Linguagens Formais e Autômatos

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1 Linguagens Formais e Autômatos (notas da primeira aula 1 Definições básicas 1.1 Conjuntos Definição 1. Um conjunto é uma coleção de objetos, denominados elementos. Notação 1. Para indicar que um elemento x pertence a um conjunto A, escreve-se x A. Se x não é um elemento de A, escreve-se x A. Um conjunto pode ser denotado por uma lista de seus elementos delimitada por chaves. Por exemplo, o conjunto dos inteiros positivos menores que 4 é representado por {1, 2, 3}. Usa-se três pontos para dar um sentido de continuidade, quando o significado estiver claro. Por exemplo, {2, 4, 6,... } denota o conjunto dos números naturais pares, {a, b,..., z} denota o conjunto de letras do alfabeto, etc. Muitas vezes descrevemos um conjunto pelas propriedades que seus elementos satisfazem. É comum escrevermos {x: P 1 (x,..., P n (x}, onde P 1,..., P n são propriedades que devem ser satisfeitas por todos os elementos do conjunto sendo definido. Por exemplo, a expressão {n: n N, n > 100, 2 n} denota o conjunto dos números naturais, maiores do que 100 e que são pares (a expressão a b significa que a divide b. No exemplo acima temos P 1 (n = n é natural ; P 2 (n = n é maior que 100 ; e P 3 (n = n é par. 1

2 Notação 2. Denotamos por N o conjunto dos números naturais e por Z o conjunto dos números inteiros. N := {1, 2, 3,... }, Z := {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,... }. Notação 3. Dado n N, denotamos o conjunto dos n primeiros números naturais por [n] := {1, 2,..., n}. Notação 4. Dado um conjunto X, denotamos por X a cardinalidade de X. (Se X é finito, então X é o número de elementos de X. Definição 2. Um conjunto X é subconjunto de um conjunto Y se todo elemento de X for também elemento de Y. Ou seja, se valer a implicação x X = x Y Operações com conjuntos Definição 3. Se X e Y são conjuntos, a união de X e Y é o conjunto X Y definido por X Y = {a: a X ou a Y }. Definição 4. Se X e Y são conjuntos, a intersecção de X e Y é o conjunto X Y definido por X Y = {b: b X, b Y }. Definição 5. Se X e Y são dois conjuntos, definimos a diferença de conjuntos X \ Y como o conjunto dos elementos em X que não estão em Y. Em outras palavras, tem-se X \ Y := {x: x X, x Y }. Exemplo 1. {3, 4, 7, 17} \ {4, 17, 25} = {3, 7}. Definição 6. A diferença simétrica de dois conjuntos X e Y é o conjunto X Y definido por X Y := (X \ Y (Y \ X. Exemplo 2. {3, 4, 7, 17} {4, 17, 25} = {3, 7} {25} = {3, 7, 25}. 2

3 1.1.2 Famílias de conjuntos Notação 5. Dado um conjunto X, denotamos por 2 X a família 1 de todos os subconjuntos de X. Equivalentemente, temos Exemplo 3. Se X = {1, 2, 3}, temos 2 X := {Y : Y X}. 2 X = { {1, 2, 3}, {1, 2}, {2, 3}, {1, 3}, {1}, {2}, {3}, }. Exercício 1. Se X tem n elementos, quantos membros 2 tem a família 2 X? Definição 7. Dados um inteiro não-negativo k e um conjunto X, dizemos que Y é k-subconjunto de X se Y X e Y = k, ou seja, se Y for um subconjunto de X e se Y possuir exatamente k elementos. Exemplo 4. O conjunto {, } é um 2-subconjunto de {,,, }. Notação 6. É comum denotarmos por ( X k a família de todos os k-subconjuntos de X. Em outras palavras, temos k := {Y : Y X, Y = k}. Exemplo 5. Se X = {A, B, C}, então { } 2 = {A, B}, {B, C}, {A, C}. Exercício 2. Se X tem n elementos, quantos membros tem a família k? Igualdade de conjuntos Uma igualdade de conjuntos A = B é verdadeira quando ambas as inclusões A B e B A forem válidas. Portanto, para se demonstrar que dois conjuntos A e B são iguais, é necessário provar duas coisas. Primeiro, devemos mostrar que x A = x B, estabelecendo a inclusão A B. Posteriormente, para estabelecer a inclusão B A, devemos mostrar que x B = x A. Exercício 3. Mostre que, para quaisquer três conjuntos A, B e C, tem-se A (B C = (A B (A C. 1 Um conjunto de conjuntos é geralmente chamado de família de conjuntos. 2 Elementos de uma família de conjuntos são chamados de membros. 3

4 Exercício 4. Sejam A, B e C três conjuntos. Suponha que A C. Mostre que A (B C = (A B C. Exercício 5. Mostre que, para quaisquer dois conjuntos X e Y, tem-se X Y = (X Y \ (X Y. Proposição 1. Se X é um conjunto com n elementos, então 2 X = n i=0 i. (1 Prova. [Demonstração da Proposição 1.] Primeiro mostramos que 2 X n i=0 i. Seja Y um membro qualquer de 2 X. Pela definição de 2 X, tem-se Y X. Pondo k = Y, sabemos que 0 k n. Portanto o que implica que Y k, Y n i=0 Agora vamos mostrar que n i=0 i 2 X. Seja Y um membro qualquer da família n ( i=0 i. Portanto Y X i para algum i {0, 1,... n}. Portanto Y X, o que imediatamente implica em Y 2 X. i. Definições básicas Definição 8. Um alfabeto é um conjunto finito não-vazio. Definição 9. Os elementos de um alfabeto são chamados símbolos. Definição 10. Uma palavra é uma seqüência finita de símbolos. Se todos os símbolos de uma palavra w pertencem a um alfabeto Σ, dizemos que w é uma palavra sobre Σ. Exemplo 6. Considere o alfabeto Σ = {0, 1}. Então 0 e 1 são os símbolos de Σ. As seqüências 00101, 00, são exemplos de palavras sobre Σ. Exemplo 7. Se o alfabeto é Γ = {a, b, c,..., z} então as seqüências avacaxi, meza, kuadrado, e iotxdyzz são exemplos de palavras sobre Γ. 4

5 Notação 7. Dada uma palavra w e um símbolo σ, denotamos por n w (σ o número de ocorrências de σ em w. Exemplo 8. Se w = aababababbb, então n w (a = 5 e n w (b = 6. Para x = iotxdyzz, temos n x (a = 0. Definição 11. A palavra vazia é uma palavra (e portanto uma seqüência com nenhuma ocorrência de símbolos, e é denotada pela letra grega ε. Definição 12. O comprimento de uma palavra é o número de símbolos nela contidos. Denotamos o número de símbolos de uma palavra w por w. Exemplo 9. A palavra ababba sobre o alfabeto {a, b} tem comprimento 6. Ou seja, ababba = 6. Exemplo = 18, palavra = 7, ε = 0. Notação 8. Uma palavra de comprimento 3 sobre Σ é uma seqüência de tamanho 3 de símbolos de Σ, e portanto, é um elemento do conjunto Σ Σ Σ = Σ 3. Mais em geral, para k 0, vamos denotar por Σ k o conjunto de todas as palavras de comprimento k sobre Σ. Assim, Σ 0 = {ε} e Σ 1 = Σ (com seus elementos interpretados como seqüências de tamanho 1, em vez de símbolos. Notação 9. Denotamos o conjunto de todas as palavras sobre um alfabeto Σ por Σ = Σ 0 Σ 1 Σ 2 Note que Σ é sempre um conjunto infinito, ainda que Σ seja um conjunto unitário. Exemplo 11. Se Σ = {a, b}, temos Σ = {ε, a, b, ab, ba, aaa, aab, aba, abb, baa, bab, bba, bbb,... }. Notação 10. Denotamos por Σ + o conjunto Assim, temos Σ + = Σ 1 Σ 2 Σ = {ε} Σ +. Definição 13. A concatenação das palavras x = σ 1 σ 2 σ n, com σ i Σ, e y = γ 1 γ 2 γ m, com γ j Γ, é a palavra sobre Σ Γ. xy = σ 1 σ 2 σ n γ 1 γ 2 γ m, 5

6 Exemplo 12. Considere x = corre, e y = dor. Então xy = corredor. Observação 1. Para duas palavras v e w, temos vw = v + w. Observação 2. A palavra vazia é o elemento neutro da operação de concatenação. Ou seja, para toda palavra w, temos εw = wε = w. Notação 11. Para um símbolo σ Σ, denotamos por σ k a palavra σ k = σσ }{{ σ }. k Notação 12. Da mesma forma, se x é uma palavra, denotamos a concatenação de k cópias de x por x k. Notação 13. Uma linguagem é um conjunto de palavras sobre um determinado alfabeto. Ou seja, se L é uma linguagem, então L Σ. Exemplo 13. Σ = {a, b, c,..., z} e L = conjunto de palávras da língua inglesa. Exemplo 14. Σ = {0, 1} e P = conjunto dos números primos representados em base binária. P = {10, 11, 101, 111, 1011,... }. Exemplo 15. Σ = {0, 1} e A = conjunto das palavras com n bits 0 seguidos de n bits 1, para n 0. A = {ε, 01, 0011, ,... } = {0 n 1 n : n 0}. Exemplo 16. Σ = {0, 1} e B = conjunto das palavras com o mesmo número de símbolos 0 e 1. B = {ε, 01, 10, 0011, 1100, 0101, 1010, 0110, 1001,... }. Curiosidade: quantas palavras existem em L com comprimento 2k? Exemplo 17. Σ = {0, 1} e C = conjunto das palavras com um número par de símbolos. C = {ε, 00, 01, 10, 11,... }. 6

7 Observação 3. Note que as linguagens dos três exemplos anteriores satisfazem a relaçao A B C. Exemplo 18. Seja Σ um alfabeto qualquer. Então Σ, e {ε} são sempre linguagens sobre Σ. Observação 4. e {ε} não são a mesma linguagem. Exemplo 19. Seja p um primo, e considere o alfabeto Σ = {0, 1,..., p 1}. Então L = {w Σ : a soma dos símbolos de w é divisível por p} é uma linguagem sobre Σ. Observação 5. Alfabetos são sempre não-vazios e finitos, enquanto linguagens podem ser conjuntos vazios ou infinitos. Definição 14. Dadas linguagens A e B, a concatenação AB é uma linguagem definida da seguinte forma: AB = {xy : x A, y B}. Exemplo 20. Por exemplo, considere A = {falar, ver} e B = {ei, ás, á, emos, eis, ~ao}. Então AB = {falarei, falarás, falará, falaremos, falareis, falar~ao, verei, verás, verá, veremos, vereis, ver~ao}. Notação 14. Para denotar a concatenação de uma linguagem L consigo mesma k vezes escrevemos Introdução L k = } L L {{ L }. k Um autômato é um modelo muito simplificado de um computador. Autômatos podem ser usados para modelar o funcionamento de eletrodomésticos e dispositivos simples, para processar grandes volumes de dados em busca de padrões, ou para testar o funcionamento de circuitos elétricos. Exemplo 21. Um interruptor tem dois estados: pode estar ligado (L ou desligado (D. Podemos realizar a ação de pressionar (P o interruptor para causar uma transição entre estado. O comportamento de um interruptor pode ser modelado com um autômato, que está representado na figura abaixo. 7

8 Os estados são representados pelos círculos. O estado destacado significa um estado de interesse. As transições são representadas pelas flechas. Sobre cada uma delas há um rótulo, que especifica a ação que a ocasionou. A flecha que vem do nada indica qual é o estado inicial do interruptor. Exemplo 22. Funcionamento de um trem com três botões de controle: acelerador (A, freio (F, e controle da porta (P. O trem tem duas velocidades. O trem não pode se movimentar se a porta estiver aberta e não pode abrir a porta se estiver em moviemnto. 8