Fórmulas da lógica proposicional

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1 Fórmulas da lógica proposicional As variáveis proposicionais p, q, são fórmulas (V P rop ) é fórmula (falso) α e β são fórmulas, então são fórmulas (α β), (α β), (α β) e ( α) DCC-FCUP -TAI -Sistemas Dedutivos e Teoria de tipos 1 1

2 Semântica da lógica proposicional Os valores de verdade são e, onde representa o valor lógico verdadeiro e, falso Atribuição de valores de verdade(ou valorização)v : V P rop {, } Uma valorização v pode ser estendida ao conjunto das fórmulas,e que se pode resumir usando as seguintes tabelas: α α α β α β α β α β α β α β DCC-FCUP -TAI -Sistemas Dedutivos e Teoria de tipos 1 2

3 Satisfazibilidade e Validade Uma fórmula α é satisfazível se existe uma valorização v tal que v(α) =, escreve-se = v α e diz-se que v satisfaz α tautologia se para todas as valorizações v, v(α) = e escreve-se = α = p p (Terceiro excluído) Ex: contradição se para todas as valorizações v, v(α) = e escreve-se = α Ex: = p p DCC-FCUP -TAI -Sistemas Dedutivos e Teoria de tipos 1 3

4 Consequência semântica Seja Γ um conjunto de fórmulas Uma valorização v satisfaz Γ se e só se v satisfaz toda a fórmula β Γ Γ é satisfazível se existe uma valorização que o satisfaz Uma fórmula α é uma consequência semântica de Γ se para toda a valorização v que satisfaz Γ, se tem v(α) = ; e escreve-se Γ = α = α é equivalente a = α DCC-FCUP -TAI -Sistemas Dedutivos e Teoria de tipos 1 4

5 Sistemas dedutivos Conjuntos de regras a partir das quais é possivel obter (deduzir) uma fórmula (supondo ou não um conjunto inicial Γ): α ou Γ α Se α, α diz-se um teorema Pretendem-se sistemas íntegros e completos: α se e só se = α ou mais geralmente: Γ α se e só se Γ = α DCC-FCUP -TAI -Sistemas Dedutivos e Teoria de tipos 1 5

6 Uma regra de inferência é da forma: Regras α 1,, α n β α i (1 i k) são as premissas, β conclusão Dedução (derivação ou prova) de α é uma árvore tal que: cada nó é etiquetado por uma fórmula a fórmula de um nó pai é uma fórmula inferior duma regra de inferência, cujas fórmulas superiores são as fórmulas dos nós filhos as fórmulas das folhas chamam-se iniciais a fórmula da raiz é a fórmula final α DCC-FCUP -TAI -Sistemas Dedutivos e Teoria de tipos 1 6

7 Sistemas de dedução natural Sistema inventado por G Gentzen (1935) e que cujas regras pretendem reflectir as formas de raciocínio usadas nas demonstrações matemáticas Não tem axiomas Só regras de inferência Para cada conectiva lógica existem dois tipos de regras: de introdução e de eliminação As fórmulas iniciais podem ser hipóteses (premissas) introduzidas para a aplicação duma regra: iniciam um sub-dedução que quando termina cancela as respectivas hipóteses Por exemplo para deduzir: (p (q r)) ((p q) (p r)) DCC-FCUP -TAI -Sistemas Dedutivos e Teoria de tipos 1 7

8 1 (p (q r) 2 p 3 p q I, 2 4 p r I, 2 5 ((p q) (p r)) I, 3, 4 6 q r 7 q E, 6 8 r E, 6 9 p q I, 6 10 p r I, 6 11 ((p q) (p r)) I, 3, 4 12 ((p q) (p r)) E, 1, 2 5, (p (q r)) ((p q) (p r)) I, 1 12 DCC-FCUP -TAI -Sistemas Dedutivos e Teoria de tipos 1 8

9 Dedução natural, NK 0 Introdução Eliminação α β α β I α β α E 1 α β β E 2 [α] [β] α α β I 1 β α β I 2 α β γ γ γ E [α] β α β I α β α β E DCC-FCUP -TAI -Sistemas Dedutivos e Teoria de tipos 1 9

10 Exemplos 1 α (β α) 1 α 2 β 3 α R, 1 4 β α I, α (β α) I, 1 4 DCC-FCUP -TAI -Sistemas Dedutivos e Teoria de tipos 1 10

11 2 (α (β θ)) ((α β) (α θ)) 1 α (β θ) 2 (α β) 3 α 4 β E, 2, 3 5 β θ E, 1, 3 6 θ E, 4, 5 7 α θ I, (α β) (α θ) I, (α (β θ)) (α β) (α θ) I, 1 8 DCC-FCUP -TAI -Sistemas Dedutivos e Teoria de tipos 1 11

12 Dedução natural, NK 0 (cont) Introdução Eliminação [α] α I α β α E α α I α α E Regra da Repetição α α R DCC-FCUP -TAI -Sistemas Dedutivos e Teoria de tipos 1 12

13 ( β α) (( β α) β) 1 β α 2 β α 3 β Exemplo 4 α E, 2, 3 5 α E, 1, 2 6 E, 4, 5 7 β I, β E, 7 9 ( β α) β I, ( β α) ( β α) β I, 1 9 DCC-FCUP -TAI -Sistemas Dedutivos e Teoria de tipos 1 13

14 Algumas regras derivadas: Modus Tollens α β β α 1 α β 2 β 3 α 4 β E, 1, 3 5 E, 2, 4 6 α I, 3 5 MT DCC-FCUP -TAI -Sistemas Dedutivos e Teoria de tipos 1 14

15 Redução ao absurdo [ α] α Se tivermos uma dedução de supondo α podemos ter uma dedução de α Então basta mostrar α α: 1 α 2 α RA 3 E, 1, 2 4 α I, α E, 4 DCC-FCUP -TAI -Sistemas Dedutivos e Teoria de tipos 1 15

16 Terceiro excluído α α TE 1 (α α) 2 α 3 α α I, 2 4 E, 1, 3 5 α I, α α I, 5 7 E, 1, 5 8 α α RA, 1 7 Mostrar que α α α α (sem E) DCC-FCUP -TAI -Sistemas Dedutivos e Teoria de tipos 1 16

17 Teorema 11 O sistema NK 0 é íntegro e completo para a lógica proposicional (clássica): se α sse = α E se Σ α sse Σ = α Teorema 12 É decidível determinar se uma fórmula φ é válida, mas é co-n P -completo DCC-FCUP -TAI -Sistemas Dedutivos e Teoria de tipos 1 17

18 Sequents Computacionalmente é conveniente saber, em cada passo de derivação, quais são as hipóteses que estão activas: Numa dedução, podiamos substituir uma fórmula α que depende das hipóteses (activas) α 1,, α k pela fórmula: α 1 α k α Mas, por questões estruturais, vamos definir, um novo conceito: Sequents (sequências) α 1,, α n β 1,, β m Significado: α 1 α n β 1 β m Antecedente vazio: β 1 β m Consequente vazio: (α 1 α n ) Ambos vazios: DCC-FCUP -TAI -Sistemas Dedutivos e Teoria de tipos 1 18

19 NK 0 em sequents Supondo que Γ (contexto) é um conjunto de fórmulas: Γ,α α Ax Introdução Eliminação Γ α Γ β Γ α β I Γ α β Γ α E 1 Γ α β Γ β E 2 Γ α Γ α β I 1 Γ β Γ α β I 2 Γ α β Γ,α γ Γ,β γ Γ γ E Γ,α β Γ α β I Γ α Γ α β Γ β E Γ,α Γ α I Γ α Γ α Γ β E Γ α Γ α I Γ α Γ α E DCC-FCUP -TAI -Sistemas Dedutivos e Teoria de tipos 1 19

20 DCC-FCUP -TAI -Sistemas Dedutivos e Teoria de tipos 1 20

21 Deduções com sequents Agora os nós das árvores de dedução são sequents e Γ α é o mesmo que Γ α α (β α) α,β α α β α ( I) α (β α) ( I) Enfraquecimento Se se deduz Γ α, então para todo Γ Γ, Γ α é deduzível DCC-FCUP -TAI -Sistemas Dedutivos e Teoria de tipos 1 21

22 Cálculos de sequents de Gentzen Sistemas dedutivos introduzidos por Gentzen (1935) que lhe permitiram obter formas normais para as deduções: se uma fórmula é um teorema então admite uma dedução em forma normal Isto permite obter algoritmos para a validade/satisfazibilidade sem ter de usar a semântica Por exemplo, na regra Modus ponens: α α β β dado β, α pode ser qualquer fórmula Embora o mesmo resultado possa ser obtido para NK 0, estes sistemas também são importantes porque revelam a estrutura das deduções e estão na base dos sistemas dedutivos computacionais: tableaux e resolução Têm regras de introdução de conectivas: mas para o antecedente (L) e para consequente dum sequent (R) DCC-FCUP -TAI -Sistemas Dedutivos e Teoria de tipos 1 22

23 Cálculo de sequents LK 0 Γ,α,α Ax Γ,α Γ,α Γ,Γ, Corte Γ,α,β Γ,α β L Γ,α Γ,β Γ,α β R Γ,α Γ,β Γ,α β L Γ,α,β Γ,α β R Γ α, Γ,β Γ,α β L Γ,α Γ, α L Γ,α,β Γ,α β R Γ,α Γ, α R DCC-FCUP -TAI -Sistemas Dedutivos e Teoria de tipos 1 23

24 ((p q) p) p p p,q p,(p q) ( R) (p (p q)) (p q) p p (p q) p) p ( L) ( R) ((p q) p) p ( L) ( L) (p (p q) (p q) ( R) ( R) (p (p q)) (p q) p p p p p,q q (p q),p q p (p q),p q DCC-FCUP -TAI -Sistemas Dedutivos e Teoria de tipos 1 24

25 NK 0 versus LK 0 Regras NK 0 (em sequents) LK 0 Axioma Axioma Introdução ( I) Introdução no consequente ( R) Eliminação ( E) Introdução no antecedente ( L) O facto das fórmulas não serem eliminadas, excepto na regra do corte, leva à seguinte propriedade: Propriedade da subfórmula Numa dedução de Γ, sem utilizar a lei do corte, todas os sequentes são compostos apenas por subfórmulas das fórmulas de Γ e Então é possível algoritmo que procure uma dedução a partir da raíz DCC-FCUP -TAI -Sistemas Dedutivos e Teoria de tipos 1 25

26 α fórmula de corte Eliminação da regra do corte Γ, α Γ, α Γ, Γ, Corte Teorema 13 ( Hauptsatz) O sistema dedutivo LK 0, sem a regra do corte, é íntegro e completo E existe um algoritmo que transforma cada dedução em LK 0, numa dedução do mesmo sequent, sem a regra do corte Para quê então essa regra: permite deduções mais curtas torna mais fácil obter resultados teoricos sobre o sistemas dedutivo existem sistemas que recuperam parte da sua funcionalidadepreservando a forma normal (Tableaux KE) DCC-FCUP -TAI -Sistemas Dedutivos e Teoria de tipos 1 26

27 Transformar para: Ideia da demonstração Γ,α β Γ α β ( R) Γ α Γ β Γ α Γ γ Γ,α β Γ γ Γ,β γ Γ,α β γ Corte Γ,β γ ( L) Corte Corte Transformar aplicações da regra noutras com fórmulas de corte mais simples Passar a aplicação da regra para nós superiores da árvore de derivação É necessária uma dupla indução: na profundidade da aplicação das regras e na complexidade das fórmulas de corte DCC-FCUP -TAI -Sistemas Dedutivos e Teoria de tipos 1 27

28 [?] Cap [?] Cap 71 [?] Leituras DCC-FCUP -TAI -Sistemas Dedutivos e Teoria de tipos 1 28