n. 28 RELAÇÕES BINÁRIAS ENTRE CONJUNTOS

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1 n. 28 RELAÇÕES BINÁRIAS ENTRE CONJUNTOS Uma relação é um conjunto de pares ordenados, ou seja, um subconjunto de A B. Utilizando pares ordenados podemos definir relações por meio da linguagem de conjuntos. Definição: Sejam A e B conjuntos não vazios, uma relação de A em B, ou relação binária de A em B, denotada por R(A, B), é um subconjunto de A B. Se um par (x, y) pertence a uma relação R, diremos que x está relacionado com y pela relação R e denotaremos por x R y ("x erre y") ou (x, y) R ou x relacionado com y. Quando A = B dizemos que R é uma relação sobre o conjunto A ou que R é uma relação em A. Para facilitar a notação, quando não há dúvidas quanto ao produto cartesiano A B que estamos utilizando, denotamos R(A, B), simplesmente por R. O termo binário é usado para indicar uma relação entre dois conjuntos. Há duas maneiras de apresentar uma relação: Apresentando o subconjunto de A B, através de seus pares ordenados, ou seja, exibindo os elementos do produto cartesiano. O que nem sempre é possível. Ou definindo uma regra, na qual escolhemos os pares ordenados que satisfazem essa regra. Assim, escrevemos

2 uma proposição P(x, y) onde (x, y) A B, que deve ser verdadeira para todos os elementos de R(A, B). Outra forma de apresentar essa relação é a notação: R(A, B, P), onde P é uma proposição. Exemplos: a. Sejam A = {0, 1,2} e B = {c, d, e, f}. Definimos a relação R(A, B) = {(0, d), (0, e), (1, d), (1, f), (2, c), (2, d)} Observe por exemplo que 1 R d (1 está relacionado com d). Mas, o elemento 0 A não está relacionado, por exemplo, com f. b. Sejam A = N, B = N, P (x, y): "x é divisível por y". O conjunto R(A, B, P) = {(x, y) A B / P(x, y) é verdadeira} R(A, B, P) = {(x, y) N N / x é divisível por y} É uma relação N N. Por exemplo: 15 R 3, pois 15 é divisível por 3. c. Seja a relação R em A = { 1, 0, 1, 2} tal que "x é divisível por y". Descrevendo o subconjunto A A temos: R(A, A, P) = {(x, y) A A / x é divisível por y} A A = {( 1, 1), ( 1, 0), ( 1, 1), ( 1, 2), ( ) Logo, R = {( 1, 1), ( 1, 1), (0, 1), (0, 1), (0, 2), (1, 1), (1, 1), (2, 1), (2, 1), (2, 2)} Pois, 1 1 = 1; 1 1 = 1; 0 1 = 0; 0 1 = 0; 0 2 = 0; 1 1 = 1; 1 1 = 1; 2 1 = 2; 2 1 = 2; 2 2 = 1 d. Sejam A = {1,2, 3} e B = {3, 4}. Definimos a relação R(A, B, P) = {(x, y) A B / x + 1 < y}

3 Logo, 1 R 3, pois 1+1 < 3 2 R 4, pois 2+1 < 4 R = {(1, 3), (1, 4), (2, 4)} e. Sejam os conjuntos A = {1,2, 3} e B = {1,2} e a relação binária R de A para B como: (x, y) A B, (x, y) R / x y é par. Logo, temos que A B = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 2)} e R = {(1, 1), (2, 2), (3, 1)} f. Sejam os conjuntos S = {1,2} e T = {2,3,4} S T = { (1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,3), (2,4) } Uma relação R definida por: R(S, T, P) = {(x, y) S T/x = y 2 } satisfeita pelos pares (1,2) e (2,4), poderia também ser definida pela declaração que {(1,2), (2,4)} é o conjunto dos pares ordenados que satisfazem R. g. Sejam os conjuntos S = {1,2} e T = {2,3,4} e a relação binária R dada por: x R y / x + y é ímpar S T = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4)} R = {(1,2), (1,4), (2,3)}

4 h. Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {1, 3, 5} e as relações: (x, y) A B; (x, y) S / x < y A B = {(1, 1), (1, 3), (1, 5), (2, 1), (2, 3), (2, 5), (3, 1), (3, 3), (3, 5)} R = { (1, 3), (1, 5), (2, 3), (2, 5), (3, 5)} i. Sendo os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = { 1, 0, 4, 5}, e a relação R = { (x, y) A B / x + y é um número primo }. Descreva os elementos de R. R = { (1, 4); (2, 0); (2, 5); (3, 1); (3, 0); (3, 4) } j. Seja X um conjunto e P(X) o conjunto das partes de X e a relação R(X, P(X), P) em X P(X) caracterizada pela proposição P(x, y): x y. Considerando o conjunto X = {1, 2, 3}, determine: X P(X), R. P(X) = {, X, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}} X P(X) = {(1, X), (1, {1}), (1, {2}), (1, {3}), (1, {1,2}), (1, {1,3}), (1, {2,3}),

5 (2, X), (2, {1}), (2, {2}), (2, {3}), (2, {1,2}), (2, {1,3}), (2, {2,3}), (3, X), (3, {1}), (3, {2}), (3, {3}), (3, {1,2}), (3, {1,3}), (3, {2,3})} R = {(1, X), (1, {1}), (1, {1,2}), (1, {1,3}), (2, X), (2, {2}), (2, {1,2}), (2, {2,3}), (3, X), (3, {3}), (3, {1,3}), (3, {2,3})} FORMAS DE REPRESENTAÇÃO USANDO FLECHAS No estudo das relações sobre um conjunto E, com E finito e tendo poucos elementos, é muito útil a representação através do esquema de flechas: Representamos o conjunto E com seus elementos e indicamos cada par (a, b) da relação através de uma flecha com origem a e extremidade b. Se (a, b) está na relação, usa-se um laço envolvendo a. Exemplo: O esquema a seguir representa a relação R = {(a, a), (b, b), (a, b), (b, c), (c, b)} sobre E = {a, b, c}.

6 Exercício: Descreva as relações: a. a. Este é um exemplo de relação reflexiva: em cada ponto do diagrama deve haver um laço. R = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (a, c)} b. b. Este é um exemplo de relação simétrica: toda flecha deve ter duas pontas. R = {(a, a), (b, b), (ac b), (b, c), (c, b), (d, b), (b, d)} c.

7 c. Este é um exemplo de relação transitiva: para todo par de flechas consecutivas existe uma fecha cuja origem é a da primeira e a extremidade, a da segunda. R = {(a, a), (b, b), (b, c), (b, d), (d, c)} Referências ALENCAR FILHO, Edgard de. Teoria Elementar dos Conjuntos. 20 ed. 1ª reimpressão. São Paulo: Nobel, DOMINGUES, Hygino; IEZZI, G. Álgebra Moderna. 2 ed. São Paulo: Atual, GERÔNIMO, João Roberto; FRANCO, Valdeni Soliani. Fundamentos da Matemática: uma introdução à lógica matemática, teoria dos conjuntos, relações e funções. 2 ed. Maringá: Eduem, 2008.