Universidade do Estado de Santa Catarina - UDESC Centro de Ciências Tecnológicas - CCT Licenciatura em Matemática

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1 Universidade do Estado de Santa Catarina - UDESC Centro de Ciências Tecnológicas - CCT Licenciatura em Matemática 2014

2 Na teoria dos conjuntos três noções são aceitas sem denição (noção primitiva):: Conjunto; Elemento; Pertinência elemento e conjuntos. são noções primitivas, assim como pontos, retas e planos são para a geometria euclidiana. Indicamos um conjunto, em geral, com uma letra maiúscula: A, B, C,, X, Y, Z. Denotamos um elemento de um conjunto, em geral, com letras minúsculas: a, b, c,, x, y, z.

3 Pertinência Para indicar que um elemento x faz parte de um conjunto A usamos a notação x A, que se lê x pertence a A. Para indicar que x não é elemento do conjunto A, escrevemos x / A.

4 Descrição de um conjunto Existem essencialmente duas formas de especicar um conjunto. Uma opção, quando possível, consiste em listar seu elementos. Por exemplo: conjunto das vogais: A = {a, e, i, o, u}; conjunto dos números primos positivos: B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 23, }; conjunto dos nomes dos dias da semana: C={domingo, segunda, terça, quarta, quinta, sexta, sábado}; conjunto dos números inteiros divisores de 100: D = { 100, 50,, 5, 4, 2, 1, 1, 2, 4, 5,, 50, 100}.

5 Descrição por uma propriedade A segunda maneira consiste em enunciar a propriedades que caracterizam os elementos dos conjuntos da seguinte forma Exemplos: A = {x x que vericam a propriedade p(x)}. E = {x x é vogal}; F = {x x é solução da equação x 2 4 = 0}; G = {x x é inteiro e divisível por 5}; H = {x x é real e 1 < x 3}.

6 Numéricos conjunto dos números naturais: N = {0, 1, 2, 3, 4, }; conjunto dos números inteiros: Z = {0, ±1, ±2, ±3, }; conjunto dos números racionas: Q = { a b a, b são números inteiros e b 0}; conjuntos dos números irracionas: I = {x x é dízima não períodica}; conjunto dos números reais: R = {x x Q ou x I }; conjunto dos números complexos: C = {a + bi a, b R}.

7 Conjunto vazio e conjuntos unitários Conjunto vazio: é aquele que não possui elemento algum. Notação: {} ou. Exemplos: {x x + 1 = x} = ; {x x é um número real e x 2 < 0} = ; {x x x} =. unitários: são aqueles que possuem um único elemento. Exemplos: {x 2x 1 = 3} = {2}; {x x é um número natural e divisor de 1} = {1}.

8 Conjunto Universo Conjunto Universo: Quando vamos desenvolver um determinado assunto de Matemática, admitimos a existência de um conjunto U ao qual pertencem todos os elementos utilizados no tal assunto. Esse conjunto U recebe o nome de conjunto universo. Em geometria o Universo é o conjunto de todos os pontos. O Universo dos números primos é o conjunto dos números inteiros. No universo U, o conjunto A dos elementos x que vericam a condição p(x), indica-se pela notação: A = {x U p(x)}.

9 Exemplos: A = {x N x divide 6} = {1, 2, 3, 6}; B = {x Z x divide 6} = { 6, 3, 2, 1, 1, 2, 3, 6}; C = {x Q x 2 2 = 0} = ; D = {x R x 2 2 = 0} = { 2, 2}.

10 Diagrama de Venn Representa-se um conjunto ou operações com conjuntos através de uma gura geométrica. O conjunto é representado por uma letra maiúscula situada na região externa da gura e os elementos do conjunto por pontos internos a gura.

11 Igualdade de conjuntos Dois conjuntos A e B dizem-se iguais se, e somente se, todo elemento que pertence a um deles também pertence a outro. Notação: A = B ( A é igual a B) Em símbolos, Observações: A = B ( x)(x A x B). A ordem em que os elementos são listados em um conjunto é irrelevante: { 5, 6, 7} = { 7, 5, 6}. A repetição dos elementos em um conjunto é irrelevante: {a, b, c} = {a, b, b, c, c, c}.

12 Igualdade de Propriedades da igualdade de conjuntos Reexiva: A = A; Simétrica: A = B B = A; Transitiva: (A = B) e (B = C) (A = C). diferentes: Dois conjuntos A e B são diferentes se existe ao menos um elemento de A que não pertence a B ou existe ao menos um elemento de B que não pertence a A. Notação: A B ( A é diferente de B) Em símbolos, A B (( x)(x A e x / B) ou ( y)(y B e y / A)).

13 Subcojuntos (Inclusão) Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B, se e somente se, todo elemento de A pertence também a B. Nesse caso dizemos que A está contido em B ou B contém A. Notação: A B (A está contido em B) ou B A (B contém A). Em símbolos: A B ( x)(x A x B). Exemplo: A = {x R x 2 5x + 6 0} B = {x R x 2 0}.

14 Subcojuntos A negação de A B indica-se por A B e se lê: A não está contido em B. Em símbolos: Observação: A B ( x)(x A x / B). Dois conjuntos são iguais se, e somente se, A B e B A, ou seja, A = B ( x)(x A x B) (x B x A). É necessário distinguir a relação pertinência ( ) da relação continência ( ). A primeira relaciona elemento com conjunto. A segunda relaciona (sub) conjunto com conjunto.

15 Propriedades da inclusão Reexiva: A A; Transitiva: (A B) (B C) (A C); Antissimétrica: (A B) (B A) (A = B); O conjunto vazio está contido em qualquer conjunto A: ( A)( A); Qualquer que seja o conjunto A num universo U, A está contido em U : ( A)(A U).

16 comparáveis: Dois conjuntos A e B são ditos comparáveis se A B ou B A. Exemplos: Os conjuntos A = {x N 3 5x 2 20} e B = {x N 3 x } são comparáveis, pois A B. Os conjuntos C = {x Z x é primo} e D = {x Z x é ímpar } não são comparáveis. De fato, 2 C e 2 / D e, portanto, C D. Por outro lado, 15 D e 15 / C e, portanto, D C.

17 União de conjuntos Dados os conjuntos A e B, chama-se união de A e B o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B. Notação: A B ( A união B) Em símbolos: Exemplos: A B = {x x A x B}. Sejam A = {x R 2 < x < 2} = ( 2, 2) e B = {x R x 2 = 2} = { 2, 2}. Então A B = {x R 2 x 2} = [ 2, 2].

18 Propriedades da União Sejam A, B e C subconjuntos num universo U. Idempotente: A A = A; Elemento neutro: A = A; Comutatividade: A B = B A; Associatividade: (A B) C = A (B C); A U = U.

19 Propriedades da inclusão e da união Sejam A, B e C subconjuntos num universo U. A A B e B A B; A B A B = B; A C e B C A B C; A B A C B C.

20 Interseção de conjuntos Dados os conjuntos A e B, chama-se interseção de A e B o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e a B. Notação: A B (A interseção B) Em símbolos: Exemplo: A B = {x x A x B}. Sejam A = {x N x é par} e B = {x Z x é primo}. Então A B = {2}. disjuntos: Dizemos que os conjuntos A e B são disjuntos quando A B =.

21 Propriedades da Interseção Sejam A, B e C subconjuntos num universo U. Idempotente: A A = A; Elemento neutro: A U = A; Comutatividade: A B = B A; Associatividade: (A B) C = A (B C); A =.

22 Propriedades da interseção e da união Sejam A, B e C subconjuntos num universo U. Leis de absorção: A (A B) = A e A (A B) = A; Distributividade da interseção em relação à união: A (B C) = (A B) (A C); Distributividade da união em relação a interseção: Leis de Morgan: A (B C) = (A B) (A C); (A B) = A B e (A B) = A B.

23 Complementar de um subconjunto Seja A um subconjunto de E. Chama-se complementar de A em relação a E o conjunto de todos os elementos de E que não pertencem a A. Notação: C A E Em símbolos: Exemplos: (complementar de A em relação a E) C A E = {x x E x / A}. Sejam E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {1, 3, 5}, B = {2, 4, 6} e C = {1, 6}. Então CE A = B, C E C = {2, 3, 4, 5}.

24 Propriedades do complementar C E = E; C E E = ; CE C A E = A; A B CE A C E B. Observação: Num dado universo U, pode-se falar simplesmente em complementar de um conjunto A, cando subentendido que se trata do complementar em relação a U. Notação: A ou A c (A = C A U ) Para conjuntos quaisquer A e B num universo U, temos: = U, U =, (A ) = A A B A B.

25 Diferença de dois conjuntos Dados dois conjuntos A e B, chama-se diferença A e B o conjunto formado pelos elementos de A que não pertencem a B. Notação: A B ou A \ B ( A menos B) Em símbolos: A B = {x x A x / B}. Observação: Esta operação pode ser escrita como A B = {x x A x B } e, assim A B = A B. Exemplos: Z = Z {0}, R = R {0}. {1, 2, 3, 4, 5} {4, 5, 6, 7, 8, 9} = {1, 2, 3}.

26 Propriedades da Diferença Para conjuntos quaisquer A e B num universo U, temos: A = A e A = ; A U = e U A = A ; A A = ; A A = A; (A B) = A B; A B = B A ;

27 Um conjunto é dito nito se contém exatamente m elementos distintos, onde m denota algum número natural. Caso contrário, o conjunto é dito innito. Por exemplo, o conjunto vazio,, e o conjunto de letras do alfabeto são conjuntos, enquanto o conjunto dos números primos é innito. Notação: n(a), #(A), A ou card(a) denotam o número de elementos de um conjunto nito. Se A e B são conjuntos distintos, então A B é nito e n(a B) = n(a) + n(b). Se A e B são conjuntos, então A B e A B são e n(a B) = n(a) + n(b) n(a B).

28 Conjunto das partes de um conjunto Chama-se conjunto das partes de um conjunto A o conjunto cujos elementos são subconjuntos de A (ou partes de A). Notação: P(A) (conjunto das partes de A). Em símbolos: P(A) = {X X A}. Desta forma, X P(A) X A.

29 Partes de um conjunto Exemplos: P( ) = { }; P({1}) = {, {1}}; P({a, b, c}) = {, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}; P({ }) = {, { }}. Observação: Se A tem n elementos, então P(A) tem 2 n elementos.

30 Família de conjuntos Um conjunto cujos elementos também são conjuntos diz-se uma família de conjuntos ou uma coleção de conjuntos. Exemplos: F = {{a, b}, {b, c, d}, {e}}; E = {{1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, }; A = {{ 1, 0, 1}, {1, 2, 3}, {0, 2}}. Uma circunferência é um conjunto de pontos e, assim, um conjunto de circunferências é uma família de circunferências.

31 Partições Seja S um conjunto não vazio. Uma partição de S é um família {A i } de subconjuntos não vazios de S tais que: i λ A i = S, A i = A j ou A i A j =. Exemplos: {{1, 3}, {2, 4, 6}, {5, 7, 8, 9} é uma partição do conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, {{1, 3}, {2, 4, 6}, {3, 5, 7, 8, 9} não é uma partição do conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

32 contáveis Dois conjuntos A e B são ditos equipotentes, e denotado por A B, se, e somemente se, existir uma correspondência de um-para-um os elementos de A e os elementos de B. Qualquer conjunto equivalente ao conjunto dos números naturais é chamado de enumerável. Todo conjunto nito ou enumerável é chamado de contável. Exemplos: O conjunto dos números inteiros é enumerável. O conjunto dos números racionais é enumerável. O conjunto dos números reais não é enumerável.

33 BIBLIOGRAFIA GERSTING, Judith L. Fundamentos matemáticos para a ciência da computação. 5 ed. Rio de Janeiro: LTC, ALENCAR FILHO, Edgard de. Teoria elementar dos conjuntos. 21 ed. São Paulo: Nobel, LIPSCHUTZ, Seymour. Matemática Discreta. Coleção Schaum. 2.ed. Porto Alegre: Bookman, 2004.