O TRATAMENTO MATERIAL DA LPC Valorações como interpretações para a linguagem.

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1 COMPLEMENTO DO ARQUIVO ANTERIOR Texto Outras noções sintáticas que desempenharão um papel importante no futuro são as de esquema de fórmulas e de instância de um esquema. Um esquema de fórmula é uma expressão da metalinguagem, construída com variáveis metalinguísticas para fórmulas e conectivos da linguagem objeto, tal que gera fórmulas da linguagem objeto ao substituirmos as variáveis metalinguísticas por fórmulas da linguagem objeto; tais fórmulas são ditas, então, instâncias do esquema. Também diremos que duas expressões assim construídas são expressões do mesmo esquema se diferirem entre si apenas pela renomeação das variáveis metalinguísticas (ou seja, numa delas ocorre uma dada variável nos lugares (e apenas nesses) em que na outra expressão ocorre outra variável determinada. Na verdade, a melhor definição de esquema é como uma classe de fórmulas que contem uma dada fórmula e tal que todas as outras podem ser obtidas a partir daquela por substituição uniforme das variáveis sentenciais. Observe que esquemas não são disjuntos. Uma mesma fórmula pode ser instância de distintos esquemas. Assim, por exemplo, (A B) é um esquema, algumas de suas instâncias são P Q ((A C) (A B)) ( A (B C)) A ultima delas, por exemplo, também é instancia, entre outros, do esquema ( A B) Exercícios 1. Forneça três instâncias distintas de cada um dos exemplos abaixo a) (A ( B B)) b) (B (B C)) c) (A (A B)) d) (A A)) e) (A ( A (B C))) f) (((D A) (A Q) ) ((T B) D)) 2. Dê um exemplo de um esquema cujas instâncias são sempre fórmulas atômicas. 3. De um exemplo de uma fórmula que é instância de três esquemas diferentes (e diferentes não apenas pelas variáveis metalinguísticas empregadas para indica-los) O TRATAMENTO MATERIAL DA LPC Valorações como interpretações para a linguagem. Destacamos antes, ao tratarmos das noções lógicas de uma perspectiva informal, dois pontos importantes na consideração lógica do significado: retém-se do significado de uma expressão apenas o que é relevante para a verdade ou falsidade das asserções e trata-se o significado de uma expressão complexa como univocamente determinado pelos significados das expressões que a compõem. Vimos, agora, que na Lógica Proposicional a estrutura interna das asserções simples é desconsiderada (isto é, as consideramos como não tendo partes significativas), cuidando-se apenas dos modos de 1

2 composição de asserções mais complexas a partir de asserções mais simples. Assim, uma maneira simples de desenvolver a Lógica Proposicional Clássica é introduzir dois novos objetos abstratos (os valores de verdade: o Verdadeiro e o Falso) e considerar as fórmulas como nomes possíveis para tais objetos (ou seja, expressões que servem para designá-los). No que se segue denotaremos abreviadamente o objeto Verdadeiro por V e o objeto Falso por F. Assim, uma interpretação para a linguagem ora considerada deve determinar, levando-se em conta as estruturas lógicas das expressões bem formadas (fórmulas), os objetos (ou ov ou o F) que cada uma das fórmulas designa. Isso é realizado pelas assim chamadas valorações booleanas (também denominadas atribuições normais de valores), definidas a seguir: DEFINIÇÃO 1. Uma valoração booleana v é uma função que atribui a cada uma das fórmulas de L p um e apenas um dentre os dois objetos (V ou F) e que satisfaz, adicionalmente, as seguintes condições: 1 v (T) = V 2 v ( ) = F 3 v ( A) = V se e apenas se não se dá que v(a) = V 4 v ( A B) = V se e apenas se v(a) = V e v(b) = V 5 v (A B) = V se e apenas se v(a) = V ou v(b) = V 6 v (A B) = V se e apenas se v(a) =F ou v(b) = V 7 v (A B) = V se e apenas se v(a) = v(b) O valor que uma valoração atribui a uma fórmula é dito o valor de verdade da fórmula na valoração. Diremos também que uma fórmula é verdadeira em uma valoração booleana se tal valoração atribuir-lhe o valor V. Não é difícil perceber que valorações booleanas são univocamente determinadas pelos valores que atribuem às letras sentenciais (mais precisamente, àquelas fórmulas atômicas constituídas por uma única ocorrência de letra sentencial). Proposição 1 Sejam v e v duas valorações booleanas concordes entre si no tocante a todas aos valores de letras sentenciais. Assim, v é a mesma valoração que v. Dito de outro modo, v = v se e apenas se, para qualquer letra sentencial, A, v(a) = v (A). Ademais, o valor de verdade de uma fórmula em uma valoração resta univocamente determinado pelo valor que a valoração atribui às letras sentenciais que ocorrem na fórmula em pauta (mais precisamente, àquelas fórmulas atômicas constituídas por uma única ocorrência de letra sentencial e que são subfórmulas da fórmula em questão). Proposição 2. Seja A uma fórmula qualquer (atômica ou molecular) e sejam v e v duas valorações booleanas concordes entre si no tocante a todas as letras sentenciais que ocorrem em A. Assim, v(a) = v (A) 2

3 Assim, dado os valores das letras sentenciais que ocorrem em uma dada fórmula, é matéria de puro cálculo, por assim dizer, determinar o valor da fórmula como um todo: basta calcular o valor, de acordo com as cláusulas (i) a (vi) da definição de valoração booleana, de cada uma das subfórmulas, a começar das mais simples (e, este é um processo finito, pois o número de subfórmulas de uma determinada fórmula é finito). Um exemplo permite perceber melhor o ponto. Consideremos uma valoração booleana que atribui F a as letras sentenciais B e D e atribui V às demais e consideremos a fórmula ((C A) (A D)) ((T A) D) As suas subfórmulas são, em ordem de complexidade, A B D T D A A D T A (T A) D (D A) (A D) ((D A) (A D)) ((T A) D) Calculemos, então, o valor que v atribui a cada uma delas: 1. v(a) = V (dado) 2. v(b)= F (dado) 3. v(c)= V (dado) 4. v(d)= F (dado) 5. v(t)= V, pela cláusula (i) 6. v(d A)= F, pela cláusula (iv), visto que v(d)= F (item 1) 7. v(a C)= V, pela cláusula (iv), visto que v(a)= v(c) = V (itens 1 e 4) 8. v(t B)=F, pela cláusula (vii), visto que v(b)= F e v(t)= V (itens 2 e 5) 9. v((t B) D) = F, pela cláusula (v), visto v(t B)=F, bem como v(d)= F (itens 8 e 3) 10. v( (D A) (A C) )= V, pela cláusula (v), visto que v(a C)= V (item 7) 11. v( ((D A) (A C)) ((T B) D) )= F, pela cláusula (vi), visto que v((t B) D) = F (item 9), embora v( (D A) (A D) )= V (item 10). Exercícios Grupo A 1. Considere a valoração booleana referida no texto (aquela que atribui o falso às letras sentenciais B e C e apenas a essas). Determine, então, os valores que essa valoração atribui às fórmulas seguintes: g) A h) B C i) B C 3

4 j) B C k) A B l) A (A ) m) A (A T) n) B (B C))) o) (A A B) p) (A A) q) A ( A B C) r) (A ( B (B C)) 2. Para cada uma das fórmulas do exercício acima, determine quais valores de verdade uma valoração booleana deve atribuir as letras sentenciais ocorrendo nela para que a fórmula como um todo receba o valor Verdadeiro. 3. Dê um exemplo de um esquema que não envolva a negação e tal que qualquer instância dele seja verdadeira na valoração booleana considerada no texto Grupo B 4. Demonstre as duas posições enunciadas no texto. 5. Sejam A e B fórmulas quaisquer e seja P uma letra sentencial qualquer (eventualmente uma daquelas que ocorrem na fórmula A). E sejam v e v duas valorações booleanas que concordes entre si com respeito ao valor que atribuem às letras sentenciais, salvo a letra P e no tocante a essa, v (P) = v(b). Mostre que v(a) = v (A(P/B)). Solução. Demonstre por indução em fórmulas, tomando como parâmetro a fórmula na qual é feita a substituição (no caso, aquela indicada por A) 6. Mostre que, para qualquer fórmula A, não contendo ocorrências do símbolo para a negação e qualquer valoração v, v(a) = V, se v atribuir V a todas as letras sentenciais que ocorrem em A. 7. Considere apenas as fórmulas escritas com letras sentenciais recorrendo no máximo a negações e bicondicionais. Ademais, para cada valoração booleana v e cada fórmula A, seja nv(a) o número de ocorrências de negações somado ao número de ocorrências em A das letras sentencias às quais v atribui o valor F. Mostre que, para qualquer valoração booleana v, v(a) é o V se e apenas se nv(a) for ou zero ou um número par. Solução. Demonstra-se por indução em fórmulas. i) A é atômica. Nesse caso, v(a) é o V se e apenas se nv(a) for zero (isto é, par, na acepção alargada de par). 4

5 8 A é B C. Nesse caso, v(a) é o V se e apenas se v(b) = v(c) (ou seja, ambas verdadeiras ou ambas falsas) e, por hipótese da indução, isso ocorre se e apenas se o nv de ambas for par ou o de ambas for ímpar, ou seja, se apenas se nv (A) for par. 9 A é B. Segue da hipótese de indução, e definição de verdade, uma vez que somar um a um número impar resulta em um par. 5

6 As noções lógicas fundamentais Validade, consistência e equivalência De posse da noção de valoração booleana, é matéria fácil caracterizar as noções lógicas fundamentais com respeito à linguagem da LPC. Consideremos, de maneira mais detalhada, inicialmente os conceitos que se aplicam a fórmulas isoladas. Dizemos que uma fórmula é proposicionalmente consistente se existir uma valoração booleana que lhe atribui o valor verdadeiro e ela se diz proposicionalmente válida se for verdadeira em qualquer valoração booleana. E comum que as fórmulas proposicionalmente válidas sejam denominadas tautologias; mais ainda, essa se tornou a denominação canônica, razão pela qual vamos aqui também empregar; todavia a fim de que tal denominação não seja tendenciosa (ou mesmo preconceituosa, por pressupor, já no nome, uma peculiar compreensão daquilo que é nomeado 1 ), convém esvaziar a palavra tautologia de seu significado vernacular, e considerá-la simplesmente como o adjetivo próprio do que, dado os princípios lógicos clássicos, é válido (vige) em função já da estrutura proposicional. Nesse sentido, os adjetivos e advérbios derivados dessa palavra ganham um significado de o que é afeito à lógica proposicional clássica, sem que com isso se pressuponha nenhuma compreensão particular sobre a natureza dos predicamentos lógicos (validade, consistência, equivalência, etc.) cuja vigência depende apenas das maneiras como asserções mais complexas são formadas por asserções mais simples, dados princípios lógicos clássicos (funcionalidade e bivalência), antes assinalados. Observemos inicialmente que o conceito de tautologia é, de fato, formal (ou seja, a sua aplicação com correção a uma fórmula depende apenas da estrutura lógica da proposição). Essa propriedade é formalmente 2 expressa na proposição seguinte, cuja demonstração pode ser facilmente levada a bom termo por indução em fórmulas (razão pela qual essa tarefa será deixada a cargo do leitor). Proposição 2. Sejam A e B fórmulas quaisquer e seja P uma letra sentencial qualquer (eventualmente uma daquelas que ocorrem na fórmula A). Assim, se A for uma tautologia, então A(P/B) também é uma tautologia. Ademais, recorrendo ao conceito de tautologia, podemos expressar alguns traços peculiares da LPC, oriundos exatamente da adoção da perspectiva lógica clássica, entre os quais, a extensionalidade e a congruência, expressos de maneira formal na próxima proposição. 1 Essa denominação das fórmulas válidas em função apenas de suas estruturas proposicionais foi possivelmente tomada da obra Tractatus Logico-philosophicus, obra que veicula, consoante o significado ordinário da palavra tautologia (dizer o mesmo, nada dizer), uma peculiar compreensão da natureza das proposições logicamente verdadeiras (como proposições sem sentido, vazias de sentido). Mas a denominação foi incorporada no jargão lógico contemporâneo insciente de seu significado prévio na língua. 2 O leitor deve perceber que os diferentes sentidos que o adjetivo formal (correspondentemente, o adverbio formalmente ) assume no texto. Num sentido, o formal se opõe ao não formal (ao informal) numa oposição análoga àquela entre traje formal (roupa domingueira) e traje informal (roupa de trabalho) e noutro sentido formal é o que é afeito à forma (e, aqui os sentidos se duplicam, porque pode ser afeita à forma perceptual aparência ou à estrutura lógica). 6

7 Proposição 3. Sejam A, B e C fórmulas quaisquer e seja P uma letra sentencial (que eventualmente, mas não necessariamente, ocorre em C). i) Se A B for uma tautologia, então C(P/A) C(P/B) também é uma tautologia (congruência) ii) A fórmula (A B) C(P/A) C(P/B) é uma tautologia (extensionalidade) O leitor facilmente percebe que o segundo item dessa proposição acarreta o primeiro, haja vista as definições de valorações booleanas e de tautologia; e a demonstração desse segundo item é um fácil, ainda que talvez moroso exercício de demonstração por indução em fórmulas (no caso, por indução nas fórmulas aludidas por meio da variável C) A característica que acima denominamos de congruência pode receber outra formulação, se lançarmos mão do conceito de equivalência tautológica. Dizemos que duas formas são tautologicamente equivalentes, se qualquer valoração booleana lhes atribui sempre o mesmo valor de verdade, ou seja, uma delas é verdadeira se e apenas se a outra também o for. Assim, facilmente se mostra que duas fórmulas são tautologicamente equivalentes se e apenas se o bicondicional formado por elas é uma tautologia. Por conseguinte, a congruência significa exatamente a congruência, no sentido usual em Matemática, da relação de equivalência tautológica, ou seja, que coisas equivalentes são intercambiáveis, preservando-se as relações e operações distinguidas 3. Decisão e o método das tabelas de verdade Visto que, como foi anteriormente assinalado, o valor de verdade de uma fórmula numa valoração booleana é univocamente determinado pelo valor que suas letras sentenciais assumem nessa valoração, podemos oferecer um procedimento de decisão para as noções ora introduzidas. Por um lado, como mostramos antes, o valor que uma valoração qualquer atribui a uma fórmula qualquer, pode ser calculado a partir dos valores de verdade que tal valoração booleana atribui às letras sentenciais que ocorrem na fórmula, Por outro, como cada fórmula contém ocorrências de um número finito (incluindo o zero) de letras sentenciais, o número de diferentes distribuições de valores de verdade para essas letras sentenciais é finito (mais precisamente, por análise combinatória, se n for o número de letras sentenciais, 2 n é o número de distintas distribuições de valores de verdade). Assim, podemos calcular todos os valores (em número finito) que as (infinitas) valorações booleanas podem atribuir a uma dada fórmula. Esse procedimento pode ser representado por uma tabela, conhecida como tabela de verdade, cujas colunas são indexadas pelas subfórmulas de uma dada fórmula, dispostas de maneira a respeitar a complexidade delas (ou seja, fórmulas mais simples devem vir antes de fórmulas mais complexas) e cujas células contém um valor de verdade, distribuídas de tal modo que cada linha representa uma possibilidade distinta de distribuição de valores de verdade e em conjunto exaurem todas as possibilidades. Outra vez, um exemplo ajuda a compreender o ponto: consideremos a fórmula: ((C A) (A B) ) (T B) 3 Para as noções aqui empregadas de equivalência e congruência, veja-se o adendo: noções de teoria de conjuntos e álgebra. 7

8 Ela contém ocorrências de três letras sentenciais distintas e possuí nove subfórmulas, quais sejam: A B C T C A A B T B (C A) (A B) ((D A) (A B)) (T B) Assim, nossa tabela deverá ter nove linhas (2 3 mais a linha do cabeçalho) e nove colunas e ficará assim: A B C T C A A B T B (C A) (A B) ((C A) (A B)) (T B) V V V V V V V V V V V F V F V V V V V F V V V F F V F V F F V F F F F V F V V V F F V F V F V F V F F V F V F F V V F F F F V F F F V F F F F V Exercícios Grupo A 8. Usando o método de tabelas de verdade, determine quais das fórmulas abaixo são tautologias e quais são proposicionalmente consistentes: a. A (A ) b. A (A T) c. B (B C))) d. (A A B) e. (A A) f. A ( A B C) g. (A ( B (B C))) 9. Determine quais pares de formulas abaixo são tautologicamente equivalentes a. A; (A ) 8

9 Grupo B b. A; (A T) c. A; ( B (B C)) d. A B ; ( A B) e. (A B); ( A B) f. A B ; A B g. (A B); A B 10. Seja A uma fórmula na qual ocorrem apenas letras sentenciais e no máximo negações e bicondicionais. Assim, A é uma tautologia se e apenas se a negação e cada letra sentencial que ocorrem nela ocorrerem um número par de vezes. (Mendelson, 1997) Solução. Se A contém um número par de ocorrências da negação (eventualmente nenhuma ocorrência de negação) e se cada letra sentencial que ocorre nela ocorre um número par de vezes, então, em particular, o número de ocorrências de letras sentenciais nela que recebem o valor F numa dada valoração também será par. Assim, decorre do resultado enunciado em um dos exercícios da lista anterior, que a fórmula é uma tautologia. Por outro lado, se alguma letra sentencial ocorre um número impar de vezes na fórmula em pauta, basta considerarmos a valoração que atribui o F apenas a essa letra sentencial, pois pelo mesmo resultado referido anteriormente, essa valoração dará o valor F à fórmula como um todo, mostrando que não se trata de tautologia. 9

10 Consequência tautológica Já vimos antes, quando da apresentação intuitiva das noções lógicas fundamentais, que a noção de consequência lógica pode ser reduzida à de validade como um de seus casos particulares, se considerarmos apenas um número finito de asserções. Nesse caso, uma asserção é consequência lógica de uma coleção finita de asserções, se for logicamente válida a asserção condicional cujo antecedente é a conjunção de todos os elementos dessa coleção e o consequente é a asserção em pauta. Considerando a formalização apresentada antes (a LPC), poderíamos caracterizar uma noção finitária de consequência segundo a qual uma fórmula C seria consequência das fórmulas A 1,..., A n se a fórmula A 1... A n C for tautologia 4. Todavia, isso não pode ser imediatamente estendido para o caso em que a coleção de asserções é infinita, visto que expressões são sempre finitas. Assim, convém caracterizar a relação de maneira mais geral, de sorte que coleções eventualmente infinitas de fórmulas possam também ser tomadas como antecedentes da relação de consequência (isto é possíveis primeiros termos). Tornar possível tal caracterização é a principal motivação para termos introduzido antes a noção infinitária (porque envolve o domínio infinito das fórmulas) de valorações 5, visto que tal noção torna quase imediata a tarefa de definir consequência, como uma relação necessariamente preservadora da verdade. Assim, dizemos que uma valoração booleana é modelo tautológico de um conjunto de fórmulas se a valoração atribui o valor V a todas as fórmulas do conjunto e dizemos que uma fórmula é consequência tautológica de um conjunto se ela for verdadeira em todos os modelos tautológicos do conjunto. Aproveitemos a ocasião para definir também uma noção de consistência que se aplica a conjuntos infinitos. No jargão próprio, temos as seguintes definições. DEFINIÇÃO 2. Seja Γ {A} um conjunto qualquer de fórmulas. 10 Uma valoração booleana v é um modelo tautológico de Γ (em símbolos, v Γ) se para qualquer fórmula C em Γ, v(c) =V; 11 Γ diz-se tautologicamente consistente se existir uma valoração booleana que seja modelo dele; 12 A é consequência tautológica de Γ (em símbolos, Γ A) se v(a) =V, para qualquer modelo tautológico v de Γ Evidentemente, ficamos curiosos em saber quanto da noção finitária de consequência é preservado nessa definição generalizada. Vejamos, então, algumas proposições que expressam isso. Em primeiro lugar, ela preserva as relações de significação com os demais conceitos lógicos assinalados anteriormente, em especial, uma fórmula é tautologia se e apenas se for consequência tautológica do conjunto vazio e uma fórmula é inconsistente se e apenas se for consequência tautológica de qualquer conjunto (a demonstração disso fica a cargo do leitor). A primeira das relações de significação entre tautologia e consequência tautológica justifica o emprego de um 4 Ou, o que é equivalente, se A1 (... (A n C)...) for tautologia, as duas fórmulas são tautologicamente equivalentes. 5 O leitor perspicaz deve já ter percebido que, se fosse para dar conta apenas da noção de validade proposicional (tautologia), bastaria considerar, para cada fórmula, atribuições de valores de verdade às letras sentenciais (em número finito) que ocorrem nela e, assim, operar apenas com as entidades finitas que são as tabelas de verdade. 10

11 mesmo símbolo (qual seja, ) com dois fins distintos: (i) como prefixo ao qual se segue a indicação de uma fórmula para indicar que se trata de uma tautologia ou (ii) precedido da indicação de um conjunto de fórmulas e sucedido pela indicação de uma fórmula para indicar que essa é consequência tautológica daquele conjunto. Também não é difícil perceber que a relação de consequência ora definida satisfaz a certas propriedades gerais, quais sejam: ( Reflexividade ) Se A Γ, então Γ A ( Monotonicidade ) Se Γ A, então Γ Δ A ( Transitividade ) Se Γ A e Δ {A} B, então Γ Δ B Quaisquer que sejam as fórmulas A e B e conjuntos Γ e Δ de fórmulas Pois, quanto ao primeiro item, todo modelo tautológico de Γ verificará, em particular, a fórmula A, supondo que A esteja em Γ. Raciocínios análogos permitem demonstrar os demais itens (e é um bom exercício para o leitor tentar descrevê-los o mais precisamente que for capaz). Também é possível mostrar uma interessante relação de significação entre o conceito generalizado e a noção finitária de consequência, a saber, que uma formula qualquer é consequência de um conjunto qualquer (finito ou não) se e apenas se for consequência de um subconjunto finito desse conjunto. Mas a demonstração disso é matéria avançada. Exercícios Grupo A1 1. Determine quais dos conjuntos abaixo é semanticamente consistente a) {A, A B C, B, C} b) {A B; B C; C} c) {A B; A; B} d) {A B; A; B} e) O conjunto de todas as fórmulas atômicas 2. Considerando os pares abaixo, formados por um conjunto e uma fórmula, determine se essa é consequência tautológica daquele. Grupo A2 a) {A, A B C, B}; C b) {A B; B C; C}; A c) {A B; A}; B d) {A B; B C; C}; A 3. Para qualquer fórmula A e qualquer conjunto Γ de fórmulas, Γ A se e apenas se Γ { A} for tautologicamente inconsistente. 4. Mostre que para quaisquer fórmulas A 1,..., A n e A, { A 1,..., A n } A se e apenas se A 1... A n A {alternativamente, { A 1,..., A n } A se e apenas se A 1 (... (A n A)...) } 5. Mostre que Ø A se e apenas se A for uma tautologia 11

12 6. Mostre que duas fórmulas são tautologicamente equivalentes se apenas se cada uma delas for consequência tautológica do conjunto unitário constituído exatamente pela outra. 7. Mostre que quaisquer duas tautologias são tautologicamente equivalentes entre si e o mesmo para quais duas fórmulas tautologicamente contraditórias. 8. Dizemos que um conjunto é tautologicamente trivial se qualquer fórmula for consequência tautológica dele. Mostre que um conjunto é trivial se e apenas se o absurdo for consequência tautológica dele. Grupo B 9. Mostre que qualquer fórmula que não contenha ocorrências de negação é consequência tautológica do conjunto de todas as fórmulas atômicas (letras sentenciais) 12