Objetivos. Frequência Relativa X Probabilidade. Probabilidade. 1. Definições: Experimento Espaço Amostral Evento Probabilidade

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1 Magnos Martinello Universidade Federal do Espírito Santo - UFES Departamento de Informática DI Laboratório de Pesquisas em Redes Multimidia LPRM Objetivos 1. Definições: Experimento Espaço Amostral Evento 2. Operação entre Eventos e suas s 3. Introdução a Variáveis Aleatórias Frequência Relativa X Total de caras/ Número de Jogadas Número de jogadas 1

2 Definições Importantes 1. Experimento Aleatório Experimento que pode ter resultados diferentes, mesmo que seja repetido da mesma maneira. 2. Espaço Amostral (S) Coleção de todos os resultados possíveis de um experimento 3. Evento É um subconjunto do espaço amostral. Exemplos de Experimento e Espaço Amostral Experimento Amostral Observar se o preço de uma ação sobe ou desce de hoje para amanhã Espaço sobe, desce SS, SD, DS, DD O mesmo do item anterior porém durante 2 dias. Diagrama de Venn Visualização do Espaço Amostral Experimento: observar o preço de uma ação dois dias seguidos anotando se subiu ou desceu ao final de cada dia. Evento: o preço desceu no Resultado SS DD SD segundo dia DS S = {SS, SD, DS, DD} S Espaço Amostral 2

3 Operação entre Eventos 1. Interseção entre A e B Resultado em A e em B operador lógico E Símbolo (A B) A : subiu no primeiro dia B: subiu no segundo dia 2. União entre A e B Resultado ou em A ou em B ou em ambos Operador lógico ou Símbolo (A B) A B Eventos Especiais Eventos Mutuamente Exclusivos Nunca ocorrem simultaneamente Espaço amostral desceu no primerio dia S subiu no primeiro dia subir no no primeiro dia dia e descer no no primeiro dia dia são sãomutuamente exclusivos O que é probabilidade? 1. Medida Numérica da possibilidade de ocorrência do evento P(evento), P(A), Prob(A) 2. Está entre 0 e 1 3. A soma da probabilidade de todos os eventos elementares é 1 3

4 Método Clássico (Dedutivo) 1. Conhecimento anterior (a priori) do processo. Exemplo: P(i) = 1/6 ; i = 1,2,...,6 Deduzido a partir da estrutura do problema Método Empírico-Indutivo 1. Dados reais coletados 2. Depois do experimento 3. P(Evento) = X / n Repetir o Experimento n vezes Evento Observado X Vezes 4. Também chamado de método da frequência relativa Exemplo: Observase que uma ação subiu de preço 55% dos dias de pregão do ano passado. A probabilidade do preço da ação subir de hoje para amanhã é de 55%? Conjunta de Eventos 1. Medida numérica da possibilidade de ocorrência conjunta de A e B: P(A B). 2. Métodos Regra da adição P (A B) = P(A) + P(B) - P ( A B ) 4

5 de Eventos Usando Tabelas de Contingência Evento Evento B 1 B 2 Total A 1 P(A1 B1) P(A 1 B2) P(A 1 ) A 2 P(A 2 B 1) P(A 2 B 2) P(A2 ) Total P(B 1 ) P(B 2 ) 1 Conjunta Marginal Exemplo: Método da frequência relativa Experimento: Observar os preços de duas ações X e Y durante 100 dias e verificar a cada dia se subiram ou desceram. ação Y ação X subiu desceu Total Subiu 10/100 15/100 25/100 desceu 70/100 5/100 75/100 Total 80/100 20/ /100 P(X subiu) P(Y subiu) P(X desceu e Y subiu) Condicional 1. de um evento ocorrer dado que outro já tenha ocorrido 2. Como muda a expectativa de que A ocorra agora que sei que B ocorreu? Se ela não muda, então eles são independentes. 2. P(A B) = P(A B), P(B) dado que X subiu, qual a prob. de Y subir? Y subiu X subiu S O fato de X subir restringe o espaço amostral X subiu (S) Evento (X e Y subiram) 5

6 Independência 1. A ocorrência de um evento não afeta a probabilidade de outro evento ocorrer ex: Jogar uma moeda duas vezes 2. Se A e B são Independentes P(A B) = P(A) P(A B) = P(A)*P(B) Caso contrário se A e B não são independentes P(A B) > P(A) P(A B) = P(A B)*P(B) 3. Atenção: eventos mutuamente exclusivos P(A B) = 0 não são independentes pois: P(A B) = 0 P(A) Exemplo 1 A probabilidade de duas ações x e y subirem ao mesmo tempo é de 55%. Sabe-se que a probabilidade de x subir é de 60%. Observou-se que a x efetivamente subiu. Qual a probabilidade y subir também? Eventos: A: a ação x subiu B: a ação y subiu Exemplo 2 40% das empresas acabam por ir à bancarrota num prazo de dois anos após pedir concordata. Sabendo que uma empresa qualquer tem 30% de chance de pedir concordata, qual a probabilidade de uma empresa qualquer pedir concordata e ir a bancarrota. Eventos: A: a empresa pede concordata B: A empresa vai à bancarrota 6

7 Exemplo 3 A probabilidade de uma ação subir dois dias seguidos é de 25%. Sabe-se que a probabilidade dela subir em qualquer dia é de 50%. Verifique se o fato da ação subir em um dia influencia ela subir no dia seguinte. Eventos: A: subiu no primeiro dia B: subiu no segundo dia P(A B) = 0.25 = 0.5 x 0.5 = P(A)*P(B) Como conclui-se que os eventos A e B são independentes Regra de Bayes A regra de Bayes é a base da chamada estatística bayesiana. P( A B) P( B/ A) P( A) P ( A/ B) = P( B) Lê-se Quando A ocorre, B tem a probabilidade P(B/A) de ocorrer. A tem a probabilidade a priori P(A) de ter ocorrido. Sabendo que B ocorreu, então a regra de Bayes fornece a probabilidade a posteriori P(A/B) de A ocorrer. Exemplo Numa instituição de concessão de crédito, sabe-se pela experiência que um cliente qualquer, sobre o qual nada se conhece, tem 80% de probabilidade de ser honesto. Mesmo um cliente honesto tem 10% de probabilidade de não pagar uma prestação. O cliente desonesto, por outro lado, tem o dobro de chance de não pagar. Um novo cliente não pagou no primeiro mês. Ele deve ser considerado como desonesto? 7

8 Solução A1: O cliente é honesto, P(A1)=0.8 A2: O cliente é desonesto, P(A2)=0.2 B: O cliente não paga, P(B/A1)=0.1 e P(B/A2)=0.2 P(B)= P(B/A1)P(A1)+P(B/A2)P(A2) = 0.1 x x 0.2 = 0.12 P(A1/B) = P(A1) P(B/A1)/P(B) = 0.8 X0.1/P(B) = 0.08/P(B)=2/3 P(A2/B)= P(A2) P(B/A2)/P(B) = 0.2 X0.2/P(B) = 0.04/P(B)=1/3 < P(A1/B) Conclusão: O cliente provavelmente é honesto. Uso seqüencial da regra de Bayes Uma das principais utilizações da regra de Bayes é seu uso seqüencial O objetivo é recalcular as probabilidades à medida em que chegam novas informações sobre a ocorrência de eventos verossimilhança de B ou não B a priori de A Regra de Bayes a posteriori B ocorre ou B não ocorre a posteriori é agora a nova probabilidade a priori Exemplo No problema anterior, se o cliente não pagar um segundo mês, qual a probabilidade dele ser honesto? Durante quantos meses continuaremos a acreditar que o cliente é honesto mesmo ele não pagando? 8

9 Solução: o segundo mês as probabilidades a posteriori do A1: O cliente é honesto, P(A1)=2/3 exercício anterior serão as probabilidades a priori agora A2: O cliente é desonesto, P(A2)=1/3 as verossimilhanças B: O cliente não paga, permanecemm as mesmas P(B/A1)=0.1 e P(B/A2)=0.2 a probabilidade de não pagar aumentou P(B)= P(B/A1)P(A1)+P(B/A2)P(A2) = 0.1 x 2/ x 1/3 = > 0.12 P(A1/B) = P(A1) P(B/A1)/P(B) = 2/3 X0.1/P(B) = 0.2/3P(B)= P(A2/B)= P(A2) P(B/A2)/P(B) = 0.2 X 1/3/P(B) = 0.2/3P(B) = P(A1/B) Conclusão: o cliente tanto pode ser honesto como não. Solução: o terceiro mês A1: O cliente é honesto, P(A1)=0.5 A2: O cliente é desonesto, P(A2)=0.5 B: O cliente não paga, P(B/A1)=0.1 e P(B/A2)=0.2 P(B)= P(B/A1)P(A1)+P(B/A2)P(A2) = 0.1 x x 0.5 = 0.15 > P(A1/B) = P(A1) P(B/A1)/P(B) = 0.5 X0.1/P(B) =0.05/P(B)=1/3 P(A2/B)= P(A2) P(B/A2)/P(B) = 0.5 X 0.2/P(B) =0.10/P(B=2/3)>P(A1/B) Conclusão: este cliente... não sei não. 9