EMC 5223 Estatística e Metrologia para Engenharia Prof. Armando Albertazzi G. Jr. Tópicos

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1 Probabilidade EMC 5 Prof. rmando lbertazzi G. Jr. Tópicos Experimento, espaço amostral e evento Diagrama de Venn Contagem: permutações e combinações Probabilidade: conceito, axiomas e teoremas elementares Regras de adição Probabilidade condicional Regra da multiplicação Independência Teorema de ayes 1

2 Experimento amostras 10 N 190 N 040 N 00 N Resultados variam de forma aleatória. Repetições do mesmo experimento em condições idênticas. Espaço mostral Conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento Exemplos: {a, e, i, o, u} {000 N X 00 N} Pode ser finito ou infinito Pode ser contínuo ou discreto (finito ou infinito contável) É denotado por

3 Evento ubconjunto do espaço amostral exemplos em relação ao espaço amostral = { 1,,, 4, 5} C = {, } D = { 1,, 4 } E= { 1, 5 } união: C È D = { 1,,, 4} interseção: C Ç D = { } complemento: D = {, 5 } C e E são eventos mutuamente excludentes: C Ç E = Æ Diagramas de Venn È Ç ( È ) = Ç

4 Contagem Qual número de combinações de um algarismo, uma letra do nosso alfabeto e uma letra grega (nesta ordem) dos conjuntos: 1 a b n 1 = n = n = 1a 1b 1a 1b... N = * * = 1 Teorema: e os conjuntos 1,,..., k contém respectivamente n 1, n,..., n k elementos, logo há n 1 *n *... *n k maneiras de escolher um elemento de 1, depois outro de,..., e finalmente um elemento de k. Permutações Exemplo: número de possíveis permutações do sorteio dos ganhadores dos primeiros prêmios de uma rifa onde concorreram 6 pessoas: n 1 = 6 n = 5 n = 4 n = 6*5*4 = 10 4

5 Permutações Em geral se r objetos são selecionados de um conjunto de n objetos distintos, cada combinação ou ordem destes objetos é denominada de permutação. O número de permutações é calculado por: n n n P = n( n-1)( n-)...( n-r+ 1) r n( n-1)( n-)...( n-r+ 1)( n-r)! Pr = ( n-r)! n! Pr = ( n-r)! No caso particular em que n = r n P n = n! Combinações Número de maneiras diferentes em que r elementos podem ser selecionados de um conjunto de n elementos sem levar em conta a ordem ænö n! = ç = èrø r!( n r)! n C r - Exemplo: número de diferentes vitaminas de frutas que podem ser feitas combinado duas frutas de um conjunto de 8 diferentes variedades: æ8ö 8! 8.7.6! 56 ç = = = = 8 èø!(8- )!.6! 5

6 Conceito clássico: Probabilidade e existem n possibilidades com as mesmas chances das quais uma deve ocorrer e f destas são classificadas como favoráveis (ou sucesso), então a probabilidade de sucesso é dada por f/n Exemplo: probabilidade de obter um número par ao se jogar um dado honesto: Espaço amostral: {1,,, 4, 5, 6} n = 6 Eventos favoráveis: {, 4, 6} f = Probabilidade = f/n = /6 = 0,5 = 50% Probabilidade Interpretação baseada na freqüência probabilidade de um evento ocorrer é a proporção de vezes que este evento ocorreria em uma grande quantidade de experimentos repetidos 6

7 lgumas definições ligadas à probabilidade Um espaço amostral é discreto se consistir em um conjunto finito ou infinito contável de resultados. Quando um espaço amostral consistir de n resultados possíveis que sejam igaulmente prováveis, a probabilidade de cada resultado é 1/n. Para um espaço amostral discreto, a probabilidade de um evento E, denotada por P(E), é igual a soma das probabilidades dos resultados de E. xiomas da probabilidade Dado um espaço amostral finito e seja um evento de ax 1: 0 P() 1 ax : P() = 1 ax : e e são eventos mutuamente excludentes de, então: Ç = Æ P( È ) = P() + P() 7

8 Teoremas Elementares e é um evento de, então: P( ) = 1 - P() Uma coleção de eventos 1,,..., n é denominada mutuamente excludente se para todos os pares: i Ç j = Æ e 1,,..., n são eventos mutuamente excludentes do espaço amostral, então P( 1 È È... È n ) = P( 1 ) + P( ) P( n ) Regras de dição Para dois eventos: P( È ) = P() + P() - P( Ç ) Para três eventos: P( È È C) = P() + P() + P(C) P( Ç ) P( Ç C) P( Ç C) + + P( Ç Ç C) C 8

9 Prof. rmando lbertazzi oma de dois dados 6 possibilidades possibilidades P(=6) = 5/6 P(=6 ou =7) = P(=6 È =7) = P(=6) + P(=7) = 5/6 + 6/6 = 11/6 P(6 8) = P(=6)+ P(=7) + P(=8) = 5/6 + 6/6 + 5/6 = 16/6 P( 6) = 1 P(=6) = 1-5/6 = 1/6 9

10 6 6 possibilidades P(=par ou 10) = P(=par È 10) = P(=par) + P( 10) P(=par Ç 10) P(=par) = P(=)+ P(=4) + P(=6) + P(=8)+ P(=10) + P(=1)= 18/6 P( 10) = P(=10)+ P(=11) + P(=1) = 6/6 P(=par Ç 10) = P(=10)+ P(=1) = 4/6 P(=par ou 10) = 18/6 + 6/6 4/6 = 0/6 Exemplo: Probabilidade imples Um dado de seis faces é lançado ao acaso. Qual a probabilidade de obter 4? P = 1/6 10

11 Probabilidade Condicional Há casos onde a probabilidade deve ser reavaliada a medida que informações adicionais se tornam disponíveis. Exemplo: Um dado de seis faces foi lançado ao acaso. abe-se que um número par foi obtido. Qual a probabilidade que seja 4? P = 1/ Probabilidade Condicional Dois eventos: = lançar um dado e obter um número par = {, 4, 6} = obter o número 4 = {4} Escreve-se: P( ) = probabilidade de dado Calcula-se: P( ) = P( Ç ) / P() No exemplo: P( ) = (1/6) / (/6) = 1/ 11

12 Regra da Multiplicação Considere as equações da probabilidade condicional: P( ) = P( Ç ) / P() P( ) = P( Ç ) / P() Que podem ser reescritas como: P( Ç ) = P( ). P() = P( ). P() Que é a regra da multiplicação Regra da Multiplicação Verificando: considere os dois eventos: = lançar um dado e obter um número par = {, 4, 6} = obter o número 4 = {4} plicando P( Ç ) = P( ). P() = P( ). P() P( Ç ) = 1/1. 1/6 = 1/. 1/ = 1/6 1

13 Independência Dois eventos são independentes se o resultado de um deles não afeta a probabilidade do outro ocorrer. e e são dois eventos independentes, estão: P( ) = P() P( ) = P() P( Ç ) = P(). P() Teorema de ayes regra da multiplicação P( Ç ) = P( ). P() = P( ). P() Pode ser reescrita como: P( ) = P( ). P() / P() Que é o teorema de ayes 1