traço de inferência, premissas conclusão rrt

Transcrição

1 Introdução Como vimos antes, quando da exposição informal, uma das importantes noções lógicas é a de regra de inferência. gora introduziremos essa noção de maneira formal (mais precisamente, considerando a linguagem L anteriormente apresentada). Observou-se, então, que uma regra de inferência é determinada por uma relação entre um número finito de asserções (ditas as premissas da regra) e uma proposição, dita a conclusão da regra. Uma maneira perspícua de representar uma regra de inferência é representar o passo inferencial por um traço horizontal escrevendo acima dele as premissas e abaixo a conclusão; ou seja, supondo que as premissas da regra são as fórmulas 1,..., n e a conclusão a fórmula, uma maneira perspícua de representar graficamente uma regra de inferência é através de uma figura da forma: 1,..., n Nessa figura o traço horizontal, dito traço de inferência, representa o passo inferencial, as ocorrências de fórmulas imediatamente acima são as premissas e a ocorrência de fórmula imediatamente abaixo a conclusão 1. Uma derivação, na qual ocorre um encadeamento de passos inferenciais pode ser representado, então, por uma figura complexa na qual as conclusões de figuras mais simples são tomadas como premissas de outras figuras. 2 Dizendo de outro modo, uma derivação é uma construção obtida pelo encadeamento de figuras de inferência, de sorte que uma ou mais aplicações de regras de inferência oferecem as premissas para nova aplicação de alguma regra. Podemos, assim, compreender derivações como árvores, mais precisamente, como árvores enraizadas finitas 3, cujos nós ( vértices ) são ocorrências de fórmulas da linguagem (observe-se bem que dizemos ocorrência de fórmulas e não simplesmente fórmulas) e cujas conexões ( arestas ) são determinadas pelas passos inferenciais simples. ssim, salvo a árvore trivial, constituída de uma única ocorrência de fórmula, as figuras aqui empregadas para representar deduções serão formadas pela composição de figuras da forma acima apresentada. Observe que as figuras inferenciais, tais como acima apresentadas, diferem da maneira usual de representar árvores, porquanto, usualmente a raiz de uma árvore é representada acima de seus sucessores e as arestas são representadas por linhas verticais ligando cada ponto a seus sucessores imediatos. Se fosse empregada a maneira usual de 1 Em GENTZEN, 1939, p. 72, essas figuras simples são denominadas de figuras inferenciais e as formadas a partir delas por composição são ditas figuras de prova ou simplesmente derivações. 2 Essa maneira de grafar, ao explorar as duas dimensões (horizontal e vertical) do suporte da escrita, representa um afastamento da maneira usual (linear) de escrever as línguas ocidentais, mas tem a vantagem de explicitar o vínculo imediato das diversas premissas com a correspondente conclusão. 3 noção de árvore enraizada pode ser definida de maneira rigorosa de diferentes maneiras, entre elas, como um par de conjuntos < T, R > satisfazendo as seguintes condições: a) T não é vazio (dito o conjunto dos nós) e R é uma relação binária em T (o conjunto das arestas); b) para todo t em T, existe no máximo um t 0 em T, tal que t 0 R t; b) Existe um e apenas um elemento de T, r, dito a raiz de T, tal que nenhum elemento está relacionado a ele (isto é, para todo t em T, o par < t, r > não pertence a R ) e para qualquer elemento t em T distinto de r, existem t 1,...,t n em T, tais que rrt I... Rt n

2 representar árvores, um passo inferencial seria representado por uma figura como a seguinte: 1,..., n \... / Importa destacar que as figuras que consideraremos aqui se situam num plano bidimensional, no qual distinguimos as relações estar acima ou estar abaixo, em particular estar imediatamente acima ou imediatamente abaixo, bem como a relação estar ao lado, mas não distinguimos estar à esquerda ou estar à direita. Ou seja, uma figura e sua imagem especular são consideradas a mesma figura. Numa figura complexa, formada da maneira acima dita, uma mesma ocorrência de uma fórmula pode ser a conclusão de uma figura inferencial e simultaneamente a premissa (ou uma das premissas) de outra figura inferencial. Numa tal figura complexa, chamamos de suposições iniciais aquelas ocorrências de fórmulas que se dão apenas como premissas de uma regra de inferência, mas não como, simultaneamente, conclusões de eventualmente outras. noção de árvore permite uma representação perspícua da relação entre as premissas e a conclusão de uma regra de inferência. Todavia, comumente uma dedução envolve um encadeamento de inferências, no qual as premissas de uma inferência são derivadas de outras fórmulas, por outras inferências. Ou não raramente, numa dedução, introduzimos novas suposições (chamadas de hipóteses auxiliares) apenas para viabilizar a demonstração, mas que são tais que a correção da conclusão final não depende estritamente. ssim, na análise de uma dedução é importante considerar não apenas os vínculos locais entre premissas e conclusões da aplicação de uma regra de inferência, mas os vínculos globais (considerando a figura como um todo) entre conclusões e suas suposições iniciais. E esses vínculos não são precipuamente expressos na árvore, dado a possibilidade de uma suposição inicial ser apenas uma hipótese auxiliar (caso em que dizemos que ela é descartada ou cortada). Uma suposição descartada será assinalada pondo-a entre colchetes e apondo um subscrito numérico repetido ao lado do traço de inferência da regra da qual ela era uma hipótese auxiliar. Lembrando sempre que o processo aqui descrito como descarte de suposições é sempre opcional (ou seja, não é obrigatório descartá-la). ssim, numa dedução em forma de arvore, considerada globalmente, as suposições serão apenas aquelas suposições iniciais que não ocorrerem entre colchetes. 2

3 O SISTEM DE DEDUÇÃO NTURL PR LPC Regras básicas INTRODUÇÃO I, ELIMINÇÃO E I E [] [] C C C I E [] I [] [] E [] I T T I [] I E E 3

4 Nomenclatura e observações gerais. Como já foi dito, premissas de uma regra são as fórmulas (eventualmente uma única) que ocorrem imediatamente acima do traço de inferência. Naquelas regras de eliminação que possuem mais de uma premissa, a que contém o símbolo lógico correspondente é dita a premissa maior e as outras, menores. Numa derivação as ocorrências de fórmulas supremas (isto é aquelas que ocorrem acima de um traço de inferência, mas não abaixo de nenhum outro) são as suposições da derivação. ocorrência de fórmula ínfima (isto é, que ocorre abaixo de um traço de inferência, mas não encimando algum traço de inferência) é a conclusão. s suposições que não forem descartadas de uma derivação (isto é, não foram assinaladas por colchetes) são ditas hipóteses da derivação. Dizemos, então que a derivação é uma dedução da fórmula que ocorre como conclusão a partir das fórmulas que ocorrem como hipóteses. Uma demonstração é uma derivação na qual não ocorrem hipóteses. Na verdade, a construção de uma derivação nem sempre é executada peça à peça, antes se da por blocos, ou seja, pela composição por meio de uma regra de inferência, de derivações mais simples (aquelas que forneceram as premissas da regra empregada), formando então uma derivação mais complexa, cuja conclusão é a conclusão da regra de inferência. Não é difícil perceber que as caracterizações de algumas das regras exigem certa dose de bom senso e compreensão para serem bem entendidas, quais sejam, as regras de eliminação da e as de introdução do, do, da e do aquelas fazem referência à noção eliminar suposições (representada pelos colchetes em torno da fórmula). De fato, a caracterização de tais regras exige a consideração não apenas das propriedades formais de suas respectivas premissas e conclusão, mas também de eventuais outras derivações tomadas como previamente dadas (indicadas, na apresentação das regras pelos três pontos verticais), consideração exigida pelo procedimento dito eliminação, corte, descarte (outros nomes ainda são empregados nesse contexto) de suposições. Por essa razão, um importante autor, Prawitz, chama tais regras de regras impróprias (suas caracterizações fazem referência não apenas à conclusão e as suas premissas, mas a outras derivações prévias). Uma definição explicita de derivação, que haveria de ser recursiva, permitiria não apenas explicitar a ideia, antes referida da construção por blocos, como também a noção de eliminação de suposições. Na versão linearizada da D. N. ofereceremos caracterizações precisas das regras. Cabe sempre lembrar, principalmente na hora de aplicar as regras, que o lado no qual ocorre uma dada premissa é inteiramente irrelevante, importa apenas que as premissas sejam apresentadas imediatamente acima do traço de inferência. Pois, derivação são árvores, e arvores são estruturas bidimensionais, orientadas apenas em uma das dimensões, mas não na outra (isso pode ser expresso, representado, afirmandose que arvores tem tanto uma dimensão vertical, quanto uma dimensão horizontal essa é a expressão do caráter bidimensional delas, no entanto, não tem direita e esquerda, embora tenha acima e abaixo(ou seja, orientada numa dimensão, mas não na outra). Observações históricas e bibliográficas O sistema apresentado aqui é tomado, com ligeiras alterações, de Gentzen, 1935, trad. ingl. pp. 77-8, que reaparece em PRWITZ, 1965, pp Em primeiro lugar, a regra de introdução do verum (T) não aparece nesses autores, na verdade, a 4

5 consideração de tal constante sentencial é um tanto quanto inusitada. Por outro lado, as regras que aqui denominamos, respectivamente, regra de introdução da negação e regra de introdução do absurdum são chamadas em GENTZEN, 1935 regra de introdução da negação e regra de eliminação da negação, respectivamente; a regra que aqui denominamos eliminação do absurdo não recebe denominação na obra seminal de Gentzen (e muitas vezes, por exemplo, em Prawitz, ela é denominada regra do absurdo intuicionista). Por último, para restar caracterizada a negação clássica adaptamos uma das regras do sistema de cálculo de sequentes exposto em GENTZEN, 1936, trad. inglesa, p. 153, segundo uma sugestão que já fora dada no artigo de Dada a regra de eliminação da dupla negação, a regra de eliminação do absurdo (Lei de Pseudo Scoto) se torna redundante, como mostra o esquema seguinte de derivação: inda, assim, preferimos manter a regra que expressa o princípio de pseudoscoto, não apenas pelo significado conceitual de tal principio, mas também para tornar fácil distinguir provas intuicionistas de provas não intuicionistas (lembrando que no intuicionismo vale pseudo-scoto, mas não a dupla negação) 5 Prawitz considera também uma constante proposicional para o absurdo, porém define a negação, a partir desse constante e do condicional, de sorte que a regra de introdução da negação, exposta em Gentzen, 1936 se torna um caso da regra de introdução do condicional e a primeira da eliminação, um caso de eliminação do condicional. Para dar conta da negação clássica, introduz a regra do absurdo clássico: [ ] _ _ Esse autor denomina as regras de I, E, I, E, de regras próprias porquanto locais (ou seja, determinadas apenas em termos de características, propriedades, das premissas e da conclusão). o passo que as demais, ou envolvem a noção de corte de suposições,. Observe-se que a conjunção é o único conectivo para o qual as duas regras (de introdução e de eliminação) são locais (próprias na terminologia de Prawitz). 4 Nesse último texto, o autor introduz um misto de Cálculo de Sequentes e Dedução Natural, com as seguintes regras para a negação: Redução, Γ, Γ, Eliminação da dupla negação Γ Γ 5 Uma questão interessante, para a qual não dispomos de resposta (se é que já está respondida) é saber se é possível ter um sistema para a LPC, cujos postulados sejam independentes entre si, tal que se obtenha a Lógica Intuicionista simplesmente eliminando um ou mais postulados. 5

6 Velozo introduz a regra de introdução da negação intuicionista (como no sistema acima), ou seja: I E duas regras ditas de eliminação: [] [] E 1 [ ] E 2 Todavia, o sistema proposto por ela não é propriamente independente, pois a regra I pode ser derivada das duas regras de eliminação, como mostra o seguinte esquema de dedução: E 2 (ii)[ ] [ ] (i) (ii) [ ] [ ] (iii) E 1 (i) (iii) E 1.. E 2 E 1 (ii) EXERCÍCIOS. 1. Considerando cada uma das listas de fórmulas abaixo, construa uma dedução da última fórmula da lista a partir das demais. 1. ; ( ) 2. ; ( T) 3. ; ( ( )) 4. ; C; ; C 5. ; ; C 6. ; C; C; 7. ; ( ) 6

7 8. ( ); ( ) 9. ( ); 10. ; ; 11. ; ; 2. Construa uma demonstração de cada uma das fórmulas abaixo ( ) (( C) ( C)) 4. ( ) ((C ) (C )) 5. ( ) ((C ) (C )) 6. (( ) ) 7. ( ( C)) ( ( C)) 8. (( ) ( ) ( v ) ( v ) 11. ( ) 12. ( ) (( C) ( C)) 13. ( ) ((C ) (C )) 14. ( ) (( C) ( C)) 15. ( ) ((C ) (C )) 16. ( ) 17. (T ) 18. ( ) 19. ( ) ( ) ( ) 22. ( ) ( ) 23. ( ) ( ) 24. ( ) ( ) 25. ( ) (Lei de Clavius) 26. ( ) 27. ( ) 28. ( ) 29. ( ) 7

8 30. ( ) 31. ( ) 32. (( ) ) (Lei de Peirce) 33. ( ) ( ) 34. ( ) ( ) 35. ( ) 36. ( ( ( ))) 37. ( ) (( C) ( C)) 38. ( ) ((C ) (C )) 39. ( ) (( C) ( C)) 40. ( ) ((C ) (C )) 41. ( ) (( C) ( C)) 42. ( ) ((C ) (C )) 43. ( ) (( C) ( C)) 44. ( ) ((C ) (C )) 45. ( ( C)) ( ( C)) 46. ( ( C)) (( ) C) 47. ( ) ( ) } 48. ( ) ( ), 49. ( ) ( ) 50. ( ) ( ) 51. ( ) ( ) 52. ( ) 53. ( ) 54. ( ) 55. ( ( C)) (( ) C) 56. ( ( C)) (( ) C) 57. ( ) ( ) 58. ( ) ( ) 59. ( ( C)) (( ) ( C)) 60. ( ( C)) (( ) ( C)) 61. (( ) (C D)) ((( C) ( D)) (( C) ( D))) 62. (( ) ) 63. (( ) ) 8

9 64. (( ) ) 65. (( ) ) 66. (( ) ) 67. (( ) ) 68. (( ) ) 69. ( ) ) 70. ( ( ) ) 71. (Lei do Terceiro Excluído) 72. ( ) (Lei da não contradição) 73. ( ) (( ) ( )) 74. ( ) ( ) 75. (( ) ( C)) ( C) 76. (( ) ) 77. ( ( C)) (( ) C) 78. ( ) ( ( )) 79. ( ) ( ( )) 80. ( ) (( ) ) 81. ( ) (( ) ) 82. ( ) ( ( )) 83. ( ( C)) ( ) ( C)) 84. (( ) C) (( C) ( C)) 85. ( ( C) ( ) ( C)) 86. (( ) C ( C) ( C)) 87. ( ( C)) ( C)) 88. (( ) C) ( ( C)) 89. (( ) ) 90. (( ) ) 91. ( ) ( C) 92. ( ) ( ) 93. ( ) ( ) 94. (( ) C ( C) ) 95. ( ) ((C ( D)) (C ( D))) 96. (( ) ( C)) (C ) 97. (( ) (C D)) (( C) ( D)) 9

10 98. (( ) (C D) ( D)v(C )) 99. (( ) C ( C) (( ) C)) 100. (( ) ( C)) ( C) 101. (( ) ( C)) (( ) ( C)) 102. (( ) C) ((C ) ) 103. (( ) C) (( C) C) 104. ( C) (( C) (( ) C)) 105. ((( ) C) D) (( C) ( D)) 3. Mostre que qualquer instância dos esquemas indicados a seguir é demonstrável (ou seja, para qualquer instancia, existe uma demonstração dela, ou seja, uma dedução sem hipóteses na qual a conclusão é a instância em pauta) 6 1. ( ) 2. ( ( C )) (( ) ( C )) ( ( )) 6. ( ) 7. ( ) 8. ( C ) ( ( C ) (( ) C )) 9. ( ) (( ) ) Esses esquemas poderia ser empregados para fornecer um sistema axiomático correto e completo para LPC se acrescidos da regra de inferência conhecida como modus ponens (correspondente a regra E ) 10