Princípios de Estatística

Transcrição

1 Instituto Tecnológico de Aeronáutica Divisão de Engenharia Mecânica-Aeronáutica MOQ-13 Probabilidade e Estatística Profa. Denise Beatriz Ferrari denise [email protected] 05/10/2011

2 Probabilidade Estatística Probabilidade Distribuições de probabilidades (conhecidas) utilizadas para calcular probabilidades de eventos POPULAÇÃO AMOSTRA Estatística Dados coletados utilizados para estimar probabilidades, tomar decisões, fazer previsões População: totalidade das observações sobre as quais temos interesse. Finita: altura dos alunos do ITA tamanho dos peixes no lago do CTA Infinita: temperatura em SJC medida a partir de hoje profundidade do lago medida em todos os locais possíveis Às vezes, populações finitas podem ser consideradas infinitas (N ). Exemplo: População de todos os tempos de duração de um determinado tipo de bateria automotiva produzida no país.

3 População: Seja X uma v.a. tal que X f X (x). Cada observação na população corresponde a um valor x assumido por X. Diz-se: População f X (x): X f X (x) População binomial: X Bin(n,p) População normal: X N(µ, σ)... Os parâmetros que definem as populações (f.d.p.) são desconhecidos, a menos que se observe toda a população!... normalmente inviável... População: Seja X uma v.a. tal que X f X (x). Cada observação na população corresponde a um valor x assumido por X. Diz-se: População f X (x): X f X (x) População binomial: X Bin(n,p) População normal: X N(µ, σ)... Os parâmetros que definem as populações (f.d.p.) são desconhecidos, a menos que se observe toda a população!... normalmente impossível ou inviável...

4 Queremos chegar a uma determinada conclusão (inferência) a respeito de uma população quando é impossível ou inviável observar todos os indivíduos da população. Amostra: Consiste em um subconjunto da população. Inferências válidas são construídas apenas a partir de uma amostra representativa: Observações realizadas de forma aleatória e independentemente. Amostra: Queremos uma amostra de tamanho n a partir de uma população f X (x). Seja a v.a. X i = i-ésima observação desta população, para i = 1,..., n. Temos: X 1, X 2,... X n : a.a. de f X (x) x 1, x 2,... x n : valores observados X 1, X 2,..., X n são i.i.d. f X (x) e f(x 1,..., x n ) = f X (x 1 )... f X (x n ) é f.d.p. conjunta

5 Suponha que queremos chegar a uma conclusão a respeito da proporção p da população brasileira que tem acesso à internet em casa. Impossível entrevistar todas as pessoas para calcular o parâmetro p! Coletamos uma a.a. X 1, X 2,..., X n A partir da amostra calculamos a quantidade ˆp = proporção na amostra ˆp é então utilizada para inferência da proporção verdadeira p ˆp = g(x 1, x 2,..., x n ) valor de uma v.a. P varia de amostra a amostra chamada estatística: qualquer função de v.a. s que formam uma a.a. Estatísticas Importantes Média Amostral: X Seja X 1, X 2,..., X n uma a.a. de tamanho n. A média amostral é definida pela estatística (também uma v.a.): X n = 1 n n X i Para uma determinada a.a. X 1 = x 1, X 2 = x 2,..., X n = x n, temos: n x n = 1 n x i

6 Estatísticas Importantes Variância Amostral: S 2 Seja X 1, X 2,..., X n uma a.a. de tamanho n. A variância amostral é definida pela estatística (também uma v.a.): (Demonstração) S 2 n = 1 n 1 = n (X i X ) 2 1 n(n 1) n n X 2 i ( n ) 2 X i Para uma determinada a.a. X 1 = x 1, X 2 = x 2,..., X n = x n, temos: sn 2 = 1 n (x i x) 2 n 1 Exemplo 1. Considere as seguintes medidas (em litros) de duas amostras de caixas de suco de laranja produzidas pelas companhias A e B: A 0,97 1,00 0,94 1,03 1,06 B 1,06 1,01 0,88 0,91 1,14 As propagandas veiculadas pelas compahinas afirmam que cada caixa contém 1L de suco. Ao comprar uma caixa de suco produzida por cada uma das marcas, qual caixa selecionada parecerá ser mais fiel à propaganda? Justifique.

7 Estatística organizar resumir descrever Descritiva Matemática (Inferência) organizar resumir descrever Natureza dos Dados Paramétrica Não-Paramétrica Qualitativa Quantitativa Natureza dos Dados Qualitativa Quantitativa Parâmetro Parâmetro Proporção Média Variância Modelo de Relação Estimação Interv. Conf. Testes Hipót. Análise Categ. (Tab. Conting.) Estimação Interv. Conf. Testes Hipót. ANOVA Ctrl. Qualidade Estimação Interv. Conf. Testes Hipót. Ctrl. Qualidade Análise Regressão Simples/Múltipla Constr. Modelos