Resumo. Parte 2 Introdução à Teoria da Probabilidade. Ramiro Brito Willmersdorf Introdução.
|
|
- Ruth de Sousa Aleixo
- 7 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 Parte 2 Introdução à Teoria da Probabilidade Ramiro Brito Willmersdorf ramiro@willmersdorf.net Departamento de Engenharia Mecânica Universidade Federal de Pernambuco Resumo 1 Introdução 2 Espaço Amostral Sistemas de Probabilidade
2 Introdução Teoria da Probabilidade A Teoria da Probabilidade é o modelo matemático que permite estudar de forma abstrata um fenômeno físico ao qual está associado uma incerteza. Este modelo será composto por três elementos: um espaço amostral; uma álgebra de eventos; uma medida de probabilidade. Espaço Amostral Experiências Espaço Amostral Para um fenômeno físico, será denida uma experiência. A experiência caracteriza-se por: denir explicitamente todos os resultados possíveis; ser reprodutível em completa igualdade de condições; para cada repetição, um dos resultados possíveis deve necessariamente ocorrer; condições idênticas podem levar a resultados distintos. Cada resultado da experiência é chamado ponto-amostra e denotado por ω. O conjunto de todos os pontos-amostra é chamado espaço amostral e denotado por Ω.
3 Espaço Amostral Exemplos Lançamento de Dados Experiência: lançar 1 dado, anotar a face visível. ω: face visível. { } Ω = ou Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6. A representação numérica é apenas uma conveniência. Espaço Amostral Exemplos Lançamento de Dados Experiência: lançar 2 dados, onde a ordem importa, e anotar as faces visíveis ω: (Face 1, Face 2). (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 6), Ω =.. (5, 1), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6) A cardinalidade do espaço amostral é 36.
4 Espaço Amostral Exemplos Lançamento de Dados Experiência: lançar 2 dados, onde a ordem não importa, e anotar as faces visíveis ω: (Face 1, Face 2). (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 2), (3, 3) Ω= (4, 4) (5, 5 ) (1, 6), (2, 6),... (4, 6), (5, 6), (6, 6) A cardinalidade do espaço amostral é 21. Espaço Amostral Exemplos Sinal Elétrico Ou tensão, pressão, temperatura, etc. Qualquer grandeza contínua, medida analógicamente. ω: uma leitura do mostrador. Ω = [Vmin, Vmax ] Em princípio, há in nitos eventos, que variam continuamente.
5 Espaço Amostral Exemplos Sinal Elétrico Ou tensão, pressão, temperatura, etc. Qualquer grandeza contínua, medida discretamente. ω: uma leitura do mostrador, restrita à resolução do mostrador. Ω = {V min,..., V max }, em saltos discretos. Em princípio, há um número nito de eventos, que variam discretamente. Espaço Amostral Exemplos Diâmetro de barras ω: um diâmetro medido (um número real). Ω = [d min, d max ]. ou, outra interpretação para a mesma experiência, ω: o diâmetro medido é aceitável (um resultado booleano). Ω = [Verdadeiro, Falso]. Uma mesma experiência pode originar espaços amostrais diferentes.
6 Espaço Amostral Exemplos Esquematicamente Conjuntos de Eventos É muito comum estarmos interessados em grupos de pontos amostra, ou subconjuntos de Ω. A manipulação de subconjuntos de pontos amostra, ou eventos, é uma das pedras fundamentais da teoria da probabilidade. Usa-se a Teoria dos Conjuntos para formalizar esta manipulação.
7 Teoria dos Conjuntos Igualdade Dois conjuntos são A e B são iguais se todo o ponto amostra que pertence a A também pertence a B, e todo elemento de B também pertence a A. Denição: A = B ω A ω B ω B ω A Teoria dos Conjuntos Inclusão Um conjunto A está incluído (ou contido) em B se todo elemento de A pertence a B. Inclusão: A B ω A ω B Ou, alternativamente, B A, isto é, B contém A.
8 Teoria dos Conjuntos Diagramas de Venn São extremamente úteis para a visualização de operações com conjuntos. Por exemplo, A B: Teoria dos Conjuntos União A união dos conjuntos A e B é denida como todos os elementos de Ω que pertencem a A ou pertencem a B (ou aos dois.) União: A B A B {ω Ω : ω A ω B}
9 Teoria dos Conjuntos Observação representa a operação lógica ou clássica, não exclusiva isto é: E 1 E 2 E 1 E 2 V V V V F V F V V F F F Teoria dos Conjuntos Intersecção A intersecção dos conjuntos A e B é denida como todos os elementos de Ω que pertencem a A e pertencem a B. Intersecção: A B A B {ω Ω : ω A ω B}
10 Teoria dos Conjuntos Complemento O complemento de A é o conjunto dos elementos de Ω que não pertencem a A. Complemento: A A {ω Ω : ω / A} Teoria dos Conjuntos Diferença O conjunto dos elementos que pertencem a B e não pertencem a A é a diferença entre B e A. Diferença: B A B A {ω Ω : ω B ω / A}
11 Teoria dos Conjuntos Denições Úteis O conjunto que não contém elementos é o conjunto vazio, denotado por. Dois conjuntos que não tem elementos em comum são chamados disjuntos. Classe é o nome dado a um conjunto de conjuntos. Teoria dos Conjuntos Comutatividade As operações de união e intersecção são comutativas. Comutatividade A B = B A e A B = B A. Isto pode ser facilmente demonstrado através das denições e de os operadores lógicos e serem comutativos.
12 Teoria dos Conjuntos Associatividade As operações de união e intersecção são associativas. Associatividade A (B C) = (A B) C e A (B C) = (A B) C. Isto pode ser facilmente demonstrado através das denições e de os operadores lógicos e serem associativos. Teoria dos Conjuntos Distributividade A operação de intersecção é distributiva em relação à união. Distributividade A (B C) = (A B) (A C).
13 Teoria dos Conjuntos Leis de De Morgan Primeira lei: o complemento da união é a intersecção dos complementos. Primeira Lei A B = A B. Segunda lei: o complemento da intersecção é a união do complementos. Segunda Lei A B = A B. Álgebra Álgebra de conjuntos Estamos interessados em trabalhar com subconjuntos do espaço amostral. Os subconjuntos são denominados subconjuntos de interesse. Estes subconjuntos formam uma classe. Para consistência da Teoria da Probabilidade, esta classe deve ter algumas propriedades. As propriedades requeridas denem uma álgebra.
14 Álgebra Álgebra Uma classe A é dita uma álgebra quando satisfaz as condições: 1 A A A A. 2 A A B A (A B) A. Consequências: 1 A A B A (A B) A. 2 A A B A (B A) A. 3 A. 4 Ω A. 5 A i A; i = 1, 2,..., n n i=1 A i A. Álgebra σ-álgebra Se A é uma álgebra e n A i A; i = 1, 2,..., n A i A é válida para um número innito (contável) de conjuntos, isto é i=1 A i A; i = 1, 2,..., n A i A i=1 então a álgebra é uma σ-álgebra. A menor σ-álgebra que contém todos os elementos de uma classe C é representada por A(C) e denominada σ-álgebra gerada por C.
15 Álgebra Exemplo Na experiência do lançamento de um dado, o espaço amostral é: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Denindo C = {, Ω, {1, 3, 5}, {2, 4, 6}, {1}}, claramente, C não é uma álgebra, pois não pertence a C. {1} = {2, 3, 4, 5, 6} Álgebra Exemplo Por inspeção, podemos vericar que C = {, Ω, {1, 3, 5}, {2, 4, 6}, {1}, é uma álgebra, e é uma σ-álgebra. {1, 2, 4, 6}, {2, 3, 4, 5, 6}, {3, 5}}, Observação: É possível mostrar que para uma classe qualquer C, existe pelo menos uma σ-álgebra contendo C.
16 Álgebra Denições Evento Evento é qualquer subconjunto de Ω que pertença à σ-álgebra. Eventos Mutuamente Exclusivos Dois eventos são mutuamente exclusivos quando correspondem a conjuntos disjuntos de Ω. Uma σ-álgebra é conveniente para representar os resultados de interesse pois operações entre os membros da classe permitem obter todos as combinações possíveis. Frequência Relativa Noção Intuitiva Temos uma noção muito intuitiva de probabilidade. A idéia é que, se um processo se mantém inalterado, mais ou menos a mesma proporção de coisas que aconteceram no passado acontecerão no futuro. Claramente, a idéia da proporção é fundamental na nossa percepção da chance das coisas acontecerem. Vamos quanticar a proporção numericamente, usando a frequência relativa dos eventos de interesse.
17 Frequência Relativa Frequência Relativa Supondo que uma experiência tenha sido realizada N vezes, e que dentre estas, n(a) o evento A tenha ocorrido, a frequência relativa é f = n(a) N Propriedades óbvias: e 0 n(a) N 1 n(ω) N = 1. Frequência Relativa Propriedade Aditiva Se dois eventos A e B são mutuamente exclusivos, isto é, A B =, então, e consequentemente n(a B) = n(a) + n(b) n(a B) N = n(a) N + n(b) N A frequência relativa da união de dois eventos mutuamente exclusivos é a soma das frequências relativas.
18 Frequência Relativa Probabilidade como Frequência Relativa Naturalmente, esperamos que a frequência relativa estabilize, quando o número de experimentos cresce; Podemos tentar denir a probabilidade de um evento A como P(A) = lim N n(a) No entanto, não faremos isto; para uma dada experiência, N nito não garante a convergência; Tomaremos as propriedades da frequência relativa e deniremos axiomaticamente uma função de eventos que tenha o mesmo comportamento. N Axiomas da Probabilidade Denição Axiomática da Probabilidade A medidade de probabilidade é uma função denida em A que obedece aos três axiomas a seguir Axioma 1 P(A) 0. Axioma 2 P(Ω) = 1.
19 Axiomas da Probabilidade Denição Axiomática da Probabilidade Axioma 3 Se A B =, então P(A B) = P(A) + P(B). Se A i A j =, i, j = 1, 2,... (i j), então P ( ) A i = i=1 i=1 P(A i ). Axiomas da Probabilidade Observações Algumas observações interessantes. O domínio de P é a σ-álgebra A. O contradomínio de P é [0, 1] R. Qualquer função P que atenda aos axiomas é aceitável. A função P pode ser representada pela seguinte notação: P : A = R A P(A)
20 Axiomas da Probabilidade Propriedades A função P tem proprieadades importantes, a saber Aditividade Para n eventos disjuntos {A i, i = 1, 2,..., n}, isto é A i A j = ; i, j = 1, 2,..., n (i j) temos P ( n ) A i = n P(A i ). i=1 i=1 Axiomas da Probabilidade Propriedades Probabilidade do Complemento P(A) = 1 P(A) Probabilidade do Evento Vazio P( ) = 0 Limitante Superior para P(A) P(A) 1
21 Axiomas da Probabilidade Propriedades Probabilidade da União P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). Probabilidade Condicional Probabilidade Condicional Dados dois eventos A e B, com P(A) > 0, denimos a probabilidade condicional de B dado A como: P(B A) = P(A B). P(A) A probabilidade condicional mede a probabilidade do evento B ter ocorrido se o evento A ocorreu.
22 Probabilidade Condicional Interpretação A probabilidade condicional mede a parcela das ocorrências do evento A nas quais o evento B ocorreu também. Em termos de frequência relativa, a probabilidade de B, quando A ocorreu é : n(a B). n(a) Rescrevendo: n(a B) n(a) = n(a B) N N n(a) P(A B) =. P(A) Probabilidade Condicional Interpretação Importante: Como não usamos a frequência relativa como denição de probabilidade, não tomamos a expressão anterior como denição de probabilidade condicional.
23 Probabilidade Condicional Consequências 1 Se P(A) > 0 e A e B são mutuamente exclusivos, A B = e P(A B) = 0, portanto 2 Se A B, então A B = A, e 3 Se A B, então A B = B, e P(B A) = 0. P(B A) = 1. P(B A) = P(B) P(A) P(B). Probabilidade Total Partição do Espaço Amostral Dene-se uma partição do espaço amostral com um conjunto de eventos {B i }, i = 1,..., m tal que e B i B j =, i, j = 1,..., m, (i j), m B i = Ω. i=1 Os eventos que compõe a partição são portanto mutuamente exclusivos e exaustivos. O conceito também é válido para qualquer evento C Ω.
24 Probabilidade Total Teorema da Probabilidade Total Dado um evento A e uma partição de Ω {B j }, j = 1,..., m, podemos escrever ou m P(A) = P(A B j ) j=1 m P(A) = j=1 P(A B j )P(B j ) Probabilidade Total Regra de Bayes Considerando uma partição {B j }, j = 1,..., m de Ω, com P(B j ) > 0 para qualquer j e A um evento com P(A) > 0, podemos escrever P(B j A) = P(B j A) P(A) e P(A B j ) = P(B j A) P(B j ) juntando as duas expressões P(B j A) = P(A B j)p(b j ) P(A) e usando o teoremada da probabilidade total P(B j A) = P(B j )P(A B j ) m k=1 P(B k)p(a B k )
25 Probabilidade Total Regra de Bayes Regra de Bayes P(B j A) = P(B j )P(A B j ) m k=1 P(B k)p(a B k ) P(B j ) são as probabilidades a priori. P(B j A) são as probabilidades a posteriori. A regra de Bayes relaciona probabilidades a posteriori com as probabilidades condicionais e a priori. Independência Estatística Independência Estatística Independência Dois eventos A e B são estatisticamente independentes quando P(A B) = P(A)P(B) Em termos da probabilidade condicional, se P(A) > 0 e P(B) > 0, se A e B são independentes, então P(B A) = P(B) e P(A B) = P(A)
26 Independência Estatística Observações 1 Se A e B são mutuamente exclusivos, então P(A B) = 0, e, se P(A) > 0 e P(B) > 0, então os eventos não são independentes, pois P(B A) = P(A B) P(A) = 0 P(B). 2 Se os eventos A e B são independentes e mutuamente exclusivos, então P(A) = 0 ou P(B) = 0. Independência Estatística Generalização Eventos {A k }, k = 1,..., n são estatiscamente independentes quando para qualquer conjunto de índices distintos {k i }, i = 1,..., j com k i {1,..., n}, i = 1,..., j e j 2,..., n temos P ( j A ki ) = j P(A ki ) i=1 i=1
27 Sistemas de Probabilidade Sistema de Probabiliade O trio formado por Um espaço amostral Ω; Uma σ-álgebra A; Uma medida de probabilidade P; congura um sistema de probabilidade, denotado por S = (Ω, A, P) Sistemas de Probabilidade Sistemas de Probabilidade Combinados Produto Cartesiano Pode ser interessante observar mais de uma experiência simultaneamente. Se os espaços amostrais de duas experiênciais são Ω 1 e Ω 2, com pontos amostrais ω 1 i e ω 2 j, respectivamente, construimos pares ordenados (ω 1 i, ω 2 j ) que denem um novo conjunto Ω, o produto cartesiano de Ω 1 e Ω 2, denotado por Ω = Ω 1 Ω 2.
28 Sistemas de Probabilidade Sistemas de Probabilidade Combinados Produto Cartesiano Podemos considerar uma única experiência, cujos resultados são (ω 1 i, ω2 j ). Se as experiências originais correspondem a S 1 = (Ω 1, A 1, P 1 ) e S 2 = (Ω 2, A 2, P 2 ) e a experiência combinada ao sistema seria muito natural tomar S = (Ω, A, P) Ω = Ω 1 Ω 2 e A = A 1 A 2. Infelizmente não é possível arma nada sobre P. Sistemas de Probabilidade Sistemas de Probabilidade Combinados Sistemas Independentes Sistemas de Probabilidade Independentes Dois sistemas de probabilidade S 1 = (Ω 1, A 1, P 1 ) e S 2 = (Ω 2, A 2, P 2 ) são estatisticamente independentes quando para qualquer A 1 A 1 e A 2 A 2, temos P(A 1 A 2 ) = P 1 (A 1 )P 2 (A 2 ) P é a medida de probabilidade da experiência combinada. Observação: Se uma experiência puder ser analisada como a combinação de duas experiências com sistemas independentes, normalmente é conveniente fazê-lo.
29 Sistemas de Probabilidade Sistemas de Probabilidade Combinados Generalização Considerando n sistemas de probabilidades S k = (Ω k, A k, P k ), k = 1,..., n associados a n experiências, e n eventos tais que A ik A k, k = 1,..., n, os sistemas de probabilidade S k, k = 1,..., n são independentes quando a medida probabilidade P da experiência combinada é P(A i1 A i2... A in ) = P 1 (A i1 )P 2 (A i2 ) P n (A in ).
Teoria da Probabilidade
Teoria da Probabilidade Luis Henrique Assumpção Lolis 14 de fevereiro de 2014 Luis Henrique Assumpção Lolis Teoria da Probabilidade 1 Conteúdo 1 O Experimento Aleatório 2 Espaço de amostras 3 Álgebra dos
Leia maisProbabilidade ESQUEMA DO CAPÍTULO. UFMG-ICEx-EST Cap. 2- Probabilidade 1
Probabilidade ESQUEMA DO CAPÍTULO 2.1 ESPAÇOS AMOSTRAIS E EVENTOS 2.2 INTERPRETAÇÕES DE PROBABILIADE 2.3 REGRAS DE ADIÇÃO 2.4 PROBABILIDADE CONDICIONAL 2.5 REGRAS DA MULTIPLICAÇÃO E DA PROBABILIDADE TOTAL
Leia maisProbabilidade. Objetivos de Aprendizagem. UFMG-ICEx-EST. Cap. 2 - Probabilidade Espaços Amostrais e Eventos. 2.1.
2 ESQUEMA DO CAPÍTULO 2.1 ESPAÇOS AMOSTRAIS E EVENTOS 2.2 INTERPRETAÇÕES E AXIOMAS DE PROBABILIADE 2.3 REGRAS DE ADIÇÃO 2.4 PROBABILIDADE CONDICIONAL 2.5 REGRAS DA MULTIPLICAÇÃO E DA PROBABILIDADE TOTAL
Leia maisProbabilidade. Probabilidade e Estatística. Prof. Dr. Narciso Gonçalves da Silva
Probabilidade e Estatística Prof. Dr. Narciso Gonçalves da Silva http://paginapessoal.utfpr.edu.br/ngsilva Probabilidade Probabilidade Experimento Aleatório Um experimento é dito aleatório quando satisfaz
Leia maisProbabilidade. É o conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório.
Probabilidade Introdução O trabalho estatístico se desenvolve a partir da observação de determinados fenômenos e emprega dados numéricos relacionados aos mesmos, para tirar conclusões que permitam conhecê-los
Leia maisProbabilidade I. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 2 08/11 1 / 25
Probabilidade I Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 2 08/11 1 / 25 Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 2 08/11 2 / 25 Para apresentar os conceitos
Leia maisMétodos Estatísticos Básicos
Aula 6 - Introdução à probabilidade Departamento de Economia Universidade Federal de Pelotas (UFPel) Maio de 2014 Experimento Experimento aleatório (E ): é um experimento que pode ser repetido indenidamente
Leia mais14/03/2014. Tratamento de Incertezas TIC Aula 1. Conteúdo Espaços Amostrais e Probabilidade. Revisão de conjuntos. Modelos Probabilísticos
Tratamento de Incertezas TIC-00.176 Aula 1 Conteúdo Espaços Amostrais e Probabilidade Professor Leandro Augusto Frata Fernandes laffernandes@ic.uff.br Material disponível em http://www.ic.uff.br/~laffernandes/teaching/2014.1/tic-00.176
Leia mais2. INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE
2. INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE 2019 Conceitos básicos Experimento aleatório ou fenômeno aleatório Situações ou acontecimentos cujos resultados não podem ser previstos com certeza. Um experimento ou fenônemo
Leia maisProbabilidades. Wagner H. Bonat Elias T. Krainski Fernando P. Mayer
Probabilidades Wagner H. Bonat Elias T. Krainski Fernando P. Mayer Universidade Federal do Paraná Departamento de Estatística Laboratório de Estatística e Geoinformação 06/03/2018 WB, EK, FM ( LEG/DEST/UFPR
Leia maisTratamento de Incertezas TIC MINTER-IFMT
Tratamento de Incertezas TIC-10.005 MINTER-IFMT Aula 1 Conteúdo Espaços Amostrais e Probabilidade Professor Leandro Augusto Frata Fernandes laffernandes@ic.uff.br Material disponível em http://www.ic.uff.br/~laffernandes/teaching/2016.2/tic-10.005
Leia mais1 Probabilidade: Axiomas e Propriedades
1 Probabilidade: Axiomas e Propriedades 1.1 Definição Frequentista Considere um experimento aleatório que consiste no lançamento de um dado honesto. O espaço amostral desse experimento é Ω = {1, 2, 3,
Leia maisEscola Superior de Agricultura "Luiz de Queiroz", Departamento de Ciências Exatas. Probabilidades. Cristian Villegas
Probabilidades Cristian Villegas clobos@usp.br Setembro de 2013 Apostila de Estatística (Cristian Villegas) 1 Introdução Escola Superior de Agricultura "Luiz de Queiroz", Departamento de Ciências Exatas
Leia maisAULA 4 -Probabilidade Condicional e Regra de Bayes
AULA 4 - e Regra de Bayes Susan Schommer Introdução à Estatística Econômica - IE/UFRJ : exemplos A soma dos resultados de dois lançamentos de um dado é 9. Qual a probabilidade do primeiro resultado ter
Leia maisUniversidade Federal de Lavras
Universidade Federal de Lavras Departamento de Estatística Prof. Daniel Furtado Ferreira 13 a Lista de Exercícios Práticos Conceitos Básicos de Probabilidade 1) Considere um experimento que consiste em
Leia mais2. INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE
2. INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE 2012 Conceitos básicos Experimento aleatório ou fenômeno aleatório Situações ou acontecimentos cujos resultados não podem ser previstos com certeza. Um experimento ou fenônemo
Leia maisNotas de Aula de Probabilidade A
I- CONCEITOS INICIAIS. 1.1- INTRODUÇÃO. PROBABILIDADE POPULAÇÃO AMOSTRA ESTATÍSTICA 1.2- CONJUNTOS. 1.2.1- DEFINIÇÃO. Conjunto é uma coleção de objetos chamados de elementos do conjunto. Em geral denota-se
Leia maisSumário. 2 Índice Remissivo 12
i Sumário 1 Definições Básicas 1 1.1 Fundamentos de Probabilidade............................. 1 1.2 Noções de Probabilidade................................ 3 1.3 Espaços Amostrais Finitos...............................
Leia maisChamamos de evento qualquer subconjunto do espaço amostral: A é um evento A Ω.
PROBABILIDADE 1.0 Conceitos Gerais No caso em que os possíveis resultados de um experimento aleatório podem ser listados (caso discreto), um modelo probabilístico pode ser entendido como a listagem desses
Leia maisProbabilidade. Ricardo Ehlers Departamento de Matemática Aplicada e Estatística Universidade de São Paulo
Probabilidade Ricardo Ehlers ehlers@icmc.usp.br Departamento de Matemática Aplicada e Estatística Universidade de São Paulo Experimento aleatório Definição. Qualquer experimento cujo resultado não pode
Leia maisProbabilidade Parte 1. Camyla Moreno
Probabilidade Parte 1 Camyla Moreno Probabilidade A teoria das probabilidades é um ramo da Matemática que cria, elabora e pesquisa modelos para estudar experimentos ou fenômenos aleatórios. Principais
Leia maisExperiências Aleatórias. Espaço de Resultados. Acontecimentos
Experiências Aleatórias. Espaço de Resultados. Acontecimentos Experiência Aleatória É uma experiência em que: não se sabe exactamente o resultado que se virá a observar; conhece-se o universo dos resultados
Leia maisTeoria Elementar dos Conjuntos
Teoria Elementar dos Conjuntos Este capítulo visa oferecer uma breve revisão sobre teoria elementar dos conjuntos. Além de conceitos básicos importantes em matemática, a sua imprtância reside no fato da
Leia maisUniversidade do Estado de Santa Catarina - UDESC Centro de Ciências Tecnológicas - CCT Licenciatura em Matemática
Universidade do Estado de Santa Catarina - UDESC Centro de Ciências Tecnológicas - CCT Licenciatura em Matemática 2014 Na teoria dos conjuntos três noções são aceitas sem denição (noção primitiva):: Conjunto;
Leia maisTeoria Elementar dos Conjuntos
Teoria Elementar dos Conjuntos Última revisão em 27 de fevereiro de 2009 Este texto é uma breve revisão sobre teoria elementar dos conjuntos. Em particular, importam-nos os aspectos algébricos no estudo
Leia maisEstatística Empresarial. Fundamentos de Probabilidade
Fundamentos de Probabilidade A probabilidade de chuva é de 90% A probabilidade de eu sair é de 5% Conceitos Básicos Conceitos Básicos 1. Experiência Aleatória (E) Processo de obtenção de uma observação
Leia maisProbabilidade. Ricardo Ehlers Departamento de Matemática Aplicada e Estatística Universidade de São Paulo
Probabilidade Ricardo Ehlers ehlers@icmc.usp.br Departamento de Matemática Aplicada e Estatística Universidade de São Paulo Introdução Experimento aleatório Definição Qualquer experimento cujo resultado
Leia maisn. 25 DIAGRAMAS DE VENN
n. 25 DIAGRAMAS DE VENN Foi o matemático inglês John Venn (1834-1923) que criou os diagramas, com o intuito de facilitar a compreensão na relação de união e intersecção entre conjuntos. John Venn desenvolveu
Leia mais2. INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE
2. INTRODUÇÃO À ROILIDDE 2014 Conceitos básicos Experimento aleatório ou fenômeno aleatório Situações ou acontecimentos cujos resultados não podem ser previstos com certeza. Um experimento ou fenônemo
Leia maisNotas de aula de MAC0329 Álgebra Booleana e Aplicações
Notas de aula de MAC0329 Álgebra Booleana e Aplicações Nina S. T. Hirata Depto. de Ciência da Computação IME / USP Este texto é uma referência-base para o curso de MAC0329 (Álgebra Booleana e Aplicações).
Leia maisTeoria das Probabilidades
Experiência aleatória Observação de uma acção cujos resultados não são conhecidos a priori (conhecendo-se no entanto quais as possibilidades) Características: Possibilidade de repetição da experiência
Leia maisAulas 10 e 11 / 18 e 20 de abril
1 Conjuntos Aulas 10 e 11 / 18 e 20 de abril Um conjunto é uma coleção de objetos. Estes objetos são chamados de elementos do conjunto. A única restrição é que em geral um mesmo elemento não pode contar
Leia maisEnrico Antonio Colosimo Depto. Estatística UFMG
Bioestatística F Conceitos de Probabilidade Enrico Antonio Colosimo Depto. Estatística UFMG http://www.est.ufmg.br/~enricoc/ Probabilidade Análise Descritiva: exploração através de gráficos e tabelas dos
Leia maisTeoria das Probabilidades
Teoria das Prof. Eduardo Bezerra (CEFET/RJ) 23 de fevereiro de 2018 Eduardo Bezerra (CEFET/RJ) Teoria das 2018.1 1 / 54 Roteiro Experimento aleatório, espaço amostral, evento 1 Experimento aleatório, espaço
Leia maisprobabilidade PE-MEEC 1S 09/10 16 Capítulo 2 - de probabilidade 2.1 Experiências aleatórias. resultados. Acontecimentos probabilidade.
Capítulo 2 - Noções básicas de probabilidade 2.1 Experiências aleatórias. Espaço de resultados. Acontecimentos 2.2 Noção de probabilidade. Interpretações de Laplace, frequencista e subjectivista. Axiomas
Leia maisUniversidade Federal do Pampa - UNIPAMPA
Universidade Federal do Pampa - UNIPAMPA Projeto: Fundamentos Matemáticos para Computação INTRODUÇÃO À MATEMÁTICA DISCRETA 2 Introdução Praticamente qualquer estudo relacionado a computação, teórico ou
Leia maisTeoria das Probabilidades
Universidade Federal do Pará Instituto de Tecnologia Estatística Aplicada I Prof. Dr. Jorge Teófilo de Barros Lopes Campus de Belém Curso de Engenharia Mecânica 08:8 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das
Leia maisMOQ-13/PO-210: Probabilidade e Estatística
Instituto Tecnológico de Aeronáutica Divisão de Engenharia Mecânica MOQ-13/PO-210: Probabilidade e Estatística Profa. Denise Beatriz Ferrari www.mec.ita.br/ denise denise@ita.br 2o. semestre/2017 SEMANA
Leia maisProbabilidade I. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba
Probabilidade I Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade Condicional 08/16 1 / 56 Introdução É provável que você ganhe um aumento....
Leia mais2 Conceitos Básicos de Probabilidade
CE003 1 1 Introdução No capítulo anterior, foram mostrados alguns conceitos relacionados à estatística descritiva. Neste capítulo apresentamos a base teórica para o desenvolvimento de técnicas estatísticas
Leia mais1 Operações com conjuntos
Notas sobre Conjuntos (2) Anjolina Grisi de Oliveira 1 Operações com conjuntos Definição 1 (União) Sejam A e B dois conjuntos arbitrários. A união dos conjuntos A e B, denotada por A B, é o conjunto que
Leia maisDefinição: É uma coleção bem definida de
EST029 Cálculo de Probabilidade I Cap. 1: Introdução à Probabilidade Prof. Clécio da Silva Ferreira Depto Estatística - UFJF Conjuntos: Definição e notação Definição: É uma coleção bem definida de objetos,
Leia maisTE802 Processos Estocásticos em Engenharia. Informação sobre a disciplina Notes. Processos Estocásticos em Engenharia Conteúdo Notes.
TE802 Processos Estocásticos em Engenharia Conceitos Básicos de Teoria de Probabilidade 7 de março de 2016 Informação sobre a disciplina Terças e Quintas feiras das 09:30 às 11:20 horas Professor: Evelio
Leia maisIBM1088 Linguagens Formais e Teoria da Computação
IBM1088 Linguagens Formais e Teoria da Computação Conceitos fundamentais sobre Teoria dos Conjuntos Evandro Eduardo Seron Ruiz evandro@usp.br Universidade de São Paulo E.E.S. Ruiz (USP) LFA 1 / 26 Frase
Leia maisTE802 Processos Estocásticos em Engenharia. Informação sobre a disciplina. TE802 Conceitos Básicos de Teoria de Probabilidade. Evelio M. G.
TE802 Processos Estocásticos em Engenharia Conceitos Básicos de Teoria de Probabilidade 23 de agosto de 2017 Informação sobre a disciplina Segundas e Quartas feiras das 09:30 às 11:20 horas Professor:
Leia mais3 NOÇÕES DE PROBABILIDADE
3 NOÇÕES DE PROILIDDE 3.1 Conjuntos Um conjunto pode ser considerado como uma coleção de objetos chamados elementos do conjunto. Em geral denota-se conjunto por letras maiúsculas,, C,... e a sua representação
Leia maisTeoria das Probabilidades
08/06/07 Universidade Federal do Pará Instituto de Tecnologia Estatística Aplicada I Prof. Dr. Jorge Teófilo de Barros Lopes Campus de Belém Curso de Engenharia Mecânica Universidade Federal do Pará Instituto
Leia maisProf. Tiago Viana Flor de Santana Sala 07
5.11 Prof. Tiago Viana Flor de Santana www.uel.br/pessoal/tiagodesantana tiagodesantana@uel.br Sala 07 Universidade Estadual de Londrina UEL Departamento de Estatística DSTA Tiago VFS (UEL/DSTA) 1 / 20
Leia mais1 Noções de Probabilidade
Noções de Probabilidade Já vimos que para se obter informações sobre alguma característica da população, podemos utilizar uma amostra. Estudaremos agora a probabilidade, que é uma ferramenta usada e necessária
Leia maisMatemática para Ciência de Computadores
Matemática para Ciência de Computadores 1 o Ano - LCC & ERSI Luís Antunes lfa@ncc.up.pt DCC-FCUP Complexidade 2002/03 1 Teoria de Conjuntos Um conjunto é uma colecção de objectos/elementos/membros. (Cantor
Leia maisProbabilidades. Ricardo Ehlers Departamento de Matemática Aplicada e Estatística Universidade de São Paulo
Probabilidades Ricardo Ehlers ehlers@icmc.usp.br Departamento de Matemática Aplicada e Estatística Universidade de São Paulo 1 / 41 Noções Básicas Os métodos estatísticos para análise de dados estão associados
Leia maisINTRODUÇÃO À PROBABILIDADE
INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE Foto extraída em http://www.alea.pt Profª Maria Eliane Universidade Estadual de Santa Cruz USO DE PROBABILIDADES EM SITUAÇÕES DO COTIDIANO Escolhas pessoais Previsão do tempo
Leia maisModelos de Probabilidade e Inferência Estatística
Modelos de Probabilidade e Inferência Estatística Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Período 2016 Sumário 1 Ementa e Bibliografia 2 3 4 Tipos de estudos Tipos de Amostragem 5 6
Leia maisIntrodução a Probabilidade
Introdução a Probabilidade Universidade Estadual de Santa Cruz Ivan Bezerra Allaman Cronograma 1. Origem e história 2. Introdução 3. Definições básicas 4. Conceituação de probabilidade 5. Probabilidade
Leia maisProf.Letícia Garcia Polac. 26 de setembro de 2017
Bioestatística Prof.Letícia Garcia Polac Universidade Federal de Uberlândia UFU-MG 26 de setembro de 2017 Sumário 1 2 Probabilidade Condicional e Independência Introdução Neste capítulo serão abordados
Leia maisCE Estatística I
CE 002 - Estatística I Agronomia - Turma B Professor Walmes Marques Zeviani Laboratório de Estatística e Geoinformação Departamento de Estatística Universidade Federal do Paraná 1º semestre de 2012 Zeviani,
Leia maisFernando de Pol Mayer. Laboratório de Estatística e Geoinformação (LEG) Departamento de Estatística (DEST) Universidade Federal do Paraná (UFPR)
Fernando de Pol Mayer Laboratório de Estatística e Geoinformação (LEG) Departamento de Estatística (DEST) Universidade Federal do Paraná (UFPR) Este conteúdo está disponível por meio da Licença Creative
Leia maisTeoria das Probabilidades
Capítulo 2 Teoria das Probabilidades 2.1 Introdução No capítulo anterior, foram mostrados alguns conceitos relacionados à estatística descritiva. Neste capítulo apresentamos a base teórica para o desenvolvimento
Leia maisConceitos básicos de teoria da probabilidade
Conceitos básicos de teoria da probabilidade Experimento Aleatório: procedimento que, ao ser repetido sob as mesmas condições, pode fornecer resultados diferentes Exemplos:. Resultado no lançamento de
Leia maisIntrodução à Estatística
Introdução à Estatística Prof a. Juliana Freitas Pires Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba - UFPB juliana@de.ufpb.br Introdução a Probabilidade Existem dois tipos de experimentos:
Leia maisPrincípios de Bioestatística Conceitos de Probabilidade
1/37 Princípios de Bioestatística Conceitos de Probabilidade Enrico A. Colosimo/UFMG http://www.est.ufmg.br/ enricoc/ Depto. Estatística - ICEx - UFMG 2/37 Tipos de Fenômenos 1. Aleatório: Situação ou
Leia maisDepartamento de Matemática Instituto Superior Técnico
Capítulo 2 Conceição Amado Departamento de Matemática Instituto Superior Técnico Capítulo 2 - Noções básicas de probabilidade 2 2.1 Experiências aleatórias. Espaço de resultados. Acontecimentos.....................
Leia maisProbabilidade I. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade I 07/16 1 / 23
I Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Probabilidade I 07/16 1 / 23 Probabilidade As definições de probabilidade apresentadas anteriormente podem
Leia maisCap. 4 - Probabilidade
Estatística para Cursos de Engenharia e Informática Pedro Alberto Barbetta / Marcelo Menezes Reis / Antonio Cezar Bornia São Paulo: Atlas, 2004 Cap. 4 - Probabilidade APOIO: Fundação de Apoio à Pesquisa
Leia maisProbabilidade IV. Ulisses U. dos Anjos. Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba. Período
Probabilidade IV Ulisses U. dos Anjos Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Período 2014.2 Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade IV Período 2014.2 1 / 20 Sumário 1 Apresentação
Leia maisTeoria das probabilidades
Teoria das probabilidades Prof. Dr. Lucas Santana da Cunha email: lscunha@uel.br http://www.uel.br/pessoal/lscunha/ 25 de abril de 2018 Londrina 1 / 22 Conceitos probabiĺısticos são necessários para se
Leia maisTeoria das Probabilidades
Teoria das Probabilidades Lucas Santana da Cunha lscunha@uel.br http://www.uel.br/pessoal/lscunha/ Universidade Estadual de Londrina 09 de maio de 2018 Londrina 1 / 21 Conceitos probabiĺısticos são necessários
Leia maisMDI0001 Matemática Discreta Aula 04 Álgebra de Conjuntos
MDI0001 Matemática Discreta Aula 04 Álgebra de Conjuntos Karina Girardi Roggia karina.roggia@udesc.br Departamento de Ciência da Computação Centro de Ciências Tecnológicas Universidade do Estado de Santa
Leia maisJá falamos que, na Matemática, tudo se baseia em axiomas. Já estudamos os números inteiros partindo dos seus axiomas.
Teoria dos Conjuntos Já falamos que, na Matemática, tudo se baseia em axiomas. Já estudamos os números inteiros partindo dos seus axiomas. Porém, não é nosso objetivo ver uma teoria axiomática dos conjuntos.
Leia maisEisencraft e Loiola 2.1 Probabilidade 37. Para resolver problemas de probabilidades são necessários 3 passos:
Eisencraft e Loiola 2.1 Probabilidade 37 Modelo matemático de experimentos Para resolver problemas de probabilidades são necessários 3 passos: a Estabelecimento do espaço das amostras b Definição dos eventos
Leia maisProcessos Estocásticos. Luiz Affonso Guedes
Processos Estocásticos Luiz Affonso Guedes Sumário Probabilidade Variáveis Aleatórias Funções de Uma Variável Aleatória Funções de Várias Variáveis Aleatórias Momentos e Estatística Condicional Teorema
Leia maisPode ser a observação de um fenômeno natural:
MAE 116 Introdução à Probabilidade FEA -2º Semestre de 2017 1 Experimento Designaremos por Experimento todo processo que nos fornece dados: Pode ser a observação de um fenômeno natural: 4observação astronômica
Leia maisProbabilidade. Professora Ana Hermínia Andrade. Universidade Federal do Amazonas Faculdade de Estudos Sociais Departamento de Economia e Análise
Probabilidade Professora Ana Hermínia Andrade Universidade Federal do Amazonas Faculdade de Estudos Sociais Departamento de Economia e Análise Período 2016.2 Você reconhece algum desses experimentos? Alguns
Leia maisMétodos Quantitativos para Ciência da Computação Experimental. Jussara Almeida DCC-UFMG 2013
Métodos Quantitativos para Ciência da Computação Experimental Jussara Almeida DCC-UFMG 2013 Revisão de Probabilidade e Estatística Concentrado em estatística aplicada Estatística apropriada para medições
Leia maisFundamentos de Álgebra Moderna Profª Ana Paula CONJUNTOS
Fundamentos de Álgebra Moderna Profª Ana Paula CONJUNTOS O conjunto é um conceito fundamental em todos os ramos da matemática. Intuitivamente, um conjunto é uma lista, coleção ou classe de objetods bem
Leia maisPROBABILIDADE. Há várias definições para probabilidade. As três mais utilizadas são: Clássica, Frequentista e Axiomática
2 PROBABILIDADE Há várias definições para probabilidade. As três mais utilizadas são: Clássica, Frequentista e Axiomática Definição 2.1 (Clássica): Seja A um evento e Ω o espaço amostral finito, então
Leia maisConteúdo: Operações Conjuntos Crisp Operações Conjuntos fuzzy. Operadores de Zadeh Operadores Compensatórios Operadores T-norm e T-conorm
Conteúdo: Operações Conjuntos Crisp Operações Conjuntos fuzzy Operadores de Zadeh Operadores Compensatórios Operadores T-norm e T-conorm Operações com Conjuntos Crisp Função característica: determina se
Leia maisMATEMÁTICA AULA 4 ÁLGEBRA CONJUNTOS. Conjunto é um conceito primitivo, e portanto, não tem definição.
1 - Conceito de Conjunto MATEMÁTICA AULA 4 ÁLGEBRA CONJUNTOS Conjunto é um conceito primitivo, e portanto, não tem definição. Representação O conjunto pode ser representado de três maneiras diferentes:
Leia maisEstatística e Modelos Probabilísticos - COE241
Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241 Aulas passadas Espaço Amostral Álgebra de Eventos Axiomas de Probabilidade Análise Aula de hoje Probabilidade Condicional Independência de Eventos Teorema
Leia maisNOTAS DA AULA REVISÃO SOBRE FUNDAMENTOS DE PROBABILIDADE. Prof.: Idemauro Antonio Rodrigues de Lara
1 NOTAS DA AULA REVISÃO SOBRE FUNDAMENTOS DE PROBABILIDADE Prof.: Idemauro Antonio Rodrigues de Lara 2 Experimentos aleatórios Definição 1. Experimentos aleatórios são experimentos que quando executados
Leia maisINTRODUÇÃO À PROBABILIDADE
INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE Análise e Elaboração de Projetos Apresentação Prof Dr Isnard Martins Conteúdo: Profº Dr Carlos Alberto (Caio) Dantas Profº Dr Luiz Renato G. Fontes Prof Dr Victor Hugo Lachos
Leia maisEMC 5223 Estatística e Metrologia para Engenharia Prof. Armando Albertazzi G. Jr. Tópicos
Probabilidade EMC 5 Prof. rmando lbertazzi G. Jr. Tópicos Experimento, espaço amostral e evento Diagrama de Venn Contagem: permutações e combinações Probabilidade: conceito, axiomas e teoremas elementares
Leia maisUNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA. Medida e Probabilidade
UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA Medida e Probabilidade Aluno: Daniel Cassimiro Carneiro da Cunha Professor: Andre Toom 1 Resumo Este trabalho contem um resumo dos principais
Leia mais2. INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE
2. INTRODUÇÃO À PROILIDDE 2011 Conceitos básicos Experimento aleatório ou fenômeno aleatório Situações ou acontecimentos cujos resultados não podem ser previstos com certeza. Um experimento ou fenônemo
Leia maisConjuntos e Funções. Ivan Eugênio da Cunha
Conjuntos e Funções Ivan Eugênio da Cunha 18/07/2011 1 Conteúdo Capítulo I Conjuntos e Relações... 5 1 Noções Elementares Sobre Conjuntos... 5 1.1 Conjunto e elemento... 5 1.2 Pertinência... 5 1.3 Representação...
Leia maisNOÇÕES DE PROBABILIDADE
NOÇÕES DE PROBABILIDADE ALEATORIEDADE Menino ou Menina me? CARA OU COROA? 3 Qual será o rendimento da Caderneta de Poupança no final deste ano? E qual será a taxa de inflação acumulada em 014? Quem será
Leia maisMatemática Discreta - 07
Universidade Federal do Vale do São Francisco Curso de Engenharia da Computação Matemática Discreta - 07 Prof. Jorge Cavalcanti jorge.cavalcanti@univasf.edu.br www.univasf.edu.br/~jorge.cavalcanti www.twitter.com/jorgecav
Leia maisTeoria de Conjuntos. Matemática Discreta I. Rodrigo Ribeiro. 6 de janeiro de 2013
Teoria de Conjuntos Matemática Discreta I Rodrigo Ribeiro Departamento de Ciências Exatas e Aplicadas Universidade de Federal de Ouro Preto 6 de janeiro de 2013 Motivação (I) Porque estudar Teoria de Conjuntos?
Leia maisT o e r o ia a da P oba ba i b lida d de
Teoria da Probabilidade Prof. Joni Fusinato Teoria da Probabilidade Consiste em utilizar a intuição humana para estudar os fenômenos do nosso cotidiano. Usa o princípio básico do aprendizado humano que
Leia maisAplicações da teoria de conjuntos álgebra booleana. Pontifícia Universidade Católica de Goiás Msc. Gustavo Siqueira Vinhal 2016/1
Aplicações da teoria de conjuntos álgebra booleana Pontifícia Universidade Católica de Goiás Msc. Gustavo Siqueira Vinhal 2016/1 CONJUNTOS Conjuntos são fundamentais para formalização de qualquer teoria.
Leia maisProbabilidades. Palavras como
Probabilidades Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia de Viseu Engenharia e Gestão Industrial 1 Introdução Palavras como provável probabilidade acaso sorte pertencem ao vocabulário corrente
Leia maisTÓPICO. Fundamentos da Matemática II INTRODUÇÃO ÀS PROBABILIDADES14. Licenciatura em Ciências USP/ Univesp. Vanderlei S. Bagnato
INTRODUÇÃO ÀS PROBABILIDADES14 TÓPICO Vanderlei S. Bagnato Fundamentos da Matemática II 14.1 Introdução 14.2 Definição de Probabilidade 14.3 Adição de probabilidade 14.4 Multiplicação de Probabilidades
Leia maisMétodos Quantitativos para Ciência da Computação Experimental. Jussara Almeida DCC-UFMG 2016
Métodos Quantitativos para Ciência da Computação Experimental Jussara Almeida DCC-UFMG 2016 Revisão de Probabilidade e Estatística Concentrado em estatística aplicada Estatística apropriada para medições
Leia maisBIOESTATÍSTICA AULA 3. Anderson Castro Soares de Oliveira Jose Nilton da Cruz. Departamento de Estatística/ICET/UFMT
BIOESTATÍSTICA AULA 3 Anderson Castro Soares de Oliveira Jose Nilton da Cruz Departamento de Estatística/ICET/UFMT Probabilidade PROBABILIDADE Probabilidade é o ramo da matemática que estuda fenômenos
Leia maisBIOESTATÍSTICA. Parte 2 - Probabilidade
BIOESTATÍSTICA Parte 2 - Probabilidade Aulas Teóricas de 15/02/2011 a 24/03/2011 2.1. Experiência de Resultados. Espaço Amostra. Acontecimentos Frequentemente somos confrontados com situações em que está
Leia maisReviso de Teoria da Medida e Elementos Bsicos de Probabilidade
Reviso de Teoria da Medida e Elementos Bsicos de Probabilidade Roberto Imbuzeiro Oliveira 9 de Março de 2009 Resumo Esta lista cobre o básico do básico sobre espaços e distribuições de probabilidade. Pouco
Leia maisConceitos de Probabilidade
1/1 Introdução à Bioestatística Conceitos de Probabilidade Enrico A. Colosimo/UFMG http://www.est.ufmg.br/ enricoc/ Depto. Estatística - ICEx - UFMG 2/1 Tipos de Fenômenos 1. Aleatório: Situação ou acontecimentos
Leia maisProbabilidade Condicional e Independência
Instituto Tecnológico de Aeronáutica Divisão de Engenharia Mecânica-Aeronáutica MOQ-13 Probabilidade e Estatística Profa. Denise Beatriz Ferrari www.mec.ita.br/ denise denise@ita.br 17/08/2011 Probabilidade
Leia maisREGRAS DE PROBABILIDADE
REGRAS DE PROBABILIDADE Lucas Santana da Cunha lscunha@uel.br http://www.uel.br/pessoal/lscunha/ Universidade Estadual de Londrina 24 de maio de 2017 Propriedades As probabilidades sempre se referem a
Leia mais