Generalidades sobre conjuntos

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1 Generalidades sobre conjuntos Página: Sala Bloco A - Campus Santo André

2 Conjuntos e a noção de pertinência Na teoria dos conjuntos, as noções de conjunto e pertinência são consideradas primitivas. Do ponto de vista ingênuo, um conjunto é uma coleção de objetos, denominados os seus elementos. Dados um conjunto A e um objeto qualquer x, pergunta-se: x é um elemento de A? Em caso afirmativo, escrevemos x A (leia x pertence a A ). Em caso negativo, escrevemos x A (leia x não pertence a A ).

3 Caracterização de um conjunto por seus elementos Dois conjuntos são iguais se, e somente se, têm os mesmos elementos. Observação: A = B significa que x(x A x B) é verdadeira. O conjunto que não possui elemento algum é denominado vazio. Notação:

4 Maneiras de representar um conjunto Há, essencialmente, duas maneiras de representar um conjunto: listando seus elementos; mediante uma propriedade comum e exclusiva de seus elementos. Exemplos: (a) {Uruguai, Brasil, Argentina} e conjunto dos países sul-americanos que já venceram uma Copa do Mundo representam o mesmo conjunto; (b) {0, 1}, {1, 0} e {0, 1, 0, 0, 0, 1, 1} representam o mesmo conjunto; (c) {0, 1, 2,..., 512}, {0, 1, 2,...}, {..., 1, 0, 1, 2,...}; (d) {n : n = a 3 + b 3 para algum par a, b de inteiros positivos}; (e) a mediatriz do segmento AB (isto é, a reta perpendicular ao segmento AB levantada a partir de seu ponto médio) e o conjunto dos pontos do plano que são equidistantes de A e B são iguais.

5 Conjuntos unitários Seja x um objeto. O conjunto que tem x como único elemento é denominado unitário de x. Notação: {x} Exemplos: (a) {0}, obtido a partir do objeto 0 (b) {{0}}, obtido a partir do objeto {0} (c) { }, obtido a partir do objeto Observem que: {{0}} {0}; { }.

6 Subconjuntos Generalidades sobre conjuntos Aula 3 Sejam A e B conjuntos. Dizemos que A é um subconjunto de B se todo elemento de A também é elemento de B. Observação: A B significa que x(x A x B) é verdadeira. Notação: A B (leia A está contido em B ) Notação alternativa: B A (leia B contém A ) Observação: Escreveremos A B (leia A não está contido em B ) para indicar que A não é um subconjunto de B.

7 Subconjuntos Generalidades sobre conjuntos Aula 3 Exemplo: A: conjunto dos múltiplos de 4 B: conjunto dos números pares A B: Seja x A. Temos que x = 4n, para algum n inteiro. Logo, x = 2(2n) e, portanto, x é par. Assim, x B. B A: 2 é par, mas 2 não é múltiplo de 4.

8 Propriedades da inclusão A relação A B é chamada de relação de inclusão. Proposição Sejam A, B e C conjuntos quaisquer. Valem: (1) A (2) A A (3) A = B se, e somente se, A B e B A (4) se A B e B C, então A C Observação: Se A B e A B, dizemos que A é um subconjunto próprio de B.

9 Exercício resolvido Sendo A = {1, 2} B = {{1}, {2}} C = {{1}, {1, 2}} D = {{1}, {2}, {1, 2}} discuta a validade das seguintes sentenças matemáticas: A = B A C B D A B A D B D A C B C A D Solução: F V V F F F F F V

10 Conjunto das partes Seja A um conjunto. O conjunto constituído de todos os subconjuntos de A é denominado o conjunto das partes (ou conjunto potência) de A. Notação: P(A) (leia partes de A ) Exemplos: (a) A = {1, 2} P(A) = {, {1}, {2}, {1, 2}} (b) A = {a, b, c} P(A) = {, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, A} Mais adiante, mostraremos que se um conjunto tem n elementos, então seu conjunto das partes tem 2 n elementos.

11 União Generalidades sobre conjuntos Aula 3 Sejam A e B conjuntos. O conjunto formado pelos elementos de A mais os elementos de B é denominado a união de A e B. Notação: A B (leia A união B ) Observação: A B = {x : x A x B}.

12 Intersecção Generalidades sobre conjuntos Aula 3 A intersecção de A e B é o conjunto dos objetos que são ao mesmo tempo elementos de A e de B. Notação: A B (leia A intersecção B ) Observações: A B = {x : x A x B}. Se A B =, dizemos que A e B são disjuntos.

13 Propriedades da união e intersecção Proposição Sejam A, B e C conjuntos. Valem: (1) A = A A = (2) A A = A A A = A (3) A B = B A A B = B A (4) (A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C) Observação: De (3) e (4) decorre que tanto a união quanto a intersecção de dois ou mais conjuntos podem ser feitas em qualquer ordem.

14 Outras propriedades da união e intersecção Proposição Sejam A, B, C e D conjuntos. Valem: (1) A B = A se, e somente se, B A A B = A se, e somente se, A B (2) se A C e B D, então A B C D se A C e B D, então A B C D (3) A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C)

15 Diferença Generalidades sobre conjuntos Aula 3 A diferença A B (leia A menos B ) é o conjunto dos elementos de A que não pertencem a B. Observação: A B = {x : x A x B}.

16 Complementar Generalidades sobre conjuntos Aula 3 Considere fixado um conjunto universo U. O complementar de um conjunto A (em relação a U) é a diferença U A. Notação: A c

17 Propriedades do complementar Proposição Sejam A e B subconjuntos de um conjunto universo U. Valem: (1) A A c = U A A c = (2) (A c ) c = A (3) A B se, e somente se, B c A c (4) (A B) c = A c B c (A B) c = A c B c

18 Exercício resolvido Considere N o universo desta discussão. Sendo A = {x N : x 10}, B = {x N : x > 5} e C = {1, 5, 10, 11}, determine: (a) A B (b) A C (c) (A B) C (d) P(B C) (e) B A (f) A C c (g) (B C) c (h) (A c ) c Solução: (a) N (b) {1, 5, 10} (c) {1, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} (d) {, {10}, {11}, {10, 11}} (e) {x N : x > 10} (f) {0, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9} (g) {0, 2, 3, 4} (h) A

19 Par ordenado Generalidades sobre conjuntos Aula 3 Um par nada mais é que um conjunto formado por dois elementos. Por exemplo, {0, 1} = {1, 0} é um par. Às vezes, é necessário distinguir dois pares pela ordem de seus elementos. (Adaptado do vestibular de 1998 da UFF) Um jogador de basquete fez o seguinte acordo com o seu clube: cada vez que ele convertesse um arremesso, receberia R$10,00 do clube e, caso errasse, pagaria R$5,00 ao clube. Ao final de uma partida em que arremessou 20 vezes, recebeu a quantia de R$80,00. Quantos arremessos ele acertou e quantos ele errou? Solução: Denotando por x a quantidade de arremessos que o jogador acertou e por y a quantidade de arremessos que ele errou, temos: { x + y = 20 10x 5y = 80 Observe que x = 12 e y = 8 é solução, enquanto x = 8 e y = 12 não é. Portanto, {12, 8} não pode representar a solução deste sistema!

20 Par ordenado Generalidades sobre conjuntos Aula 3 Dados um objeto a e um objeto b, existe um terceiro objeto (a, b) com a seguinte propriedade: (a, b) = (c, d) se, e somente se, a = c e b = d. O objeto (a, b) é denominado o par ordenado com primeiro elemento a e segundo elemento b. Exemplo: A partir dos objetos 0 e 1, obtemos os pares ordenados: (0, 1), cujo primeiro elemento é 0 e cujo segundo elemento é 1; (1, 0), cujo primeiro elemento é 1 e cujo segundo elemento é 0. Observação: {0, 1} = {1, 0}, mas (0, 1) (1, 0).

21 Produto cartesiano Sejam A e B conjuntos não vazios. O produto cartesiano de A por B é definido como o conjunto de todos os pares ordenados (a, b) com a A e b B. Notação: A B (leia A cartesiano B ) Exemplo: Sendo A = {1, 2} e B = {a, b, c}, temos: (a) A B = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)} (b) B A = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)} Observações: A B = {(a, b) : a A b B}; se A ou B forem vazios, colocamos A B = ; A A é comumente denotado por A 2.

22 Propriedades do produto cartesiano Proposição Sejam A, B, C e D conjuntos. Valem: (1) se A C e B D, então A B C D (2) A (B C) = (A B) (A C) (3) A (B C) = (A B) (A C) (4) A (B C) = (A B) (A C)