21 Lógica de Predicados (XVI) Traduzindo Para a Lógica de Predicados Processo simples e similar a lógica proposicional. Mas devemos levar em conta predicados e quanticadores. Exemplo: Considere como universo de discurso o conjunto de todas as pessoas e objetos. Todo mundo gosta de alguém. x. y.gosta(x, y) Todos gostam de quem gosta de sua mãe. x. y.gosta(x, mae(y)) gosta(y, x) Alunos não gostam de fazer provas. x.aluno(x) gosta(x, fazer(prova))

22 Lógica de Predicados (XVII) Exercício Represente as seguintes frases: Se amanhã chover, então todos devem levar guarda-chuvas. Todos que gostam de Carlos, não gostam de seus primos. Ninguém foi a festa de Manoel. Todos os gregos são europeus, mas nem todo europeu é grego. Todos gostam da mãe de Maria.

23 Sintaxe (I) Fórmulas bem formadas Antes de descrevermos como é a semântica de fórmulas da lógica de predicados, devemos denir primeiramente, o que é uma fórmula sintaticamente correta.

24 Sintaxe (II) Fórmulas da lógica de predicados Fórmulas da lógica de predicados podem denotar: Elementos do universo de discurso em questão. Valores lógicos Sendo assim, a sintaxe será divida em duas categorias: Termos que denotam elementos. Fórmulas que denotam valores lógicos.

25 Sintaxe (III) Termos O conjunto de termos T é denido como: a) Seja V o conjunto contendo todas as variáveis da lógica de predicados. Então, T V. b) Se c é uma constante que representa um elemento do universo de discurso, então c T c) Seja f uma função n-ária sobre termos e t 1, t 2,..., t n T (n 0) então f (t 1, t 2,..., t n ) T.

26 Sintaxe (IV) Termos Considerando como universo de discurso o conjunto de todas as cidades e estados, temos que: Belo Horizonte é um constante representando a capital de Minas Gerais Se capital é uma função que a partir de uma constante que representa um estado retorna a respectiva capital deste, temos que capital(minas Gerais) denota o mesmo elemento que a constante Belo Horizonte.

27 Sintaxe (V) Fórmulas O conjunto F de fórmulas é denido como: a), F b) Se p é um predicado n-ário e t 1, t 2,..., t n são termos, então p(t 1, t 2,..., t n ) F. c) Se α F então α F d) Se α, β F então α β F, onde {,,, }. e) Se x V e α F então x.α F e x.α F

28 Sintaxe (VI) Precedência Seguiremos as mesmas convenções de precedência que adotamos para a lógica proposicional. Adicionalmente, conseraremos que quanticadores (, ) possuem a mesma precedência de.

29 Semântica (I) Semântica da Lógica de Predicados Para dar semântica a uma fórmula devemos interpretá-la de acordo com o universo de discurso U. Mas somente U é suciente? Seja U = N. Com isso é possível determinar se i. j.m(i, j) é verdadeira? Não! Qual o signicado do predicado M? Como determinar se M(i, j) é verdadeiro?

30 Semântica (II) Semântica da Lógica de Predicados Somente o universo de discurso não é suciente para interpretar uma fórmula da lógica de predicados. Deve haver adicionamente maneiras de interpretar: Termos funcionais. Predicados.

31 Semântica (III) Semântica da Lógica de Predicados Termos funcionais podem ser pensados como funções n-árias entre termos. Para cada função f : T T, deve existir f I : U U que associa cada constante em T a sua respectiva interpretação em U.

32 Semântica (IV) Semântica da Lógica de Predicados Predicados podem ser pensados como n-uplas de termos. Para cada predicado p : T T, deve existir um conjunto de pares de termos P. Dizemos que p(t 1, t 2 ) é verdadeiro se (t 1, t 2 ) P.

33 Semântica (V) Voltando ao Exemplo anterior... Seja U = N, e considere que para x, y N, M(x, y) é verdadeiro se x y. A fórmula i. j.m(i, j) é verdadeira? Não! A fórmula representa a seguinte sentença: existe um número natural que é maior que todos os outros números naturais. Mas e a fórmula j. i.m(i, j)?

34 Semântica (VI) Finalizando... Interpretamos fórmulas da lógica de predicados utilizando: Um universo de discurso Um conjunto de denições de predicados e símbolos funcionais.

35 Semântica (VII) Exercício Considere como universo de discurso o conjunto N e os seguintes predicados e símbolos funcionais: par(x): verdadeiro se x é par. impar(x): verdadeiro se x é ímpar. s : N N: função sucessor. Qual o valor lógico das seguintes fórmulas? 1 n.par(n) impar(n). 2 n.impar(n) par(s(n)). 3 n.par(n) impar(n).

36 Semântica (VIII) Exercício Considere a seguinte frase: Todos os unicórnios possuem 5 patas. Represente esta frase utilizando uma fórmula da lógica de predicados. Encontre universos de discurso e interpretações de predicados e símbolos funcionais para sua fórmula. Em seu modelo de interpretação, sua fórmula é verdadeira?