MOQ-13/PO-210: Probabilidade e Estatística

Transcrição

1 Instituto Tecnológico de Aeronáutica Divisão de Engenharia Mecânica MOQ-13/PO-210: Probabilidade e Estatística Profa. Denise Beatriz Ferrari denise [email protected] 2o. semestre/2017

2 SEMANA 02: Roteiro Introdução à Teoria de Probabilidades: Definições iniciais Interpretações de probabilidade Definição axiomática Cálculo de probabilidades por simulação

3 Introdução à Teoria de Probabilidades

4 Probabilidade Estatística Probabilidade (Processo Dedutivo) Conclusões a respeito de características de uma amostra da população são alcançadas com base em atributos conhecidos da população. Estatística (Processo Indutivo) Conclusões a respeito de características da população são alcançadas com base em atributos observados em uma amostra da população. Probabilidade POPULAÇÃO AMOSTRA Estatística 4 / 33

5 Objetivos do Estudo de Teoria de Probabilidades Um modelo probabilístico consiste em uma descrição matemática de uma situação de incerteza. 5 / 33

6 Objetivos do Estudo de Teoria de Probabilidades Um modelo probabilístico consiste em uma descrição matemática de uma situação de incerteza. Queremos: investigar e descobrir padrões regulares em eventos aleatórios descrever incerteza em termos de modelos probabilísticos Para isso, precisamos... 5 / 33

7 Objetivos do Estudo de Teoria de Probabilidades Um modelo probabilístico consiste em uma descrição matemática de uma situação de incerteza. Queremos: investigar e descobrir padrões regulares em eventos aleatórios descrever incerteza em termos de modelos probabilísticos Para isso, precisamos descrever a estrutura geral de tais modelos e suas propriedades. 5 / 33

8 Definições Iniciais Principais ingredientes Lei de Probabilidade Evento B Experimento Aleatório (E) Evento A P (A) P (B) Espaço Amostral (Ω) A B Eventos 6 / 33

9 Definições Iniciais Experimento Aleatório (E) Processo que pode (pelo menos conceitualmente) ser repetido indefinidamente sob condições idênticas. Sempre é possível obter um resultado que pertence a um conjunto fixo e conhecido de possibilidades. É chamado aleatório pois o resultado a ser obtido é desconhecido e imprevisível. Espaço Amostral (Ω) É o conjunto de todos os resultados possíveis em um experimento aleatório. Por causa da definição de espaço amostral em termos de conjuntos, será necessário revisar álgebra de conjuntos (para casa). 7 / 33

10 Definições Iniciais Exemplos (1) Exemplo 1: Experimento Aleatório: E 1 = lançar um dado Possíveis resultados: 1, 2,..., 6 Espaço amostral: {1, 2, 3, 4, 5, 6} 8 / 33

11 Definições Iniciais Exemplos (1) Exemplo 1: Experimento Aleatório: E 1 = lançar um dado Possíveis resultados: 1, 2,..., 6 Espaço amostral: {1, 2, 3, 4, 5, 6} Exemplo 2: Experimento Aleatório: E 2 = são observadas as pessoas que chegam a um banco no período de 1h. O tempo de espera de cada cliente até o atendimento é registrado. Possíveis resultados: um possível resultado é uma sequência de números que representam os minutos de espera de cada indivíduo. Espaço amostral: R + Este experimento pode ser repetido indefinidamente sob as mesmas condições. Por exemplo, pode ser realizado todos os dias de uma mesma semana, mês, num determinado horário estabelecido. 8 / 33

12 Definições Iniciais Evento (A Ω) É qualquer subconjunto (conjunto de resultados) do Espaço Amostral. Um evento (A) é especificado por um conjunto de resultados de um experimento aleatório (E) que satisfaz determinadas condições. evento impossível evento complementar evento união eventos mutuamente exclusivos evento interseção partição do espaço amostral Lei de probabilidade (P[A]) Atribui a um determinado evento A um número não negativo que codifica nossa crença na propensão para a ocorrência de A. 9 / 33

13 Definições Iniciais Exemplos (2) Exemplo 1 (cont.): E 1 = lançar o dado Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Eventos: A 1 = resultado é par = {2, 4, 6} A 2 = resultado > 4 = {5, 6} 10 / 33

14 Definições Iniciais Exemplos (2) Exemplo 1 (cont.): E 1 = lançar o dado Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Eventos: A 1 = resultado é par = {2, 4, 6} A 2 = resultado > 4 = {5, 6} Exemplo 2 (cont.): E 2 = são observadas as pessoas que chegam a um banco no período de 1h. O tempo de espera de cada cliente até o atendimento é registrado. Eventos: B 1 = tempo de espera < 10 min B 2 = tempo de espera = 5 min 10 / 33

15 Definições Iniciais Terminologia A formulação da Teoria de Probabilidades moderna baseia-se em conceitos fundamentais de Teoria de Conjuntos: Teoria de Conjuntos Teoria de Probabilidades Exemplo Experimento Aleatório E = Lançar um dado e observar resultado Conjunto universo Espaço amostral (Ω) Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Elemento Resultado; observação {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6} Subconjunto Evento (A) A = {2, 4, 6}, B = {2, 3, 5} Conjunto vazio Evento nulo ( ) resultado maior que 6 Conjuntos disjuntos Eventos mutuamente exclusivos {1}, {2} União (A B) OU A B = {2, 3, 4, 5, 6} Interseção (A B) E A B = {2} Complemento (A, A C ) Evento complementar A C = {1, 3, 5} Diferença (A B) Diferença A B = {4, 6} 11 / 33

16 Interpretações de Probabilidade

17 Teoria de Probabilidades Origens França: 1654 Troca de correspondências entre Blaise Pascal e Pierre Fermat: Necessidade de determinar a probabilidade de certos resultados em jogos de azar. (enumeração combinatorial das possibilidades) Problema/Erro do Cavaleiro de Méré (Antoine Gombaud, ): A probabilidade de obter pelo menos um 6 em 4 lançamentos seguidos de um dado é a mesma de obter pelo menos um 6 duplo em 24 lançamentos de um par de dados. Blaise Pascal ( ) Pierre de Fermat ( ) Fonte: Encyclopaedia Britannica Monsieur le Chevalier de Méré is very bright, but he is not a mathematician, and that, as you know, is a very serious defect. (Pascal a Fermat) 13 / 33

18 Probabilidade medida de incerteza Precisamos definir a medida de incerteza que será utilizada para a análise de um determinado experimento aleatório. É importante uma escolha cuidadosa, pois tudo que a teoria matemática de probabilidades faz é calcular valores com base na medida definida. Várias interpretações do conceito de probabilidade tomam por base uma medida de probabilidade; veremos alguma a seguir. 14 / 33

19 Interpretações de Probabilidade Definição Clássica (a Priori) Laplace, 1812 P N (A) = n A N, onde: n A : N : número de resultados favoráveis número de resultados possíveis igualmente prováveis mutuamente exclusivos e coletivamente exaustivos 15 / 33

20 Interpretações de Probabilidade Definição Clássica (a Priori) Laplace, 1812 Premissas: Número N finito de resultados possíveis Hipótese de equiprobabilidade de resultados Princípio da indiferença N possibilidades não distinguíveis a não ser por seus nomes Deficiências: 16 / 33

21 Interpretações de Probabilidade Definição Clássica (a Priori) Laplace, 1812 Premissas: Número N finito de resultados possíveis Hipótese de equiprobabilidade de resultados Princípio da indiferença N possibilidades não distinguíveis a não ser por seus nomes Deficiências: Não faz sentido para N infinito Conceito de equiprobabilidade de resultados baseado no conceito de probabilidade que queremos definir Não é capaz de definir a probabilidade de eventos supostamente não equiprováveis 16 / 33

22 Interpretações de Probabilidade Definição Empírica ou de Frequência Relativa (a Posteriori) Richard V. Mises, 1936 n A : número de ocorrências do evento A P N (A) = N : número de repetições do experimento aleatório Premissas: n(a) lim N N Número suficientemente grande de repetições do experimento aleatório Condições uniformes para realização do experimento Princípio da Regularidade Estatística Deficiências: Definição de um número suficientemente grande Não é capaz de definir a probabilidade de eventos que não podem ser repetidos 17 / 33

23 Interpretações de Probabilidade Conceito Subjetivo Premissas: Não necessita da hipótese de repetição do experimento Probabilidade assinalada a um determinado é baseada nas experiências pessoais e informação individual sobre o processo Não há aferição do resultado Pode ser matematicamente formalizado sob determinadas condições de consistência Deficiências: Humanos são seres inconsistentes e contraditórios Não permite chegar a resultados únicos Uso limitado em aplicações científicas e de Engenharia 18 / 33

24 Definição Axiomática Função Probabilidade Álgebra de Eventos (A): Uma coleção de eventos é A quando são satisfeitas as seguintes condições: 1. Ω A 2. Se A A = A C A 3. Se A A e B A = A B A Função Probabilidade: (Kolmogorov, 1933) P : A R 1. Se A A = P[A] 0 2. P[Ω] = 1 3. A 1, A 2,..., eventos tais que A i i j A j = = P [ i=1 A i] = P[A i ] i=1 19 / 33

25 Definição Axiomática Função Probabilidade Definição matemática Estabelece conjunto de funções de probabilidade Não determina valor de P para um determinado evento conhecido A 20 / 33

26 Propriedades da Função Probabilidade (Consequências da definição axiomática) 1. P[ ] = 0 2. P [ n i=1 A i] = n i=1 P[A i] (se A 1, A 2,..., A n forem mutuamente exclusivos) 3. P[A] + P[A C ] = P[A] 1 5. P[A B] = P[A] + P[B] P[A B] (Regra da Adição) outras propriedades demonstração através dos axiomas 21 / 33

27 Cálculo de Probabilidades por Simulação

28 Revisitando o Problema do Cavaleiro de Méré Cavaleiro de Méré (Antoine Gombaud, ) Foi um escritor conhecido e figura importante na corte do rei Luis XIV, além de um aficcionado por jogos de azar. Em 1654, o Cavaleiro de Méré escreveu uma carta ao famoso matemático francês Blaise Pascal, pedindo ajuda na solução de problemas que tinha encontrado em sua experiência com jogos de azar. 23 / 33

29 Revisitando o Problema do Cavaleiro de Méré (cont. 1) O Cavaleiro costumava apostar que obteria pelo menos um 6 em quatro lançamentos seguidos de um dado. Utilizando esta estratégia, ganhava a aposta consistentemente e, a fim de incluir mais jogadores, modificou o jogo, passando a apostar que em 24 lançamentos de um par de dados, obteria pelo menos um duplo 6. A nova estratégia não funcionava na prática e o Cavaleiro passou a ter enormes prejuízos! Jogo de cartas em Versailles, 1694 Fonte: Wikimedia Commons, Court Cards 1694 Ele tinha a impressão que 25 (não 24) lançamentos seriam necessários para que o novo jogo lhe fosse favorável, mas não conseguia identificar o erro em sua solução matemática / 33

30 Revisitando o Problema do Cavaleiro de Méré (cont. 2) Solução (errada) do problema proposta pelo Cavaleiro de Méré: Ao lançar um dado, temos 1/6 de chance de obter um 6. Como 3 1/6 = 50% e 4 1/6 = 67%, preciso jogar o dado 4 vezes para tornar o jogo favorável. Quando jogamos um par de dados, temos 36 possibilidades, ou seja, 6 vezes mais possibilidades, comparado ao jogo anterior. Portanto, é necessário jogar o par de dados 6 4 = 24 vezes para ter chance maior que 50% de obter pelo menos um duplo / 33

31 Revisitando o Problema do Cavaleiro de Méré (cont. 3) Solução pela Definição Clássica EXPERIMENTO 1 Jogue um dado honesto 4 vezes. Qual a probabilidade de obter pelo menos um 6? Determinação do espaço amostral: Ω 1 = {A0, A1, A2, A3, A4, A5, A6} em que: A0 = conjunto dos resultados em que nenhum 6 ocorre: = {(1, 1, 1, 1), (1, 2, 1, 1), (1, 1, 2, 1), (1, 1, 1, 2), (1, 3, 1, 1),..., (5, 5, 5, 5)} A1 = conjunto dos resultados em que ocorre um unico 6 : = {(6, 1, 1, 1), (1, 6, 1, 1), (1, 1, 6, 1), (1, 1, 1, 6), (6, 2, 1, 1),..., (5, 5, 5, 6)} A2 = conjunto dos resultados em que ocorrem dois 6 A3 = conjunto dos resultados em que ocorrem três 6 A4 = conjunto dos resultados em que ocorrem quatro 6 = {(6, 6, 6, 6)} Note que os eventos A0, A1, A2, A3, A4 que compõem o espaço amostral não são equiprováveis. Precisamos definir um espaço amostral com resultados equiprováveis a fim de utilizar a definição clássica de probabilidade. 26 / 33

32 Revisitando o Problema do Cavaleiro de Méré (cont. 4) Solução pela Definição Clássica Portanto, Ω 1 = {(1, 1, 1, 1), (1, 2, 1, 1), (1, 1, 2, 1), (1, 1, 1, 2), (1, 3, 1, 1),..., (5, 5, 5, 5), (6, 1, 1, 1), (1, 6, 1, 1), (1, 1, 6, 1), (1, 1, 1, 6), (6, 2, 1, 1),..., (5, 5, 5, 6), (6, 6, 1, 1), (6, 1, 6, 1), (6, 1, 1, 6), (1, 6, 6, 1), (1, 6, 1, 6),..., (5, 5, 6, 6), (1, 6, 6, 6), (6, 1, 6, 6), (6, 6, 1, 6), (6, 6, 6, 1),..., (6, 6, 6, 5), (6, 6, 6, 6)} Pela definição clássica de probabilidades: PC.1 = n.favoráveis/n.possíveis O número de resultados possíveis é dado por (tamanho do espaço amostral): n.possíveis = N[Ω 1 ]= 6 x 6 x 6 x 6 = / 33

33 Revisitando o Problema do Cavaleiro de Méré (cont. 5) Solução pela Definição Clássica Os resultados favoráveis são obtidos pela união dos eventos A1, A2, A3, A4: Af.1 = A1 U A2 U A3 U A4 O número de resultados favoráveis é dado, então, pelo tamanho de Af.1, que pode ser mais facilmente calculado utilizando-se a definição de evento complementar: Portanto: n.favoraveis = N[Af.1] = N[Ω 1 ] - N[A0] = 64 - (5 x 5 x 5 X 5) = PC.1 = 1 - (5/6) 4 = / 33

34 Revisitando o Problema do Cavaleiro de Méré (cont. 6) Solução pela Definição Clássica EXPERIMENTO 2 Jogue dois dados honestos 24 vezes. Qual a probabilidade de obter pelo menos um duplo 6? Determinação do espaço amostral: Ω 2 = {B0, B1, B2, B3, B4, B5, B6,..., B24} em que: Bi = conjunto dos resultados em que i duplos 6 ocorrem Pela definição clássica de probabilidades: PC.2 = n.favoráveis/n.possíveis O número de resultados possíveis é dado por (tamanho do espaço amostral): n.possíveis = N[Ω 2 ]= (6 6) 24 = / 33

35 Revisitando o Problema do Cavaleiro de Méré (cont. 7) Solução pela Definição Clássica O número de resultados favoráveis pode ser facilmente calculado utilizando-se a definição de evento complementar: n.favoraveis = N[Ω 2 ] - N[B0] Em cada lançamento do par de dados, são possíveis 36 resultados, em que apenas um resultado corresponde a um duplo 6. O evento B0, em que nenhum duplo 6 é obtido em 24 lançamentos pode ser observado de N[B0] maneiras: Então: Portanto: N[B0] = [(6x6) 1] 24 = n.favoráveis = PC.2 = 1 - (35/36) 24 = / 33

36 Revisitando o Problema do Cavaleiro de Méré (cont. 8) Solução pela Definição Empírica (Frequência Relativa) A princípio, precisaríamos repetir cada um dos experimentos um grande número de vezes e observar a frequência em que se observam os resultados favoráveis / 33

37 Revisitando o Problema do Cavaleiro de Méré (cont. 8) Solução pela Definição Empírica (Frequência Relativa) A princípio, precisaríamos repetir cada um dos experimentos um grande número de vezes e observar a frequência em que se observam os resultados favoráveis não entrem em pânico / 33

38 KEEP CALM AND USE R

39 OBRIGADA Denise B. Ferrari 2017