Matemática para Ciência de Computadores

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1 Matemática para Ciência de Computadores 1 o Ano - LCC & ERSI Luís Antunes [email protected] DCC-FCUP

2 Complexidade 2002/03 1 Teoria de Conjuntos Um conjunto é uma colecção de objectos/elementos/membros. (Cantor 1895) lista de elementos entre chavetas: S = {a, b, c, d} = {b, c, a, d} especificado usando predicados S = {x : P (x)} S = {1, 2, 3, 4,...} x é um elemento de S (ou x pertence a S) x S

3 Complexidade 2002/03 2 Conjuntos: exemplos {1, {1}}. R = reais. R = naturais = {1, 2, 3, 4,...} Z = inteiros = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. Z + = inteiros positivos. {x R : 2 < x < 5}.

4 Complexidade 2002/03 3 Subconjuntos Definição: Um conjunto A é um subconjunto do conjunto B (A B) sse x(x A x B) O conjunto A é um subconjunto de si mesmo. Definição: O conjunto vazio,, é o único conjunto que não contém elementos. (x é sempre falso!) x(x x B) logo é um subconjunto de qualquer conjunto.

5 Complexidade 2002/03 4 Subconjuntos Definição: Se A B e A B então A é um subconjunto próprio de B A B. Definição: o conjunto de todos os subconjuntos de um conjunto A é chamado o conjunto das partes de A (P (A)). Exemplo: Se A = {a, b} então P (A) = {, {a}, {b}, {a, b}}. Exercícios: Seja A = {1, 2, 5, 7}, B = {1, 5} e C = {3, 7}. (a) B A? (b) C A? (c) B B?

6 Complexidade 2002/03 5 Cardinalidade Definição: o número de elementos (distintos!) em A, A, é chamado a cardinalidade de A. Se a cardinalidade de um conjunto é um número natural (N), então o conjunto é finito caso contrário é infinito. Exemplo: Se A = {a, b} então {a, b} = 2 e P (A) = 4. Nota 1: se A = n, então P (A) = 2 n. Nota 2: Conjuntos podem ser elementos e subconjuntos de outros conjuntos. Cuidado com o uso de e!

7 Complexidade 2002/03 6 Produto cartesiano de conjuntos Definição: o produto cartesiano de o conjunto A com o conjunto B, A B, é o conjunto de pares ordenados {(a, b) : a A b B}. Definição: o produto cartesiano dos conjuntos A 1, A 2,..., A n, A 1 A 2... A n, é o conjuntos de todos os ntuplos ordenados {(a 1, a 2,..., a n ) : a 1 A 1, a 2 A 2... a n A n }. Exemplo: Seja A = {a, b} e B = {1, 2, 3}. A B = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)}. (a) Determine B A e A B A. (b) Determine A B. Exercício: Se A = m e B = n, determine A B.

8 Complexidade 2002/03 7 Operações sobre conjuntos O cálculo proposicional e a teoria de conjuntos são ambos instâncias de um sistema algébrico chamado Álgebra Booleana. As operações na teoria de conjuntos são definidas em termos do operador correspondente no calculo proposicional.

9 Complexidade 2002/03 8 Igualdade Definição: Dois conjuntos A e B são iguais, A = B, se e só se x(x A x B) ou ou A = B se e só se x[(x A x B) (x B x A)] A = B se e só se A B e B A

10 Complexidade 2002/03 9 Definições (A e B conjuntos) 1. A união entre A e B, A B, é o conjunto {x : x A x B} 2. A intersecção entre A e B, A B, é o conjunto {x : x A x B} 3. O complemento de A, A (A c ), é o conjunto {x : x A 4. A diferença entre A e B (ou complemento de B relativamente a A), A B, é o conjunto A B.

11 Complexidade 2002/03 10 Exemplo Seja U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {6, 7, 8}. Então: A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. A B = {4, 5}. A = {0, 6, 7, 8, 9, 10}. A B = {1, 2, 3}.

12 Complexidade 2002/03 11 Conjuntos: propriedades 1. Para todo o conjunto A e B; A B A e A B B. 2. Para todo o conjunto A e B; A A B e B A B. 3. Para todo o conjunto A, B e C; se A B e B C, então A C. 4. Para todo o conjunto A e B; A B = A B. 5. Para todo o conjunto A e B; A B = A B.

13 Complexidade 2002/03 12 Conjuntos: propriedades 1. Comutatividade: para todo o conjunto A e B; A B = B A e A B = B A. 2. Associatividade: para todo o conjunto A, B e C; A (B C) = (A B) C e A (B C) = (A B) C. 3. Distributividade: para todo o conjunto A, B e C; A (B C) = (A B) (A C) e A (B C) = (A B) (A C). 4. Complemento duplo: para todo o conjunto A, A = A. 5. Idempotência: para todo o conjunto A, A A = A e A A = A.

14 Complexidade 2002/03 13 Provas... Exercício: Mostre que A B = A B. Prova: Vamos mostrar que x(x A B) x A B Começamos por aplicar a seguinte regra de inferência Instanciação Universal Numa prova podemos eliminar o quantificador universal que afecta uma variável se assumirmos que a variável é um elemento arbitrario do domínio. Tratamos o predicado resultante como uma proposição.

15 Complexidade 2002/03 14 Provas... Assumimos Seja x um elemento arbitrario do domínio x A B x (A B) Def. de Complemento x (A B) (x (A B)) Def. de (x A x B)) Def. de união x A x B Leis de DeMorgan x A x B Def. de x A x B Def. de complemento x (A B) Def. de intersecção Logo é uma tautologia x A B x A B

16 Complexidade 2002/03 15 Provas... Como x é arbitrario usamos equivalências lógicas, asserções e definições podemos aplicar outra regra de inferência chamada Generalização Universal Podemos aplicar um quantificador universal para ligar uma variável se mostramos que o predicado é válido para todas as variáveis no universo. e afirmar que a asserção é válida para todo o x, i.e., x(x A B) x A B

17 Complexidade 2002/03 16 Conjunto vazio Definição: O conjunto vazio,, é o único conjunto que não contém elementos. Nota: para provar que um conjunto A é igual ao conjunto vazio, mostre que A não contém elementos. Para o fazer, suponha que A contém um elemento e deduza uma contradição. Teorema: Para todo o conjunto A, A =.

18 Complexidade 2002/03 17 Prova Seja A um conjunto (fixo, mas genericamente escolhido), para mostrar que A = basta mostrar que A não contém nenhum elemento. Suponhamos que x (A ), por definição de intersecção x A e x. Em particular x, o que é impossível por definição de. Esta contradição mostra que a hipótese de existir um x (A ) é falsa. Logo A não contém elementos e A =.

19 Complexidade 2002/03 18 Exercícios Das seguintes afirmações idenfifique as verdadeiras: (a) 2 {1, 2, 3} (b) {2} {1, 2, 3} (c) 2 {1, 2, 3} (d) {2} {1, 2, 3} (e) {2} {{1}}, {{2}} (f) {2} {{1}}, {{2}} Mostre que para todo o conjunto A e B, A B A. Mostre que para todo o conjunto A e B, A B = A B. Mostre que para todo o conjunto A,B e C (A B) C = (A C) (B C).