ÍNDICE. Lição 8 Conceitos Fundamentais da Teoria dos Conjuntos 49. Representação Simbólica dos Conceitos Fundamentais da Teoria dos

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1 ÍNDICE Prefácio PARTE I LÓGICA ARISTOTÉLICA Lição 1 Introdução. Lógica Aristotélica: Noções Básicas 9 Lição 2 O Quadrado da Oposição 15 Lição 3 Conversão, Obversão e Contraposição 21 Lição 4 A Teoria do Silogismo I Definições e Regras 27 Lição 5 A Teoria do Silogismo II Validação Silogística 33 Lição 6 A Teoria do Silogismo III Sistematização da sua Arquitectura Dedutiva 39 Lição 7 Tipologia Breve de Falácias 43 PARTE II TEORIA DOS CONJUNTOS Lição 8 Conceitos Fundamentais da Teoria dos Conjuntos 49 Lição 9 Conjuntos. Representação Simbólica dos Conceitos Fundamentais da Teoria dos Inclusão. Potência. 55 Lição 10 Operações sobre Conjuntos 61 Lição 11 Propriedades das Operações sobre Conjuntos I 65 Lição 12 Propriedades das Operações sobre Conjuntos II 69

2 Lição 13 Propriedades das Operações sobre Conjuntos III 75 Lição 14 Representação da Teoria Aristotélica da Inferência na Teoria dos Conjuntos. I Quadrado da Oposição e Teoria da Conversão 81 Lição 15 Representação da Teoria Aristotélica da Inferência na Teoria dos Conjuntos II A Silogística (1) 89 Lição 16 Representação da Teoria Aristotélica da Inferência na Teoria dos Conjuntos III A Silogística (2) 97 Lição 17 Pares Ordenados 105 Lição 18 Produto Cartesiano 111 Lição 19 Relações 117 Lição 20 Propriedades de Relações Definidas num Conjunto M. Funções 121 PARTE III LÓGICA PROPOSICIONAL Lição 21 Teoria das Funções de Verdade 129 Lição 22 Álgebra das Proposições I Fórmula da Álgebra das Proposições. Substituibilidade Geral e Parcial. Substituibilidades 135 Lição 23 Álgebra das Proposições II Derivação de Substituibilidades 141 Lição 24 Álgebra das Proposições III O Problema da Decisão 147 Lição 25 Álgebra das Proposições IV Teorema da Representação.

3 Formas Normais Distintas ou Perfeitas. Critério S* 155 Lição 26 Inferência Proposicional 163 Lição 27 O Cálculo Proposicional I Vocabulário. Sintaxe (1): Regras de Formação 169 Lição 28 O Cálculo Proposicional II Sintaxe (2): Regras Primitivas de Inferência 173 Lição 29 O Cálculo Proposicional III Sintaxe (3): Regras Derivadas de Inferência 181 Lição 30 O Cálculo Proposicional IV Sintaxe (4): Teoremas. Consistência e Completude. 187 Lista de Regras 193 PARTE IV LÓGICA DE PREDICADOS Lição 31 Introdução à Lógica de Predicados 197 Lição 32 Elementos Básicos da Teoria da Quantificação 205 Lição 33 O Cálculo de Predicados I Vocabulário. Sintaxe (1): Regras de Formação 211 Lição 34 O Cálculo de Predicados II Sintaxe (2): Regras Primitivas de Inferência 217 Lição 35 O Cálculo de Predicados III Sintaxe (3): Regras Derivadas de Inferência (1) 227 Lição 36 O Cálculo de Predicados IV Sintaxe (3): Regras Derivadas de Inferência (2) 235

4 Lição 37 O Cálculo de Predicados V Sintaxe (4): Teoremas. Substituição 243 Lição 38 Cálculo de Predicados com Identidade 249 Lição 39 Semântica do Cálculo de Predicados 255 Lição 40 O Problema da Decisão no Cálculo de Predicados. Extensões do Cálculo de Predicados 263 Bibliografia 271

5 PREFÁCIO 40 Lições de Lógica Elementar apresenta-se ao público como um manual de Lógica elementar dirigido, em primeiro lugar, aos estudantes de Filosofia e Linguística. Encontra-se, por isso, organizado num formato escolar. Está dividido em 4 partes: Lógica Aristotélica, Teoria dos Conjuntos, Lógica Proposicional e Lógica de Predicados. No seu todo, estas cobrem o programa das cadeiras Lógica I e Lógica II da licenciatura em Filosofia e Lógica de 1ª Ordem da licenciatura em Linguística. Está também dividido em 40 unidades auto-contidas (as lições), por forma a facilitar ao estudante tanto o contacto com o seu conteúdo como o acompanhamento do modo como o curso se desenrola nas aulas. Espera-se que, num futuro não muito distante, venha a ser complementado com um livro de exercícios resolvidos. A Lógica Proposicional e a Lógica de Predicados constituem o núcleo fundamental da Lógica Moderna. Ou melhor, dado que o Cálculo Proposicional pode ser encarado como a parte proposicional do Cálculo de Predicados, pode dizer-se deste último apenas que constitui o fundamento da Lógica Moderna. Com efeito, a Teoria Aristotélica da Inferência pode ser, com toda a vantagem, considerada como uma pequena e limitada subdivisão da moderna Lógica de Predicados e uma versão formalizada da Teoria dos Conjuntos pode ser desenvolvida como uma extensão do Cálculo de Predicados de 1ª Ordem com identidade ao qual se juntou o predicado binário x pertence a y e os axiomas que regulam a sua semântica. Este facto constitui à primeira vista um poderoso argumento a favor de um arranjo diferente do material aqui apresentado. Nomeadamente, a favor da apresentação da Lógica Aristotélica e da Teoria dos Conjuntos no final e não no início deste volume. A experiência de ensino, porém, levoume a preterir a ordenação conceptualmente correcta a favor da ordenação aqui apresentada. De facto, a Lógica Aristotélica, tal como é tradicionalmente apresentada, apresenta-se mais próxima dos hábitos intuitivos de raciocínio dos estudantes e a Teoria dos Conjuntos liga-se mais facilmente à sua experiência escolar anterior. Tanto uma como outra têm, por isso, um importante valor propedêutico. A minha justificação para ordenar o material do modo como aqui o apresento é, assim, de ordem pedagógica e não de ordem lógica. A Álgebra das Proposições não é uma teoria inferencial. Mas o seu estudo constitui uma excelente introdução ao estudo dos sistemas dedutivos propriamente ditos. Daí que a Parte III do presente volume se inicie com o estudo da Álgebra das Proposições.

6 O sistema dedutivo usado nas últimas lições da Parte III e na Parte IV é um sistema de dedução natural e não um sistema axiomático. Um sistema de dedução natural é um sistema de formalização do raciocínio lógico que consiste simplesmente na exposição de um conjunto de regras inferenciais e prescinde do recurso a quaisquer axiomas. Tais sistemas foram introduzidos por Gentzen em 1935 com o objectivo explícito de modelar o raciocínio lógico efectivo implementado na prática demonstrativa dos matemáticos. Independentemente de se saber se essa modelação é exacta ou não, a experiência tem mostrado que os sistemas de dedução natural se revelam bastante mais eficazes para o ensino da Lógica do que os sistemas axiomáticos. O sistema de dedução natural que aqui se apresenta segue o exposto no clássico de E.J. Lemmon (1965), embora nem a divisão que nele se estabelece entre regras primitivas e derivadas coincida com a de Lemmon nem o modo de expor as demonstrações seja a mesma. Na representação do raciocínio condicional segue-se o aparato gráfico introduzido por Nolt & Rohatyn (1988). Apesar de utilizar a regra EQE, tal como ela é classicamente apresentada por Lemmon, a distinção entre nomes próprios e nomes arbitrários, que ele introduz no seu sistema em associação com ela, foi abandonada por ser redundante em relação às restrições que acompanham a definição das regras IQU e EQE. Esta redundância constitui, aliás, mais um argumento a favor da regra EQE. Com efeito, nos sistemas de dedução natural é mais comum encontrar-se, em vez da regra EQE de Lemmon, a regra EE (Exemplificação Existencial). A regra EE tem sobre a regra EQE a vantagem de ser mais fácil de enunciar. Mas a regra EQE tem sobre a regra EE a vantagem de facilitar o trabalho demonstrativo propriamente dito (por exemplo, libertando o utente do sistema da preocupação de, no decurso de uma demonstração, ter que se desembaraçar primeiro dos quantificadores existenciais e só depois dos quantificadores universais). Do meu ponto de vista, a desvantagem inicial da regra EQE é largamente compensada pelas suas vantagens posteriores. Finalmente, gostaria ainda de acrescentar que, ao contrário do que é comum em publicações congéneres, nem no final da Parte III nem no final da Parte IV se encontram quaisquer demonstrações meta-teoréticas, seja de consistência seja de completude. A apresentação de tais demonstrações não estaria de acordo, parece-me, com o carácter assumidamente elementar destas 40 lições de Lógica. António Zilhão